欠驅動船路徑跟蹤的反演自適應動態(tài)滑?？刂品椒?/h1>
2012-06-22 05:36:04廖煜雷萬磊莊佳園
中南大學學報(自然科學版) 2012年7期
廖煜雷，萬磊，莊佳園
(哈爾濱工程大學 水下智能機器人技術國防科技重點實驗室，黑龍江 哈爾濱，15001)
欠驅動水面船(USV)軌跡或路徑跟蹤控制的難點是：系統(tǒng)具有欠驅動特性。許多非線性解決方法不能直接應用到欠驅動控制中，數(shù)學模型存在不可積的二階非完整約束，不能被反饋線性化[1]；USV的運動和動力模型具有強非線性、耦合性和不確定性。與軌跡跟蹤相比，目前路徑跟蹤方面的研究較少。USV的路徑跟蹤問題常采用2種方式來解決：一是把它當作軌跡跟蹤問題來處理[2-4]；二是針對路徑跟蹤誤差動力學模型進行合適的變換，將跟蹤控制問題簡化為鎮(zhèn)定控制問題[5-7]。后一種方式常利用Serret-Frenet坐標系來生成誤差動力學模型。Encarnacao等[8]討論Serret-Frenet坐標系下，船舶受到恒定方向海流干擾影響時的路徑跟蹤問題，所設計的控制器能跟蹤直線或是圓形路徑。Skjene等[9]借助Serret-Frenet坐標系下的運動學模型變換以及動力學模型的線性化處理，提出一種路徑跟蹤控制器。在文獻[9]的基礎上，Do等[10]設計一種輸出反饋控制律，并證明該控制律能保證USV在干擾力影響下的收斂性。但是該方法需要進行狀態(tài)變換，易引起奇異性，從而導致路徑跟蹤系統(tǒng)不全局穩(wěn)定。Zhen等[11]針對簡化后的線性模型，基于Backstepping法和Lyapunov直接法設計路徑跟蹤控制器，并進行試驗驗證。但模型過于簡單，設計中忽略船舶艏搖運動非線性因素的影響。針對上述文獻存在的問題和欠驅動水面船路徑跟蹤控制系統(tǒng)的特點，經過簡化分析，將欠驅動系統(tǒng)的路徑跟蹤問題變?yōu)榉蔷€性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題?；诤喕蟮臄?shù)學模型，將自適應技術同Backstepping設計法相結合，采用動態(tài)滑模控制方法(DSMC)，提出一種反演自適應動態(tài)滑模控制器。設計過程證明該控制器能保證路徑跟蹤系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。該方法的優(yōu)點是控制器對模型改變、建模誤差和環(huán)境干擾力等不確定性影響不敏感，具有良好的自適應能力和魯棒性能。
1 系統(tǒng)描述和分析
假設慣性、阻尼矩陣皆為定常對稱矩陣；忽略垂蕩、縱搖和橫搖的影響，即只考慮船在水平面內的運動，則船舶的運動和動力學模型可描述為[12]
其中：ψ為船舶艏向角；u，υ和r分別表示在隨船坐標系中船的縱向、橫向和偏航(角)速度；縱向力Fu和偏航力矩Tr是僅有的控制輸入，mii和dii分別是船的慣性和阻尼參數(shù)矩陣在隨船坐標系3個坐標軸上的分量，均假設為正常數(shù)。由于式(1)的υ-方程中沒有橫向控制輸入，因此該船具有欠驅動性。
圖1 船舶在水平面內路徑跟蹤的示意圖Fig.1 Path following model of ship
船舶在Serret-Frenet坐標系下的路徑跟蹤示意圖，如圖1所示。圖1中，{SF}表示Serret-Frenet坐標系；{I}表示慣性坐標系；{B}表示隨船坐標系。C是預先設定的參考路徑；坐標系{SF}的原點M是船舶重心G在C上的正交投影，s是C上任意一點與M點之間的距離，xt，xn分別是M點的單位切向、法向向量。SFψ為xt與坐標軸X之間的夾角；ze表示{SF}系原點M同{B}系原點G之間的距離?；赟erret-Frenet方程，船舶路徑跟蹤誤差運動學方程[9]可描述為：
船舶在開闊海域內航行時，其路徑跟蹤問題可簡化為跟蹤直線、或是分段直線路徑，因此進一步假設κ( s )=0。則艏向誤差動力學方程可簡化為[11]
為便于控制系統(tǒng)設計，假設u是正常量。實際控制中，經常采用獨立的速度控制器來保證船舶的縱向速度，因此將 u假設為正常量是合理的[9]。另外，在船實際操縱中，υ相對于其他自由度的運動量來說是小量。因此，假設υ很小，可以忽略不計，即υ=0。
