論Casimir效應(yīng)中的超光速現(xiàn)象

黃志洵

(中國傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院，北京 100024)

論Casimir效應(yīng)中的超光速現(xiàn)象

黃志洵

(中國傳媒大學(xué)信息工程學(xué)院，北京 100024)

荷蘭物理學(xué)家Hendrik Casimir于1948年提出存在一種Casimir力——當(dāng)計算兩個互相平行的不帶電導(dǎo)體板之間的能量時，當(dāng)板距d小于真空中虛光子的波長，長波排除，板外的無限多模式大于板內(nèi)的無限多模式，造成一個小的力量使兩板靠近。計算Casimir效應(yīng)有許多方法，例如可用Green函數(shù)描寫Casimir能，就可以計算與邊界條件對應(yīng)的4種情況。

可以認(rèn)為真空中放置雙板后改變了真空的結(jié)構(gòu)，故有兩種真空:板外的常態(tài)真空或自由真空，板間的負(fù)能真空。對于與板垂直的電磁波傳播而言，真空中的光速并不相同，變化量(△c/c)約為1.6×10-60d-4，故當(dāng)d=10-9m時△c=10-24c。因此，由于量子電動力學(xué)雙環(huán)效應(yīng)，K.Scharnhorst斷定這會使電磁波的相速和群速大于真空中光速c。雖然超光速的量很小，但卻提升了對原理的興趣?？梢哉f，在發(fā)現(xiàn)Casimir效應(yīng)64年后的今天，它仍使人們感到驚奇。

Casimir力;真空能;負(fù)能量;量子場論;量子電動力學(xué);超光速

1 引言

在物理學(xué)中，Casimir效應(yīng)(或說Casimir力)是令人著迷的課題。乍看起來有點令人匪夷所思——一對置于真空中的金屬導(dǎo)體板(互相平行)，它們之間竟會有仿佛“互相吸引力”的作用，但又不是萬有引力。這個力是微小的，但比萬有引力卻大得多;其存在可由測量而得到證明，不過兩板的間距很小時(微米級乃至納米級)才有可測效應(yīng)，當(dāng)然在技術(shù)上是非常困難的。H.Casimir［1］的論文發(fā)表于 1948年;真正的實驗證明者是 S.Lamoreaux［2］，論文發(fā)表于1997年;兩件事的時間差有半個世紀(jì)。Casimir的逝世時間是2000年;晚年的他在得知自己的理論得到實驗上的確證時，心情的激動是可以想象的。

對Casimir效應(yīng)的初學(xué)者而言，腦海中會產(chǎn)生一系列問題。為什么在經(jīng)典物理學(xué)中不可能有的現(xiàn)象卻在量子物理學(xué)中出現(xiàn)了?它是否像“量子糾纏態(tài)”那樣神秘?Casimir當(dāng)初如何想起這個課題的?什么是Casimir力的本質(zhì)(為何兩板互相吸引而非互相排斥)?Casimir力究竟有多大?這個物理現(xiàn)象的理論意義與實際意義(包括應(yīng)用前景)是什么?為什么這個效應(yīng)與負(fù)能量(negative energy)概念有聯(lián)系?為什么在這當(dāng)中也浮現(xiàn)虛光子(virtual photons)的身影?……諸如此類的疑問令人驚訝。至于這一效應(yīng)竟然與超光速研究有關(guān)，既令人感覺意外又不十分奇怪，因為科學(xué)工作者早就認(rèn)識到事物的聯(lián)系是非常廣泛的，對于一些大自然提供的奇妙現(xiàn)象而言，情況更是如此。

