多自由度電液混合運(yùn)動(dòng)模擬器動(dòng)力學(xué)分析

周躍發(fā)，王濤，李鴻，樊濤，張治勇

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

隨著航空航天等技術(shù)的大力發(fā)展，許多國(guó)家都很重視對(duì)運(yùn)動(dòng)模擬器的研究[1-2].運(yùn)動(dòng)模擬器用于模擬飛行器及船舶等的搖擺運(yùn)動(dòng)，它在運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方面的研究，一方面有利于模擬器的設(shè)計(jì)和制造，另一方面可以直接應(yīng)用于實(shí)際運(yùn)動(dòng)模擬實(shí)驗(yàn)[3].它的發(fā)展水平標(biāo)志著一個(gè)國(guó)家航空、航天、航海、路面運(yùn)輸及戰(zhàn)車性能等方面的發(fā)達(dá)程度[4-6].

本文研究的是多自由度電液混合運(yùn)動(dòng)模擬器[7]，該運(yùn)動(dòng)模擬器由三軸轉(zhuǎn)臺(tái)和六自由度并聯(lián)轉(zhuǎn)臺(tái)組成.六自由度并聯(lián)轉(zhuǎn)臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)空間的六自由度運(yùn)動(dòng)，三軸轉(zhuǎn)臺(tái)的外框、中框和內(nèi)框可以實(shí)現(xiàn)無限轉(zhuǎn)動(dòng)，利用三軸轉(zhuǎn)臺(tái)可以達(dá)到六自由度并聯(lián)轉(zhuǎn)臺(tái)所無法達(dá)到的空間方位，這樣的組合可以延伸到空間的任何位置，彌補(bǔ)了單一轉(zhuǎn)臺(tái)存在范圍限制的缺陷，從而使研究更具有理論意義和實(shí)際價(jià)值.文中采用了牛頓和羅伯遜-維滕伯格方法建立了多自由度電液混合運(yùn)動(dòng)模擬器動(dòng)力學(xué)方程，并與拉格朗日方法[8]相比.在研究中把運(yùn)動(dòng)模擬器結(jié)構(gòu)中的閉鏈結(jié)構(gòu)為自由鉸約束，使建模過程得以簡(jiǎn)化.

1 方向余弦矩陣的建立

運(yùn)動(dòng)模擬器結(jié)構(gòu)原理如圖1，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)系統(tǒng)所受的主動(dòng)力分別來自于系統(tǒng)自重和6根驅(qū)動(dòng)桿的驅(qū)動(dòng)力，必須先確定驅(qū)動(dòng)力的方向余弦才能確定系統(tǒng)的主矢和主矩，下面將推導(dǎo)用矩陣形式表示的驅(qū)動(dòng)力方向余弦.

用矩陣A=(aij)4×6中列向量表示液壓桿與上臺(tái)體的鉸點(diǎn)Ai各點(diǎn)在體坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo)向量，用矩陣B=(bij)4×6的列向量表示液壓桿與底坐鉸支點(diǎn)Bi各點(diǎn)在靜坐標(biāo)系中的齊次坐標(biāo)向量.則通過齊次坐標(biāo)變換矩陣T可以求得矩陣A變換到靜坐標(biāo)系中所對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)矩陣G和矩陣B變換到上臺(tái)體體坐標(biāo)系中所對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)矩陣C為

由此可求得各液壓桿移動(dòng)中的鉸支點(diǎn)間距:

進(jìn)一步可求得，在靜坐標(biāo)系中，由支點(diǎn)Bi至支點(diǎn)Ai的驅(qū)動(dòng)力矢量對(duì)應(yīng)的方向余弦矩陣為

同理，驅(qū)動(dòng)力在體坐標(biāo)中的方向余弦矩陣為

圖1 多自由度電液混合運(yùn)動(dòng)模擬器模型Fig.1 Mode of multi-degree-of-freedom electro-hydraulic mix-drive motion simulator

2 系統(tǒng)的主矢和主矩

由方向余弦矩陣可得到系統(tǒng)在靜坐標(biāo)系中的主矢為

式中:Pc=[Pc1Pc2Pc3]T;P為對(duì)應(yīng)的液壓桿驅(qū)動(dòng)力矢量，P=[P1P2P3P4P5P6]T;Q 為重力矢量，Q=-(m1+m2+m3+m4)g[0 0 1]T，m1、m2、m3及m4依次為臺(tái)體及各環(huán)的質(zhì)量.

驅(qū)動(dòng)力在體坐標(biāo)中矢量式為

由此可以推出體坐標(biāo)系中主動(dòng)力矩矢量式為

系統(tǒng)在平臺(tái)中體坐標(biāo)系的主矩為

主矢和主矩的確定為動(dòng)力學(xué)方程的建立提供了理論依據(jù).

3 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的建立

由牛頓方程可得

式中:a=[a1a2a3]T為系統(tǒng)質(zhì)心加速度.由式(8)和(12)可得到基于牛頓方程的關(guān)于驅(qū)動(dòng)力的3個(gè)動(dòng)力學(xué)方程:

系統(tǒng)共有9個(gè)主動(dòng)力，只根據(jù)上述方程是無法求解出來的.下面將運(yùn)用羅伯遜-維滕伯格方法建立余下動(dòng)力學(xué)方程.

