基于量子粒子群算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化

張 斌 劉 幸

（1.陜西省地方電力（集團）有限公司延安分公司，陜西 延安 716000；2.華北電力大學，北京 102206）

電力系統(tǒng)無功優(yōu)化主要是指在不同的條件下，充分使用各種控制手段，來有效達到降低系統(tǒng)功耗，提升電壓水平的方法。在數學上，必須使用多目標、多約束、非線性、非連續(xù)、混合整數組合，才能達到優(yōu)化的目的。因為，在計算過程中，需運用到多個連續(xù)變量，也需要運用到多個離散變量，使得優(yōu)化過程十分復雜。

一般而言，常用的優(yōu)化方法有如下幾種：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、二次規(guī)劃、混合整數法等，每種方法都有其各自的特點和優(yōu)越性，但缺點也是非常明顯的，它們只能對與初始點有關的局部最優(yōu)解進行搜索，同時，對目標函數和約束條件有連續(xù)、可微的要求，耗費時間長，并且時常有“維數災”的情況發(fā)生。與此同時，科技的不斷發(fā)展和進步，各種先進算法已經成功應用到電力系統(tǒng)的無功優(yōu)化問題上來，通過多年的實踐，已經取得了不錯的效果。如粒子群算法、量子算法等。

粒子群優(yōu)化算法（PSO）[1]是在 1995年由Eberhard和Kennedy等人首先提出，它是一種基于種群搜索的自適應進化計算技術，由于其概念和參數調整簡單并容易編程實現，得到了廣泛應用，但是PSO算法的早熟收斂問題一直無法破解，因此其應用性受到了一定的限制。

量子計算[2-3]在20世紀90年代中期得到廣泛應用，它的最大的優(yōu)點在于其具有強大計算能力，不少研究者將經典算法和量子算法結合起來進行研究，實現了性能上的突破，如Han提出的量子遺傳算法，Sun提出的基于量子行為的粒子群優(yōu)化算法等。疊加態(tài)特性和概率表達特性是量子進化算法的兩大特點，疊加態(tài)特性最大的特點在于讓單個粒子呈現出多種不同的狀態(tài)，具有種群多樣性；概率表達特性幫助粒子以一定概率跳出局部最優(yōu)解。但是，量子進化算法的編碼采用二進制編碼，對于數值優(yōu)化問題由于需要頻繁編碼解碼，加大了計算量；更新策略一般通過既定的查詢表實現，沒有充分利用進化過程中粒子的協(xié)同性。

本文應用的量子粒子群算法[4]基于實數編碼，并且融入PSO的更新策略，不僅保持了種群多樣性而且大大增加了搜索效率。而且，本文的算法提供了一種量子包容機制，可以包容各種改進的PSO算法。IEEE-30電力系統(tǒng)無功優(yōu)化測試算例證明了算法的高效性和魯棒性。

1 數學模型

本文選用網絡損耗最小為目標函數[5]，控制變量分別為發(fā)電機機端電壓、變壓器分接頭位置、并聯(lián)電容器的投切組數。等式約束包括有功功率以及無功功率的平衡，不等式約束包括節(jié)點電壓約束，發(fā)電機無功約束，電容器無功容量約束等。通過功率流動計算可以自動滿足等式約束，同時采用罰函數的方法處理控制變量的上下界，滿足不等式約束。

1.1 原始目標函數

無功優(yōu)化問題描述如下：

1.2 約束條件

潮流約束

電壓約束

發(fā)電機無功約束

電容器無功約束

變壓器分接頭設定約束

線路容量約束

其中，Ploss為系統(tǒng)有功損耗；Pi，Qi分別表示節(jié)點i的注入有功功率和無功功率；Gij，Bij分別表示節(jié)點i和節(jié)點j之間的電導和電納；Qgi表示節(jié)點i接入的無功發(fā)電機；Qci表示節(jié)點i出補償電容器的出力；tk表示支路k上變壓器分接頭的位置；Vi，Vj分別表示節(jié)點i和節(jié)點j的電壓水平；θij表示節(jié)點i和節(jié)點j的電壓相量角；Sl表示通過第l條支路的視在功率；gk表示支路 k的電導；NB表示節(jié)點總數；NB-1表示除平衡節(jié)點以外的節(jié)點總數；NPQ表示 PQ節(jié)點總數；Ng表示發(fā)電機節(jié)點總數；Nc表示補償電容器投切組數；Nb表示系統(tǒng)支路數；Nt表示包含有載調壓變壓器的支路總數。