1990 年，德國的 K.Scharnhorst［3］和英國的 G.Barton各在同一刊物上發(fā)表文章，聲稱發(fā)現(xiàn)了Casimir效應(yīng)中的超光速現(xiàn)象(Scharnhorst，Phys.Lett.，B236，1990， 354;Barton，Phys.Lett.，B237，1990，559);這是1990年上半年的事。同年7月，美國的S.Ben-Menahem［4］在同一雜志上發(fā)表了題為“雙導(dǎo)體板之間的因果性”的論文，對前述兩人的工作進行評論。這些文章都是高水平的，例如利用了量子電動力學(xué)(QED)概念和Feynman圖進行分析?！疚膶τ嘘P(guān)工作的敘述不僅展示了超光速研究的一個方面，也是為了Pervasive through focus(經(jīng)由專注達到普及);企盼專家學(xué)者賜教。

2 對Casimir效應(yīng)的回顧

各種研究和計算都是先作一維(1D)分析然后再擴展到三維(3D)，前者僅考慮垂直于平板表面的波矢，后者才符合實際情況。為了清晰起見，我們在圖1中繪出3個小圖;圖1(a)表示置于真空中的一對方形金屬板(尺寸a×a)，互相平行間距為d(假定d?a);設(shè)z軸與板面垂直，板子處于xy平面之中。圖1(b)是一維(1D)情況，只有波長λ較小(λ＜d)的波才能在板間和板外同時形成;圖中顯示板間的波動總體上少于板外的波動(長波排除)，即有力使Fc板子相互靠近。圖1(c)也是對一維(1D)情況的表述，由于板間似乎“排除”掉一些頻率較低(波長較長)的光子，板外的較多光子就有使兩板有靠近的趨勢——但反映真空漲落的是虛光子，它們忽隱忽現(xiàn)、忽生忽滅;圖1(c)和圖1(b)的描述在本質(zhì)上是一樣的，是波粒二象性的反映?？傊瑘D1的敘述方式易于理解。

早在上世紀(jì)40年代初就已發(fā)現(xiàn)，處在理想導(dǎo)體壁腔體中的原子會被腔壁吸引，形成Casimir-Polder力［7］。在 N.Bohr的啟發(fā)下，H.Casimir(1909-2000)利用零點能(ZPE)觀念對腔體內(nèi)的狀況重作計算［1］;他采用兩塊理想導(dǎo)體板平行對稱放置構(gòu)成開腔，以計算邊界條件變化時ZPE發(fā)生的變化:

式中E1是無板(無腔體)時的ZPE，E2是有板(有腔體)時的ZPE，Ec是專有的 Casimir能(E2與之 E1差)。故若算出Ec≠0即表示置入腔后ZPE發(fā)生了變化;若Ec＜0，表示置入腔后ZPE變小了。

為了計算Casimir效應(yīng)，必須算出兩板之間(體積a2d)所含振動模數(shù)目。以圖1(a)為基礎(chǔ)進行討論;分析方法是經(jīng)典場論結(jié)合量子場論(QFT)。我們知道真空態(tài)是在任何模式均無光子的態(tài)，即對所有波矢及波長λ均有n=0，這里n是表征光子場的光子數(shù)態(tài);這時可證明真空能基本方程為

式中?是歸一化Planck常數(shù)，ωk是對應(yīng)波矢k→的波頻(角頻率)。上式?jīng)]有在討論ZPE時常出現(xiàn)的系數(shù)1/2，原因是存在兩種橫向線極化狀態(tài)(TE和TM)，每種波都乘以2?，F(xiàn)在考慮空間有一維系統(tǒng)，即圖1(b)或圖1(c)，對應(yīng) k=kz的波模，在板處(金屬表面)應(yīng)為波節(jié)，kz應(yīng)為離散值(k=kz=nπ/d)，造成一系列分立模式，故可寫出腔的真空能(ZPE)為

式中c是真空中光速;同一空間沒有腔體時分立的n應(yīng)為連續(xù)變量:

負(fù)號表示Casimir能是負(fù)能量。

在物理學(xué)中，做功 W→= ?F→·dl→(力對距離元乘積的積分)，而功又可表為能量差;由此看出能量與功等效。反過來說，能量對距離的變化呈現(xiàn)出力效應(yīng);故有