另外，由式(1)可知，偏航力矩 Tr是艏搖運動 r的控制輸入。實際中對多數(shù)船舶來說，偏航力矩 Tr是通過對舵角δ的控制來實現(xiàn)的。且在船舶自動舵的設計中，航向操縱系統(tǒng)常采用一階非線性艏搖響應方程[13]。
根據上述分析，考慮存在建模誤差和環(huán)境干擾力等不確定性的影響，則USV路徑跟蹤的數(shù)學模型為其中：T，K為操縱性參數(shù)；α為非線性項系數(shù)；δ為舵角；F為建模誤差Δ和未知環(huán)境干擾力ω不確定性影響的總和，即 F =Δ(ψ ,ψ˙) + ω，假設不確定性的上且F為慢變過程，即F˙=0。
經上述簡化分析，將欠驅動船舶的路徑跟蹤問題，轉變?yōu)榉蔷€性系統(tǒng)(見式(5))的鎮(zhèn)定控制問題。
顯然，欠驅動船舶路徑跟蹤的控制目標是設計控制器驅使(e,ψ) 收斂到0，即針對系統(tǒng)(式(5))設計一種反饋控制律δ以保證系統(tǒng)是全局漸進穩(wěn)定的。
2 控制器設計
為便于控制器設計，首先對系統(tǒng)(式(5))做如下的全局坐標變換，并令 a1=-1/T ， a2= - α/T ，b = K/T。
其中：k為正常數(shù)。
將坐標變換(式(6))代入系統(tǒng)(式(5))，得到一個新的系統(tǒng)
定理 1：考慮系統(tǒng)(式(7))，如果選擇控制律 δ使得x1全局漸進穩(wěn)定，那么也能保證原系統(tǒng)狀態(tài) ( ze,ψe)全局漸進穩(wěn)定。從而系統(tǒng)(式(7))是最小相位內部穩(wěn)定系統(tǒng)。
證明：從式(7)可得：
構造與式(7)等價的非線性系統(tǒng)
其中：11xξ=，22xξ=；ζ表示系統(tǒng)輸出。顯然，式(9)的相對階為2，且當控制律δ使得x1(即1ξ)全局收斂到0時，其零動態(tài)為
即，當ze全局漸進穩(wěn)定時，eψ也具有全局漸進穩(wěn)定性。定理1得證。
由上述分析可知，欠驅動系統(tǒng)(式(7))可簡化為如下全驅動系統(tǒng)，
因此欠驅動系統(tǒng)(式(5))的控制問題，可簡化為全驅動系統(tǒng)(式(12))的控制問題。該系統(tǒng)是具有下三角結構特性的非線性系統(tǒng)，可以進行反步設計。
2.1 反演自適應動態(tài)滑?？刂破髟O計
在非線性控制系統(tǒng)中，滑模變結構控制方法獲得廣泛的應用[14-16]，但其不可避免地存在“抖振”問題。作為一種消除“抖振”的有效方法，動態(tài)滑?？刂票粦玫揭苿訖C器人、并聯(lián)機器人、機械臂等非線性系統(tǒng)中[17-19]。下面利用反步方法，基于動態(tài)滑?？刂评碚揫20]，結合自適應技術，進行控制器設計。
考慮系統(tǒng)(式(12))的子系統(tǒng)
定義Lyapunov預選函數(shù)為：
將V1對時間求導，可得：
把x2看作式(13)的虛擬控制輸入，設計反饋控制律
其中：k1為正常數(shù)。將式(16)代入式(15)，整理可得：
即，在控制律(式(16))的作用下，式(13)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。然而x2不是實際的控制輸入，定義誤差變量：
將式(18)代入式(15)，重新整理可得：
則系統(tǒng)(式(12))可重寫為：
定義Lyapunov預選函數(shù)為：
其中：?F為未知不確定項F的估計值。
選取一階動態(tài)滑?？刂频那袚Q函數(shù)為：
其中：c1為正常數(shù)。由式(22)和式(20)的第1式可得：
將V2對時間求導，并將式(23)代入，整理可得：
對式(22)求導，令輔助控制項vδ=˙，可得：
定義Lyapunov預選函數(shù)為：
將V3對時間求導，可得：
為使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)出發(fā)到達S的時間是有限的，且為全局到達，選取到達律為：
其中：ks和ws為正常數(shù)，sgn(x)是符號函數(shù)。由式(28)得，選取動態(tài)滑?？刂坡蓈為：
將式(29)代入式(27)，可得：
設計F的自適應律為：