1.3 綜合目標函數

綜合考慮目標函數和約束條件，引入罰函數處理方法構造目標函數，如下式所示：

在上面的函數中，Vimax、Vimin為節(jié)點電壓Vi的上限和下限；Vilim、Qilim為i節(jié)點電壓和無功的限值；Qimax、Qimin為發(fā)電機節(jié)點無功出力 Qi的上限和下限；α、β分別為違反節(jié)點電壓約束和違反發(fā)電機無功出力約束的節(jié)點集合；λ1，λ2為違反電壓約束和發(fā)電機無功出力約束的懲罰因子。

2 量子粒子群算法

2.1 粒子編碼

粒子中的每一位采用量子比特的方式表示，就叫量子位。量子位的狀態(tài)除了|0＞和|1＞外，還可以是|0＞、|1＞的線性組合，通常稱其為疊加態(tài)，表示為|φ＞=α|0＞+β|1＞。其中，α 和 β是一對復數，稱為量子態(tài)的概率幅。量子態(tài)|φ＞因測量或者以|α|^2的概率坍縮到 0，或者以|β|^2的概率坍縮到 1，且滿足歸一化條件：|α|^2+|β|^2=1。因此，一個量子位可由其概率幅定義為[α, β]T，同理，m個量子位可定義成[αm, βm]T。

本文基于實數編碼，直接采用量子位的概率幅作為問題解，采用雙鏈編碼方案，如下所示

式中，θij=2π×rand；rand為（0,1）之間隨機數；i=1,2,…, m, j=1, 2, …, n；n是種群規(guī)模，m是空間維數。由此可見，種群中每個粒子占據解空間中兩個位置，分別稱為正弦位置和余弦位置。

2.2 解空間變換

不同于傳統(tǒng)的量子進化算法，本文直接使用粒子坍塌成某一基本態(tài)的概率參與適應度評價。由于粒子的每一維位置向量取值范圍不同，因此在計算適應度之前需要對粒子的位置向量進行解空間變換，如式（11）所示。

式中，popuValue為某基本態(tài)的概率；a，b分別為第j個粒子第d維的下界與上界；Xjd為第j個粒子第 d維由單位空間[-1,1]n映射到優(yōu)化問題解空間的值。

2.3 粒子更新

本文為了突出量子概念的優(yōu)越性，使用基本粒子群算法更新方式。更新策略如式（12）所示。

式中，w為慣性權重，Δθjd（t）為在第t次迭代中第j個粒子第d維的相移量，c1，c2是加速常數，r1，r2是均勻分布的隨機數，arctan（pjd）是第j個粒子歷史最優(yōu)值第d維的相位，arctan（yjd）是第j個粒子當前第 d維的相位，arctan（pgd）是全局最優(yōu)粒子第d維的相位。

根據得到的相移量，計算出量子旋轉門，然后更新粒子

式中，Δθjdt+1為在第 t+1次迭代中第 j個粒子第 d維的相移量，αjdt, βjdt為在第 t次迭代中第 j個粒子第 d維的概率幅，αjdt， βjdt為第 t+1次迭代中第 j個粒子第d維的概率幅。

2.4 算法流程圖

量子粒子群算法的流程圖如圖1所示。

圖1 算法流程圖

3 基于量子粒子群算法的無功優(yōu)化

用量子粒子群算法求解無功優(yōu)化問題時，先對決策變量（發(fā)電機機端電壓、變壓器分接頭和無功補償量）進行量子染色體的編碼及種群的初始化，再通過解空間變換，實現量子染色體與決策變量的對應，然后調用潮流計算程序進行目標函數的計算及適應度的評價，保存?zhèn)€體最優(yōu)信息和全局最優(yōu)信息，更新量子門，實現種群的進化。

3.1 初始種群的產生

在電力系統(tǒng)無功優(yōu)化中，各種變量的取值需非常謹慎，萬一出現差錯，對系統(tǒng)的影響是非常大的。這一點在控制變量上顯得尤為突出，在尋找最優(yōu)解的實踐中，筆者發(fā)現，很多控制變量取值代表的運行方式對無功優(yōu)化是毫無用處的。因此，本文采用傾斜分布方式產生初始解群[6]。