在一維條件下求出Casimir力為

然而真實情況是圖1(a)，在3D分析中必須包含波矢不與板垂直的那些模。這時可導(dǎo)出以下算式:

通過在Euler-Mclaurin求和公式中引用3階導(dǎo)數(shù)，可以證明

實際上(9)式的花括號內(nèi)的兩項，每項都是發(fā)散的，但差值卻不是發(fā)散的——這是最奇妙之處?，F(xiàn)在使用(7)式求出

此即Casimir力公式;可見Fc∝a2(板面積越大力越大)，而且Fc∝d-4(間距越小力越大)。前者的原因可理解為板面積越大則內(nèi)外光子數(shù)差別越發(fā)顯著，后者的原因可理解為d越小則板間允許的模數(shù)越小(光子越少)，造成力變大?！⒁釩asimir力與Newton萬有引力的不同，后者的規(guī)律是Fc∝d-2，且力的大小與兩板質(zhì)量乘積成正比(F∝m2)。但對Casimir力而言，F(xiàn)c與金屬板質(zhì)量毫無關(guān)系。

由(11)式，金屬板受到的壓強為

取Fc的量綱為 dyne，a的量綱為 cm，d的量綱為μm，這時有

若d=1μm，a=1cm，則有 Fc=-1.3×10-2dyne=-1.3×10-7N;也就是說，兩個面積1平方厘米、相距1微米的板之間的Casimir力的絕對值大約比10-7N大一點點，大約相當(dāng)于一個直徑0.5mm的水珠所受的重力。這種力很小，但若把d大大減小則可能很可觀(必須注意到當(dāng)d→0時，|Fc|→∞)。實際上，若d=10nm，pc?1atm(一個大氣壓);故在納米世界中這個力不可忽視，或許比Newton引力的重要性大得多。

關(guān)于Casimir效應(yīng)的真正有意義的實驗是始于S.Lamoreaux［2］(1997 年)，證明 Casimir力確實存在。但其實驗被認(rèn)為有若干不確定性［8］，因而首次精確測量Casimir力的實驗被認(rèn)為是U.Mohideen［9］(1998年);圖2是一個測量實例(轉(zhuǎn)引自 G.L.Klimchitskaya等［8］)，d 表示兩個鋁(Al)表面的間距，縱坐標(biāo)Fc是以10-12N為單位;虛線是理想金屬表面(無趨膚效應(yīng)、理想光滑)的計算，實線是實際金屬表面(有趨膚效應(yīng)、非理想光滑)的計算，小圓圈是測量結(jié)果?？梢?，F(xiàn)c是非常微小(故難于檢測)的力。但它確實是存在的。

近年來筆者就 Casimir效應(yīng)寫過一些文章［10，11］，因為對這一現(xiàn)象的理解關(guān)系到當(dāng)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的許多重大問題。圖3是本文所設(shè)計和繪制的學(xué)科關(guān)系，實線表示“有密切聯(lián)系”，虛線表示“有聯(lián)系”。過去筆者未論述過Casimir效應(yīng)與超光速研究的聯(lián)系;本文的內(nèi)容是對此缺憾的彌補。眾所周知，狹義相對論(SR)認(rèn)為超光速是不可能的，但量子理論不為速度規(guī)定上限?！癈asimir效應(yīng)中有超光速現(xiàn)象”的論據(jù)，應(yīng)看作是量子理論范疇中的觀點，并不令人奇怪。