將式(31)代入式(30)，則有：
選取k，k1，c1，ks和ws為正常數(shù)，則有 V˙3≤ 0 成立，即在動態(tài)滑模控制律(式(29))和自適應律(式(31))的作用下，系統(tǒng)(式(20))是Lyapunov意義下全局指數(shù)穩(wěn)定的。從而保證了系統(tǒng)(式(12))的全局指數(shù)穩(wěn)定性。由定理1可證，原系統(tǒng)(式(5))狀態(tài)(ze, ψe,r)皆能全局漸進收斂到0。
2.2 反步控制器設計
假設不確定性項F=0。定義Lyapunov預選函數(shù)為:
將 V4對時間求導，并將(式(20))的第 2式代入，可得：
為使40V˙≤ ，設計狀態(tài)反饋控制律為:
其中：k2為正常數(shù)。將控制律(式(35))代入式(34)，則有：
顯然，在控制律(式(35))的作用下系統(tǒng)(式(12))的系統(tǒng)輸出x1和x2將全局指數(shù)收斂到0，即原系統(tǒng)(式(5))狀態(tài) ( ze, ψe,r)是全局漸進穩(wěn)定的。
2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析
由上述反步設計過程和 Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，通過逐步迭代設計Lyapunov函數(shù)使系統(tǒng)指數(shù)漸近穩(wěn)定，最終實現(xiàn)對原系統(tǒng)的全局漸近鎮(zhèn)定。同時，根據滑?？刂评碚?，可證明漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)能在有限時間內到達滑模表面，從而保證整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，結論如下：
定理2：考慮存在不確定性影響下的控制系統(tǒng)(式(12))，在動態(tài)滑?？刂坡?式(29))和自適應律(式(31))的作用下，可保證系統(tǒng)(式(12))是全局指數(shù)穩(wěn)定的。這實現(xiàn)了對欠驅動船舶路徑跟蹤控制系統(tǒng)(式(5))的全局漸進鎮(zhèn)定。
證明：由2.1節(jié)的設計過程得證。
在前面的控制系統(tǒng)分析中，假設縱向速度u為常量；同時忽略橫向運動υ的影響。實際上船舶在機動過程中會有一定的速度損失，且橫向速度υ會有一定的變化。在考慮橫向運動和縱向運動影響時，USV路徑跟蹤的數(shù)學模型可描述為
在考慮橫向運動時，橫向運動系統(tǒng)υ是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的(BIBO)。
證明：定義如下預選Lyapunov函數(shù)：
將V5對時間求導，并把式(37)的第2式代入，可得：
由式(39)可知：如果V5是遞減函數(shù)，也是遞減函數(shù)，式(40)表明是遞減函數(shù)。
定理3：在狀態(tài)反饋控制律(式(35))的作用下，系統(tǒng)(式(12))是全局指數(shù)漸近穩(wěn)定，即保證USV路徑跟蹤控制系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。
證明：由2.2節(jié)和2.3節(jié)的設計過程得證。
3 仿真結果和分析
本節(jié)進行仿真對比試驗以驗證所提控制器的有效性。USV船模的具體參數(shù)如下：m11=200 kg，m22=250 kg，m33=80 kg·m2，d11=70 kg/s，d22=100 kg/s，d33=50 kg·m2/s，K=1，T=2，α=0.5。仿真中初始狀態(tài)全取為：x0=0，y=0，ψ0= 0，u0=2 m/s，υ0= 0，r0=0；考慮舵角的機械飽和限制條件：-30°≤δ≤+30°。仿真中反演自適應動態(tài)滑模控制器稱為控制律 1，反演控制器稱為控制律2?？刂坡?控制參數(shù)選為：k=0.1，k1=0.1，c1=0.3，ks=0.01，ws=0.01；控制律2控制參數(shù)選為：k=0.1，k1=0.1，k2=1。