第一步，需根據下列三種類型判斷初始點的取值范圍，本文使用初始粒子種群進行潮流計算。

1）較多節(jié)點電壓越上限，系統(tǒng)是無功大量過剩狀態(tài)，需投入感性無功補償設備、降低發(fā)電機的機端電壓或切除容性無功補償設備。

2）較多節(jié)點電壓越下限，系統(tǒng)是嚴重缺無功狀態(tài)，需提高發(fā)電機機端電壓或投入容性無功補償設備。

3）少量節(jié)點電壓越下限或越上限，其余各節(jié)點電壓穩(wěn)定，此時處于無功基本平衡。

原則是，分布節(jié)點時需在略高于當前值的范圍內。

3.2 狀態(tài)變量的處理

發(fā)電機機端電壓：按連續(xù)量處理，初始運行值在電壓指定的上下邊界的范圍內隨機初始化。優(yōu)化過程中，其值在邊界范圍內更新；有載變壓器和電容器：按離散變量處理，初始運行值在規(guī)定的上下限中隨機產生。在優(yōu)化過程中，通過映射編碼和取整的方法對離散變量進行處理。對于一個變比調節(jié)范圍在[Tjmin，Tjmax]之間，共有l(wèi)個單位分接頭的變壓器，調節(jié)步長為Tstep=（Tjmax-Tjmin）/（l-1），假設第j維控制變量X[j]，則令X[j]的取值范圍等于分接頭的檔數，即1≤X[j]≤l。按照Tj=Tjmin+[X[j]-1]Tstep將 X[j]轉化為相應的變比值代入目標函數進行計算，其中[.]表示取整。電容器投切組數也按此方法處理。

3.3 電力系統(tǒng)無功優(yōu)化步驟

本系統(tǒng)優(yōu)化算法采用基于量子粒子群算法，其主要步驟如下：

1）首先對控制變量的維數及其范圍進行設置。設置量子粒子群算法的種群數量 popScale、最大迭代代數iterMax、慣性權重w、自身因子c1、全局因子c2。

2）進行初始潮流計算，根據無功優(yōu)化的本質按照傾斜分布方式產生原始粒子種群，并設定當前進化代數iter=1。

3）概率幅的初始化。

4）根據式（11）進行解空間變換，然后計算種群適應度。若粒子目前位置優(yōu)于自身記憶的最優(yōu)位置，則用目前位置替換；若目前全局最優(yōu)位置優(yōu)于已記錄的全局最優(yōu)位置，則用目前全局最優(yōu)位置替換。

5）根據式（12）對粒子狀態(tài)更新。

6）判斷是否達到最大迭代次數。若是，程序結束。若否，返回第4步。

4 算例

本文采用IEEE-30節(jié)點標準系統(tǒng)測試量子粒子群算法的優(yōu)化結果。首先判斷算法是否能執(zhí)行，分別與傳統(tǒng)量子進化算法（QEA）、標準粒子群（PSO）分別比較，編程使用Matlab7.0。

IEEE-30節(jié)點具有11個控制變量，包含兩個并聯(lián)電容器節(jié)點、6臺發(fā)電機和4臺有載調壓變壓器。其中變壓器上下界分別取1.1和0.9，電容器上下界分別取 0.4和 0。系統(tǒng)負荷 Sload=284.3+j126.2，初始網損為8.324MW。節(jié)點和支路數據參見文獻[7]。

算法初始參數的設置[8]：種群大小為10；最大迭代次數100代；根據經驗加速常數c1和c2取2；慣性權重系數w采用根據迭代次數依次遞減的自適應調整法，公式如下：

本文采用傾斜分布式啟發(fā)初始種群產生，因此需要在優(yōu)化之前了解初始電壓情況。

表1 IEEE-30節(jié)點初始潮流電壓情況

表1為初始潮流的電壓情況，優(yōu)化前有功損失為8.324MW。由表1可以看出，所有節(jié)點的電壓合格，系統(tǒng)無功基本平衡。如果發(fā)電機機端電壓初始值為 1.00，將電壓劃分為 a-e五個區(qū)域：a為[1.06,1.10]，b 為[1.02,1.06]，c 為[0.98,1.02]，d 為[0.94,0.98]，e為[0.90，0.94]。機端電壓初始化為:a區(qū)域0%，b區(qū)域30%，c區(qū)域40%，d區(qū)域30%，e區(qū)域0%；并聯(lián)電容器容量設置為0；變壓器分接頭位置在控制范圍內隨機產生。