3 與Casimir效應(yīng)相關(guān)聯(lián)的超光速現(xiàn)象

從經(jīng)典物理的角度看，“真空”是什么都沒有的虛空，“真空”也只有這一種。但從量子物理的角度看，如在真空中放進兩塊平行金屬板，板子的內(nèi)、外的狀態(tài)并不相同——兩板之間的真空程度更高、更深，所以才有力量使兩板有靠近的趨勢。這個Casimir效應(yīng)既已被實驗所證明，我們就得承認(rèn)上述“兩種真空”的說法是正確的。既如此，“板內(nèi)和板外的光速可能不一樣”就是合乎邏輯的了。因此，正是邊界條件的改變影響了真空，從而影響了電磁波的傳播速度。換言之，光的傳播是取決于真空的結(jié)構(gòu)，而“真空有結(jié)構(gòu)”正是量子物理學(xué)的基本觀點。正是由于Casimir效應(yīng)，我們才得以區(qū)分以下兩者:①常態(tài)真空(usual vacuum)也叫自由真空(free vacuum);②有板時的板間真空(vacuum between the plates);后者的特征是 vacuum energy density reduced，故筆者認(rèn)為也可稱為負(fù)能真空(negative energy vacuum)，這是發(fā)生超光速現(xiàn)象的物理基礎(chǔ)。

Casimir效應(yīng)型結(jié)構(gòu)(雙平行板)是把邊界條件強加到光子真空漲落上，這時可用量子電動力學(xué)(QED)來考慮問題。1990 年 K.Scharnhorst［3］對此作了雙環(huán)修正(two-loop corrections)計算，根據(jù)QED有效作用發(fā)現(xiàn)，對于處在真空中的雙板，考慮與板垂直的光傳播時，光速會發(fā)生改變。Scharnhorst雖然發(fā)現(xiàn)這種“改變”是光速增大了(進入超光速區(qū))，但他謹(jǐn)慎地避免使用fast-than-light或superluminal之類的用語。圖4是作QED計算時的雙環(huán)圖(twoloop diagram)，它對光子極化算子(photon polarization operator)作出貢獻，因而對折射率n的計算作出貢獻。

圖4 QED計算中的雙環(huán)圖

Scharnhorst的分析計算集中到一點——先在垂直于板面方向上計算折射率:

式中ε11、μ11是介電常數(shù)張量分量和導(dǎo)磁率張量分量，n的下標(biāo)p代表perpendicular;最終導(dǎo)出

式中d是兩塊理想導(dǎo)電平板的間距，m是質(zhì)量;規(guī)定c0為常態(tài)真空或自由真空中的光速，則有

式中c是在板間真空條件下在板面垂直方向上的光速，c與c0不同是由于真空的結(jié)構(gòu)性改變(change in the vacuum structure)，這改變是由置入雙板造成的。結(jié)果是c＞c0;這里 c0=299792458 m/s，c大于 c0即超光速。進一步的計算給出:

取 d=1μm，△c/c=1.6 ×10-36，是非常小的;但即便如此也與狹義相對論(SR)不一致——無論超過光速的量多么微小，均為SR理論所不容。可以嘗試再次減小d，——對于1納米間隙(d=1nm)，增量△c=10-24c。這個數(shù)值也非常小，但在某些情況下有重要性;在特定的宇宙學(xué)條件下，例如在宇宙弦(cosmic string)的附近——這是說假如它們存在的話，引起的效應(yīng)會顯著得多?？傊琒charnhorst并未計算“光子在兩塊金屬板之間的飛行速度”，而是計算兩板間波垂直傳播時的波速，發(fā)現(xiàn)相速比光速略大(vp＞c)。在頻率不高條件下討論，可以忽略色散，群速等于相速，故群速比光速略大(vg＞c)。我們知道在用作微波傳輸線的波導(dǎo)(橫截面為矩形或圓形的金屬管子)中，相速就是大于光速，毫不奇怪;但波導(dǎo)中群速總小于光速(vg＞c)。因此Scharnhorst的主要成果是證明了在Casimir效應(yīng)中有超光速群速出現(xiàn)，而這并不是隨便就會有的現(xiàn)象。