首先，將控制律1分別應用于簡化模型即系統(tǒng)(式(5))，非簡化模型即系統(tǒng)(式(37))，進行仿真對比試驗，非簡化模型時的推力設為常值Fu=140 N以維持航速，仿真結果如圖2所示。
從圖2可見：控制律1在2種模型中均使USV快速地跟蹤上期望軌跡，路徑跟蹤偏差幾乎是勻速衰減，運動軌跡和航向偏差輸出光順、無振蕩，但在非簡化模型下有輕微的超調。這說明反演自適應動態(tài)滑?？刂破骶哂辛己玫淖赃m應性和魯棒性能。圖2列出采用非簡化模型時的速度響應曲線，橫向速度和縱向速度的變化非常小。上述分析表明：對于系統(tǒng)的簡化處理是可行的。圖2中舵角輸出沒有出現(xiàn)“抖振”現(xiàn)象，即該方法有效地削弱滑模控制的“抖振”問題。
以下仿真中，設定與角加速度同量級的不確定性輸入：即建模誤差為 Δ = 2 sin(2πt)，外界干擾力為ω=± 2 (°)/s2的正態(tài)白噪聲。2種控制律在不同模型下的仿真對比試驗結果，如圖3和4所示。
圖2 不同模型下的系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線Fig.2 System state response curve under different models
從圖3可見：2種控制律均能保證USV迅速地收斂到期望軌跡，控制效果相似。但控制律2有一定的超調，且艏向誤差較大。從圖3和4可見：控制律1的舵角輸很光順、無振蕩，具有較強抑制干擾的能力。
由圖4可見：雖然USV的數(shù)學模型發(fā)生改變，但在2種控制律作用下，USV依然能收斂到設定軌跡。同控制律2相比，控制律1的收斂更快、超調較小；控制律1的舵角輸出較光順、振蕩小、沒有出現(xiàn)滿舵現(xiàn)象，可見控制律1仍具有良好的控制性能。仿真對比結果表明：反演自適應動態(tài)滑?？刂破鲗ο到y(tǒng)模型改變和外界干擾力的影響不敏感，具有良好的自適應能力和魯棒性能。
圖3 不同控制器下的系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線(簡化模型)Fig.3 System state response curve under different controllers(simplified model)
圖4 不同控制器下的系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線(非簡化模型)Fig.4 System state response curve under different controllers(non-simplified model)
4 結論
(1) 基于一定假設，可將原單輸入三輸出的系統(tǒng)簡化為一個單輸入雙輸出的欠驅動系統(tǒng)。從仿真試驗結果可看出，對系統(tǒng)的簡化假設是合理可行的。
(2) 利用反步法設計法與一階動態(tài)滑?？刂品椒ㄏ嘟Y合，設計反演自適應動態(tài)滑?？刂破?。從理論上證明該控制器保證 USV路徑跟蹤系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。
(3) 仿真對比試驗表明：該控制器具有較好的控制性能、自適應性和強魯棒性。理論分析和仿真試驗均驗證了該控制方法的有效性。
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1 系統(tǒng)描述和分析
假設慣性、阻尼矩陣皆為定常對稱矩陣；忽略垂蕩、縱搖和橫搖的影響，即只考慮船在水平面內的運動，則船舶的運動和動力學模型可描述為[12]
其中：ψ為船舶艏向角；u，υ和r分別表示在隨船坐標系中船的縱向、橫向和偏航(角)速度；縱向力Fu和偏航力矩Tr是僅有的控制輸入，mii和dii分別是船的慣性和阻尼參數(shù)矩陣在隨船坐標系3個坐標軸上的分量，均假設為正常數(shù)。由于式(1)的υ-方程中沒有橫向控制輸入，因此該船具有欠驅動性。
圖1 船舶在水平面內路徑跟蹤的示意圖Fig.1 Path following model of ship