優(yōu)化前后電壓曲線的對比圖如圖2所示。

圖2 優(yōu)化前后電壓曲線對比圖

優(yōu)化前各節(jié)點電壓在取值范圍內，但是優(yōu)化以后的電壓更加平穩(wěn)。

分別采用 QPSO、PSO、QEA對電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的結果如表2所示。

表2 QPSO，PSO，QEA結果對比表

由表2分析得知：①采用QPSO進行無功優(yōu)化后，系統(tǒng)的有功損失為6.732MW，比優(yōu)化前降低了18.55%，降損效果最為明顯。對算法各自測試 100次，其中QPSO和QEA的搜索成功率達到了98%，而PSO成功率只有90%，容易陷入局部最優(yōu)解；②另外，從表中可以清楚看出，QPSO和QEA的尋優(yōu)結果明顯優(yōu)于PSO，證明了復雜問題中引入量子概念可以大大改善進化算法，其并行性和概率性既保證了搜索的效率又保證了種群多樣性。

圖3為QPSO、PSO、QEA在優(yōu)化過程中粒子分布對比圖。

圖3 QPSO、PSO、QEA粒子分布對比圖

該圖是在100次測試中隨機選取的一次，對結果分析如下：

1）QPSO既能實現量子算法的并行性搜索，又能考慮到迭代過程中種群全局最優(yōu)解和自身最優(yōu)解對尋優(yōu)的引導性以及粒子之間的協(xié)同性，因此尋優(yōu)速度很快，由圖 3（a）可以看出算法在 50代附近已經找到了最優(yōu)解6.732MW。量子理論還有一個特點是概率性，能保證搜索中種群的多樣性，即使搜索后期，仍有粒子分布在離最優(yōu)解較遠位置，防止陷入局部最優(yōu)。

2）PSO的更新策略是通過記錄每次更新后的全局最優(yōu)值和粒子自身最優(yōu)值，依賴粒子間信息互動尋求最優(yōu)解，收斂速度與種群規(guī)模相關，一般解決復雜問題需要30～200粒子共同尋優(yōu)。另外，從圖3（b）可以看出，粒子在尋優(yōu)后期聚集在一起，容易陷入局部最優(yōu)。

3）圖3（c）是傳統(tǒng)QEA尋優(yōu)的粒子分布圖。由圖可以看出進化過程中粒子分布隨機，但是收斂速度很快，在50代附近尋到了最優(yōu)值。QEA的更新策略是采用查詢表的方式[9]，比較呆板且無法利用環(huán)境信息導致尋優(yōu)的盲目性。

5 結論

本文采用一種量子粒子群算法解決無功優(yōu)化問題，結合量子進化算法的疊加態(tài)特性和概率表達特性，以及粒子群算法的粒子協(xié)同性等優(yōu)點，算法尋優(yōu)速度快，魯棒性強。采用傾斜式啟發(fā)種群初始化，減少了不可行解的數目，提高了算法效率。通過對IEEE-30典型測試系統(tǒng)的計算分析表明，本文提出的量子粒子群算法在求解大規(guī)模電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題上具有快速、高效、準確的優(yōu)點，可以嘗試用于其他的復雜電力系統(tǒng)優(yōu)化。

[1]劉建華.粒子群算法的基本理論及其改進研究[D].湖南:中南大學,2009.

[2]李世勇,李盼池.量子計算與量子優(yōu)化算法[D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學,2009.

[3]李世勇,李盼池.量子搜索及量子智能優(yōu)化研究進展[J]. 計算機測量與控制,2009, 17(7).

[4]呂強,陳如清,俞金壽.量子連續(xù)粒子群優(yōu)化算法及其應用[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2008,5(5):122-130.

[5]李秀卿,孫守剛,姜世金,許傳偉.基于混合優(yōu)化微分進化算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化[J].電力系統(tǒng)保護與控制,2009,37(7):26-29.

[6]張炳才,秦四娟,喬世軍,盧志剛.基于改進微分進化算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化[J].電力系統(tǒng)保護與控制,2010,38(15):91-94.

[7]靳曉凌,趙建國.基于改進二進制粒子群優(yōu)化算法的負荷均衡化配電網重構[J].電網技術,2005,29(23):40-43.

[8]周文.粒子群優(yōu)化算法及其參數設置的研究[J].湖北職業(yè)技術學院學報.2006,9(4):93-96.

[9]Hong-mei Ni, Wei-gang Wang. A Niche Quantum Genetic Algorithm Used in Multi-peak Function Optimization [A]. Sixth International Conference on Natural Computation, 2010.