1993 年 G.Barton 和 K.Scharnhorst［12］稱兩塊金屬平板為“平行雙反射鏡”(parallel mirrors)，重新解釋有關(guān)問題。論文題目有趣但令人費解——“平行雙反射鏡之間的量子電動力學(xué):光信號比c快，或由真空所放大”(“QED between parallel mirrors:light signals faster than c，or amplified by the vacuum”)。文章的摘要說:

“由于量子化場的散射，在兩個平行雙反射鏡之間垂直穿行的頻率為ω的光，所經(jīng)歷的真空是折射率為n(ω)的色散媒質(zhì)。我們早先的低頻結(jié)果表示n(0)＜1，是結(jié)合了Kramers-Kroning色散關(guān)系和經(jīng)典的Sommerfeld-Brillouin論據(jù)，以宣示兩者之中任一情況:①n(∞)＜1，因而信號速度c/n(∞)＞c;②n的虛部為負(fù)，反射鏡間的真空不足以像一種正常無源媒質(zhì)那樣對光探測作出響應(yīng)。”因此很明顯，兩作者關(guān)注的是真空的性質(zhì);他們認(rèn)為在Casimir效應(yīng)的物理情況和條件下，真空的折射率不再等于1，而可能比1要小。當(dāng)然這仍是QFT的觀點，與經(jīng)典物理學(xué)不同。另外，應(yīng)當(dāng)注意Scharnhorst的“群速超光速”有兩個條件，一是專指垂直于板面的波，二是頻率不太高(ωme)。

為什么在Casimir效應(yīng)賴以發(fā)生的兩塊金屬板之間會發(fā)生電磁波速比c大的現(xiàn)象?從概念上講，在兩個平行板反射鏡(距離d)之間，考慮絕對溫度為零時的Maxwell電磁場，板子假定在任何頻率均為理想導(dǎo)體。板子外邊界條件為E11=0、B⊥=0。若場是量子化的，其真空結(jié)構(gòu)不同于無邊界空間中的情況。特別是，場分量平方、能量密度不同——后者較低，一如Casimir效應(yīng)所證明了的。

眾所周知，即使沒有反射鏡，Dirac的電子/質(zhì)子場的零點振動深刻改變真空性質(zhì)，這是QED相對于經(jīng)典物理的區(qū)別。例如，它們向Maxwell方程引入非線性，隨之發(fā)生了光散射。這些非線性結(jié)合反射鏡感應(yīng)改變了零點Maxwell場，造成反射鏡之間的與鏡垂直的光速度可能超過c;雖然超光速程度很少難于觀察，但卻提升了對原理的興趣。

總之，B＆S文章重點在于對低頻折射率的考慮，得到相速、群速超過c。在兩個反射鏡之間，相對于無界空間，平面波探測傳播是改變了(由探測場的費米子感應(yīng)耦合到量子化Maxwell場的零點振蕩)。當(dāng)ω?me，對Maxwell方程的非線性修正可歸結(jié)為Euler-Heisenberg有效拉氏量密度:

由此出發(fā)的研究表明，對于反射鏡間的垂直傳播而言，有效折射率變?yōu)?/p>

而與反射鏡平行的傳播的折射率仍為1，與無界空間相同。

對于實際測量而言，△n是太小的;它其實就是

△ε、△μ或可理解為介電常數(shù)、導(dǎo)磁率隨位置的變化。

4 討論

從表面上看，超光速研究只是無數(shù)科學(xué)技術(shù)課題之一，正如昆蟲學(xué)家研究蜘蛛，或者蘋果公司的Jobs在生前設(shè)計iPhone和iPad產(chǎn)品，性質(zhì)是相同的。然而筆者認(rèn)為，超光速研究是探索人類心靈深處的某種追尋。一些科學(xué)家的反對或逃避只是一種想使自己避免思想混亂的本能反應(yīng)，潛意識中重視的已不是對真理的追求，而是極力維護學(xué)術(shù)界的現(xiàn)存秩序?！腥苏f“今天‘我們的已有知識’全經(jīng)過了嚴(yán)格的理性審查”，這樣講是在無比豐富復(fù)雜的大自然面前缺乏應(yīng)有的謙虛。