在運(yùn)用羅伯遜-維滕伯格法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，假設(shè)將6根液壓驅(qū)動(dòng)桿去掉，上平臺(tái)可看作在6個(gè)自由度中進(jìn)行自由運(yùn)動(dòng)的剛體，即上平臺(tái)作為第一剛體，其與零剛體之間由自由鉸連接.這樣的假設(shè)解決了6根液壓桿與上平臺(tái)并聯(lián)而引出的難題，使系統(tǒng)能夠較為簡(jiǎn)單地運(yùn)用羅伯遜-維滕伯格法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析.

該系統(tǒng)的有向圖如圖2，由此圖可獲得羅伯遜-維滕伯格法的相關(guān)矩陣.

圖2 多自由度運(yùn)動(dòng)模擬器有向圖Fig.2 Digraph of multi-degree of freedom motion simulator

系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣:

系統(tǒng)的通路矩陣:

系統(tǒng)的鉸鏈矩陣:

剛體B1、B2、B3及B4的增廣體對(duì)內(nèi)鉸點(diǎn)慣性矩陣分別為

從而可得矩陣A:

由

可得

式中:Pas為鉸鏈?zhǔn)噶?，φar、φas均為廣義坐標(biāo)變量.再由

得

又因?yàn)橘|(zhì)心與控制點(diǎn)重合，故重力力矩為

零剛體為下平臺(tái)，不轉(zhuǎn)動(dòng)，因此

各鉸的控制力矩為

盡而可得矩陣B:

綜上，可獲得羅伯遜-維滕伯格標(biāo)準(zhǔn)方程:

綜合式(13)和(17)可以求出6個(gè)液壓驅(qū)動(dòng)桿的驅(qū)動(dòng)力和3軸轉(zhuǎn)臺(tái)的3個(gè)驅(qū)動(dòng)力矩.

4 仿真與結(jié)果分析

運(yùn)動(dòng)模擬器的9個(gè)參變量為qi(i=1，2，…，9)，給參變量正弦規(guī)律變化函數(shù):qi=aisin(ωit)30°(i=4～9)，可以得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真圖線.

當(dāng)上平臺(tái)只繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，即只有q4不為0，其余參變量全部為0時(shí)，其變化規(guī)律曲線為圖3和.當(dāng)上平臺(tái)只沿Y向位移時(shí)，則除了q2其余參變量全為0，則變化規(guī)律曲線分別為圖5和6.當(dāng)只有內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，即只有q9不為零，其余參變量全部為0時(shí)，其變化規(guī)律曲線為圖7和8.當(dāng)系統(tǒng)各參量周期(T1=T2=T3=5 s;T4=T5=T6=T7=T8=T9=10 s)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其變化規(guī)律曲線為圖9和10.

圖3 6根液壓桿驅(qū)動(dòng)力曲線(只有q4不為0)Fig.3 Actuating force curve of six drive rod(only q4≠0)

圖4 三軸轉(zhuǎn)臺(tái)驅(qū)動(dòng)力矩曲線(只有q4不為0)Fig.4 Actuating moment curve of three-axle turnplate(only q4≠0)

圖5 6根液壓桿驅(qū)動(dòng)力曲線(只有q2不為0)Fig.5 Actuating force curve of six drive rod(only q4≠0)

圖6 三軸轉(zhuǎn)臺(tái)驅(qū)動(dòng)力矩曲線(只有q2不為0)Fig.6 Actuating moment curve of three-axle turnplate(only q2≠0)

圖7 6根液壓桿驅(qū)動(dòng)力曲線(只有q9不為0)Fig.7 Actuating force curve of six drive rod(only q9≠0)

圖8 三軸轉(zhuǎn)臺(tái)驅(qū)動(dòng)力矩曲線(只有q9不為0)Fig.8 Actuating moment curve of three-axle turnplate(only q9≠0)

圖9 6根液壓桿驅(qū)動(dòng)力曲線(各參量周期運(yùn)動(dòng))Fig.9 Actuating force curve of six drive rod(all of the parameters'periodic motions)

圖10 三軸轉(zhuǎn)臺(tái)驅(qū)動(dòng)力矩曲線(各參量周期運(yùn)動(dòng))Fig.10 Actuating moment curve of three-axle turnplate(all of the parameters'periodic motions)

上述各圖顯示的仿真結(jié)果與運(yùn)動(dòng)模擬器實(shí)際運(yùn)動(dòng)相符合，證明仿真結(jié)果的正確性.

5 結(jié)束語

運(yùn)用牛頓法和羅伯遜-維滕伯格方法比較完整地研究了多自由度電液混合運(yùn)動(dòng)模擬器的動(dòng)力學(xué)問題，對(duì)其動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真，得到了運(yùn)動(dòng)模擬器的實(shí)際運(yùn)動(dòng)動(dòng)力圖線，為運(yùn)動(dòng)模擬器的進(jìn)一步深入研究和實(shí)際制造提供了有價(jià)值的理論和方法.

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