船舶在Serret-Frenet坐標系下的路徑跟蹤示意圖，如圖1所示。圖1中，{SF}表示Serret-Frenet坐標系；{I}表示慣性坐標系；{B}表示隨船坐標系。C是預先設定的參考路徑；坐標系{SF}的原點M是船舶重心G在C上的正交投影，s是C上任意一點與M點之間的距離，xt，xn分別是M點的單位切向、法向向量。SFψ為xt與坐標軸X之間的夾角；ze表示{SF}系原點M同{B}系原點G之間的距離?；赟erret-Frenet方程，船舶路徑跟蹤誤差運動學方程[9]可描述為：
船舶在開闊海域內航行時，其路徑跟蹤問題可簡化為跟蹤直線、或是分段直線路徑，因此進一步假設κ( s )=0。則艏向誤差動力學方程可簡化為[11]
為便于控制系統(tǒng)設計，假設u是正常量。實際控制中，經常采用獨立的速度控制器來保證船舶的縱向速度，因此將 u假設為正常量是合理的[9]。另外，在船實際操縱中，υ相對于其他自由度的運動量來說是小量。因此，假設υ很小，可以忽略不計，即υ=0。
另外，由式(1)可知，偏航力矩 Tr是艏搖運動 r的控制輸入。實際中對多數(shù)船舶來說，偏航力矩 Tr是通過對舵角δ的控制來實現(xiàn)的。且在船舶自動舵的設計中，航向操縱系統(tǒng)常采用一階非線性艏搖響應方程[13]。
根據上述分析，考慮存在建模誤差和環(huán)境干擾力等不確定性的影響，則USV路徑跟蹤的數(shù)學模型為其中：T，K為操縱性參數(shù)；α為非線性項系數(shù)；δ為舵角；F為建模誤差Δ和未知環(huán)境干擾力ω不確定性影響的總和，即 F =Δ(ψ ,ψ˙) + ω，假設不確定性的上且F為慢變過程，即F˙=0。
經上述簡化分析，將欠驅動船舶的路徑跟蹤問題，轉變?yōu)榉蔷€性系統(tǒng)(見式(5))的鎮(zhèn)定控制問題。
顯然，欠驅動船舶路徑跟蹤的控制目標是設計控制器驅使(e,ψ) 收斂到0，即針對系統(tǒng)(式(5))設計一種反饋控制律δ以保證系統(tǒng)是全局漸進穩(wěn)定的。
2 控制器設計
為便于控制器設計，首先對系統(tǒng)(式(5))做如下的全局坐標變換，并令 a1=-1/T ， a2= - α/T ，b = K/T。
其中：k為正常數(shù)。
將坐標變換(式(6))代入系統(tǒng)(式(5))，得到一個新的系統(tǒng)
定理 1：考慮系統(tǒng)(式(7))，如果選擇控制律 δ使得x1全局漸進穩(wěn)定，那么也能保證原系統(tǒng)狀態(tài) ( ze,ψe)全局漸進穩(wěn)定。從而系統(tǒng)(式(7))是最小相位內部穩(wěn)定系統(tǒng)。
證明：從式(7)可得：
構造與式(7)等價的非線性系統(tǒng)
其中：11xξ=，22xξ=；ζ表示系統(tǒng)輸出。顯然，式(9)的相對階為2，且當控制律δ使得x1(即1ξ)全局收斂到0時，其零動態(tài)為
即，當ze全局漸進穩(wěn)定時，eψ也具有全局漸進穩(wěn)定性。定理1得證。
由上述分析可知，欠驅動系統(tǒng)(式(7))可簡化為如下全驅動系統(tǒng)，
因此欠驅動系統(tǒng)(式(5))的控制問題，可簡化為全驅動系統(tǒng)(式(12))的控制問題。該系統(tǒng)是具有下三角結構特性的非線性系統(tǒng)，可以進行反步設計。
2.1 反演自適應動態(tài)滑?？刂破髟O計
在非線性控制系統(tǒng)中，滑模變結構控制方法獲得廣泛的應用[14-16]，但其不可避免地存在“抖振”問題。作為一種消除“抖振”的有效方法，動態(tài)滑?？刂票粦玫揭苿訖C器人、并聯(lián)機器人、機械臂等非線性系統(tǒng)中[17-19]。下面利用反步方法，基于動態(tài)滑?？刂评碚揫20]，結合自適應技術，進行控制器設計。
考慮系統(tǒng)(式(12))的子系統(tǒng)
定義Lyapunov預選函數(shù)為：
將V1對時間求導，可得：
把x2看作式(13)的虛擬控制輸入，設計反饋控制律
其中：k1為正常數(shù)。將式(16)代入式(15)，整理可得：
即，在控制律(式(16))的作用下，式(13)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。然而x2不是實際的控制輸入，定義誤差變量：
將式(18)代入式(15)，重新整理可得：