1997年美國物理學(xué)家 P.Gibbs［13］指出:“在將來的更完備的物理理論中，不能保證光速仍然具有速度極限的意義”(“there is no guarantee that light speed will be meaningful as a speed limit in a more complete theory of the future”)。他這樣講是有充分理由的;我們知道，人們認(rèn)為迄今為止所有已知的物理現(xiàn)象(除引力外)均符合粒子物理學(xué)中的標(biāo)準(zhǔn)模型(standard model)，而該模型是一個相對論性量子場論(relativistic quantum field theory)，描述包括電磁相互作用、弱相互作用、強相互作用在內(nèi)的基本物理過程和所有已觀測粒子。根據(jù)這個理論，任何對應(yīng)于兩個在有類空距離的事件處所作物理觀測的算子是對易的。然而，盡管從原則上講在標(biāo)準(zhǔn)模型中這些物理作用不能以超光速傳播，卻缺少對標(biāo)準(zhǔn)模型的量子場論的自冾性的完整嚴(yán)格的證明——很可能它不是自冾的!也就是說，在任何情況下都沒有這種保證:不會有其他未發(fā)現(xiàn)的粒子和力是不遵守其規(guī)則;此外，也無人將其推廣到包括廣義相對論(GR)和引力。許多在量子引力方面進行工作的物理學(xué)家懷疑，關(guān)于因果性和局域性的如此簡單的多個表達式能否作這樣的普遍化。……因此我們可以說，當(dāng)前仍有一些科學(xué)家熱衷于超光速研究是不奇怪的。

2010年筆者提出要重視量子超光速性(quantum superluminality)的研究［18］;現(xiàn)在我們可以說，它主要包含3方面:①量子隧穿的超光速性［14-18］;②量子糾纏態(tài)的超光速性［19］;③Casimir效應(yīng)中的超光速性［3，12］。這些都植根于量子理論的非局域性(non-locality)物理哲學(xué)思想，既是重要的也是非常有趣的。

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Faster-than-light Phenomenon of the Casimir Effect

HUANG Zhi-Xun
(Communication University of China，Beijing 100024)

The Casimir force was predicted in 1948 by Dutch physicist Hendrik Casimir，he realized that when calculating the energy between two parallel uncharged conducting plates，only those virtual photons whose wavelengths fit an integral number of times into the gap should be counted.Each mode contributes to a pressure on the plates，and the infinite number of modes outside the plates is greater than the infinite number inside the plates，resulting in a small force drawing the plates together.There are many methods to calculate the Casimir effect.For example，the Green function expression of the Casimir energy was applied，and the Casimir energy between the plates with four kinds of boundary condition was calculated by using that method.

Then，we say that the change in the vacuum structure enforced by the plates.There are two kinds of vacuum，one is usual vacuum or free vacuum(outside the plates).Another is the negative energy vacuum(inside the plates).They cause a change in the light speed for electromagnetic waves propagating perpendicular to the plates:△c/c?1.6 ×10-60d-4，and d is the plate distance.When d=10-9m(1nm)，△c=10-24c.Then，a two-loop QED effect，uncovered by K.Scharnhorst，cause the phase and group velocities of an electromagnetic wave to slightly exceed c.Though the difference are too small，that raise interesting matters of principle——Casimir effect still surprising after 64 years.

book=2,ebook=331

Casimir force;vacuum energy;negative energy;quantum field theory(QFT);quantum electro-dynamics(QED)

O412

A

1673-4793(2012)02-0001-08

2012-02-28

黃志洵(1936-)，男(漢族)，北京市人，中國傳媒大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，中國科學(xué)院電子學(xué)研究所客座研究員。

Euler-Mclaurin求和公式后得到

(責(zé)任編輯

:龍學(xué)鋒)