則系統(tǒng)(式(12))可重寫為：
定義Lyapunov預選函數(shù)為：
其中：?F為未知不確定項F的估計值。
選取一階動態(tài)滑?？刂频那袚Q函數(shù)為：
其中：c1為正常數(shù)。由式(22)和式(20)的第1式可得：
將V2對時間求導，并將式(23)代入，整理可得：
對式(22)求導，令輔助控制項vδ=˙，可得：
定義Lyapunov預選函數(shù)為：
將V3對時間求導，可得：
為使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)出發(fā)到達S的時間是有限的，且為全局到達，選取到達律為：
其中：ks和ws為正常數(shù)，sgn(x)是符號函數(shù)。由式(28)得，選取動態(tài)滑?？刂坡蓈為：
將式(29)代入式(27)，可得：
設計F的自適應律為：
將式(31)代入式(30)，則有：
選取k，k1，c1，ks和ws為正常數(shù)，則有 V˙3≤ 0 成立，即在動態(tài)滑模控制律(式(29))和自適應律(式(31))的作用下，系統(tǒng)(式(20))是Lyapunov意義下全局指數(shù)穩(wěn)定的。從而保證了系統(tǒng)(式(12))的全局指數(shù)穩(wěn)定性。由定理1可證，原系統(tǒng)(式(5))狀態(tài)(ze, ψe,r)皆能全局漸進收斂到0。
2.2 反步控制器設計
假設不確定性項F=0。定義Lyapunov預選函數(shù)為:
將 V4對時間求導，并將(式(20))的第 2式代入，可得：
為使40V˙≤ ，設計狀態(tài)反饋控制律為:
其中：k2為正常數(shù)。將控制律(式(35))代入式(34)，則有：
顯然，在控制律(式(35))的作用下系統(tǒng)(式(12))的系統(tǒng)輸出x1和x2將全局指數(shù)收斂到0，即原系統(tǒng)(式(5))狀態(tài) ( ze, ψe,r)是全局漸進穩(wěn)定的。
2.3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析
由上述反步設計過程和 Lyapunov穩(wěn)定性理論可知，通過逐步迭代設計Lyapunov函數(shù)使系統(tǒng)指數(shù)漸近穩(wěn)定，最終實現(xiàn)對原系統(tǒng)的全局漸近鎮(zhèn)定。同時，根據滑?？刂评碚?，可證明漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)能在有限時間內到達滑模表面，從而保證整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，結論如下：
定理2：考慮存在不確定性影響下的控制系統(tǒng)(式(12))，在動態(tài)滑?？刂坡?式(29))和自適應律(式(31))的作用下，可保證系統(tǒng)(式(12))是全局指數(shù)穩(wěn)定的。這實現(xiàn)了對欠驅動船舶路徑跟蹤控制系統(tǒng)(式(5))的全局漸進鎮(zhèn)定。
證明：由2.1節(jié)的設計過程得證。
在前面的控制系統(tǒng)分析中，假設縱向速度u為常量；同時忽略橫向運動υ的影響。實際上船舶在機動過程中會有一定的速度損失，且橫向速度υ會有一定的變化。在考慮橫向運動和縱向運動影響時，USV路徑跟蹤的數(shù)學模型可描述為
在考慮橫向運動時，橫向運動系統(tǒng)υ是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的(BIBO)。
證明：定義如下預選Lyapunov函數(shù)：
將V5對時間求導，并把式(37)的第2式代入，可得：
由式(39)可知：如果V5是遞減函數(shù)，也是遞減函數(shù)，式(40)表明是遞減函數(shù)。
定理3：在狀態(tài)反饋控制律(式(35))的作用下，系統(tǒng)(式(12))是全局指數(shù)漸近穩(wěn)定，即保證USV路徑跟蹤控制系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。
證明：由2.2節(jié)和2.3節(jié)的設計過程得證。
3 仿真結果和分析
本節(jié)進行仿真對比試驗以驗證所提控制器的有效性。USV船模的具體參數(shù)如下：m11=200 kg，m22=250 kg，m33=80 kg·m2，d11=70 kg/s，d22=100 kg/s，d33=50 kg·m2/s，K=1，T=2，α=0.5。仿真中初始狀態(tài)全取為：x0=0，y=0，ψ0= 0，u0=2 m/s，υ0= 0，r0=0；考慮舵角的機械飽和限制條件：-30°≤δ≤+30°。仿真中反演自適應動態(tài)滑模控制器稱為控制律 1，反演控制器稱為控制律2?？刂坡?控制參數(shù)選為：k=0.1，k1=0.1，c1=0.3，ks=0.01，ws=0.01；控制律2控制參數(shù)選為：k=0.1，k1=0.1，k2=1。
首先，將控制律1分別應用于簡化模型即系統(tǒng)(式(5))，非簡化模型即系統(tǒng)(式(37))，進行仿真對比試驗，非簡化模型時的推力設為常值Fu=140 N以維持航速，仿真結果如圖2所示。
從圖2可見：控制律1在2種模型中均使USV快速地跟蹤上期望軌跡，路徑跟蹤偏差幾乎是勻速衰減，運動軌跡和航向偏差輸出光順、無振蕩，但在非簡化模型下有輕微的超調。這說明反演自適應動態(tài)滑?？刂破骶哂辛己玫淖赃m應性和魯棒性能。圖2列出采用非簡化模型時的速度響應曲線，橫向速度和縱向速度的變化非常小。上述分析表明：對于系統(tǒng)的簡化處理是可行的。圖2中舵角輸出沒有出現(xiàn)“抖振”現(xiàn)象，即該方法有效地削弱滑模控制的“抖振”問題。
以下仿真中，設定與角加速度同量級的不確定性輸入：即建模誤差為 Δ = 2 sin(2πt)，外界干擾力為ω=± 2 (°)/s2的正態(tài)白噪聲。2種控制律在不同模型下的仿真對比試驗結果，如圖3和4所示。
圖2 不同模型下的系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線Fig.2 System state response curve under different models
從圖3可見：2種控制律均能保證USV迅速地收斂到期望軌跡，控制效果相似。但控制律2有一定的超調，且艏向誤差較大。從圖3和4可見：控制律1的舵角輸很光順、無振蕩，具有較強抑制干擾的能力。
由圖4可見：雖然USV的數(shù)學模型發(fā)生改變，但在2種控制律作用下，USV依然能收斂到設定軌跡。同控制律2相比，控制律1的收斂更快、超調較小；控制律1的舵角輸出較光順、振蕩小、沒有出現(xiàn)滿舵現(xiàn)象，可見控制律1仍具有良好的控制性能。仿真對比結果表明：反演自適應動態(tài)滑?？刂破鲗ο到y(tǒng)模型改變和外界干擾力的影響不敏感，具有良好的自適應能力和魯棒性能。
圖3 不同控制器下的系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線(簡化模型)Fig.3 System state response curve under different controllers(simplified model)
圖4 不同控制器下的系統(tǒng)狀態(tài)響應曲線(非簡化模型)Fig.4 System state response curve under different controllers(non-simplified model)
4 結論
(1) 基于一定假設，可將原單輸入三輸出的系統(tǒng)簡化為一個單輸入雙輸出的欠驅動系統(tǒng)。從仿真試驗結果可看出，對系統(tǒng)的簡化假設是合理可行的。
(2) 利用反步法設計法與一階動態(tài)滑?？刂品椒ㄏ嘟Y合，設計反演自適應動態(tài)滑?？刂破?。從理論上證明該控制器保證 USV路徑跟蹤系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。
(3) 仿真對比試驗表明：該控制器具有較好的控制性能、自適應性和強魯棒性。理論分析和仿真試驗均驗證了該控制方法的有效性。
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