基于操縱面故障影響估計的安全飛行軌跡優(yōu)化

李亦楠 楊凌宇 申功璋

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京100191)

操縱面故障(例如失效、卡死、松浮等)是引起飛機事故的主要原因之一.故障的出現(xiàn)將改變飛機的動力學特性，縮小飛行包線.為了確保飛行安全、防止事故發(fā)生，需要規(guī)劃安全飛行軌跡.如何分析故障飛機退化后的飛行性能，建立故障飛機模型，重新規(guī)劃設計飛行軌跡以保證安全飛行/著陸，成為了當前國內(nèi)外專家學者的研究熱點之一.

針對上述問題，文獻［1－2］將故障飛機模型抽象成平衡飛行狀態(tài)點集合，認為飛行軌跡由配平軌跡序列組成.這種方式能夠保證在每一軌跡片斷內(nèi)飛行滿足包線范圍和動力學約束，但還需要考慮相鄰片斷的連接問題，且一般適用于長距離軌跡規(guī)劃.

文獻［3－4］針對可重復使用運載器縱向質(zhì)點模型，估計故障后的氣動力以合理描述升降舵故障情況下的飛機運動情況，并采用最優(yōu)控制的方法設計符合質(zhì)點模型的安全著陸軌跡.這種方法在規(guī)劃過程中考慮了故障飛機動力學約束、各狀態(tài)量和控制量約束，能夠同時計算得到符合故障模型的最優(yōu)飛行軌跡和與該軌跡對應的速度及各控制量、狀態(tài)量隨時間的變化規(guī)律，以作為內(nèi)環(huán)姿態(tài)控制器的控制指令.

基于文獻［4］，本文估計橫側(cè)向操縱面故障對飛機的影響，以控制量變化率最小為優(yōu)化指標，給出軌跡優(yōu)化問題的描述，并采用高斯偽譜法求解該最優(yōu)控制問題，將安全飛行軌跡優(yōu)化推廣到三維空間.

在眾多數(shù)值優(yōu)化方法［5］中，高斯偽譜法由于其以全局插值多項式為基函數(shù)，具有較高的精度而被認為最具工程應用價值［6］，并且它在優(yōu)化效果和收斂性方面優(yōu)于現(xiàn)有其他偽譜法.最后的數(shù)值仿真給出了在副翼和方向舵故障兩種情況下的優(yōu)化設計結(jié)果.

1 操縱面故障時安全軌跡優(yōu)化問題

1.1 操縱面故障飛機質(zhì)心運動方程

根據(jù)文獻［7］推導，可得航跡坐標系下完整的質(zhì)點運動方程:

式中，x，y，z分別為飛機在慣性坐標系下的3個坐標分量;V，χ，γ分別為飛行速度、航向角和航跡傾角;m和g分別為飛機質(zhì)量和重力加速度;α為迎角;β為側(cè)滑角;φv為速度滾轉(zhuǎn)角;T為沿機體x軸的發(fā)動機推力;Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分別為氣動力在機體軸3個方向上的分量;f1，f2，f3分別為推力和氣動力的合力在氣流系下的分量.忽略角加速度相關項，可得

式中，ρ為空氣密度;0.5ρV2為動壓;s為機翼參考面積;δe，δa，δr分別為升降舵、副翼和方向舵偏轉(zhuǎn)角;p，q，r分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航角速度;Cx，Cy，Cz分別為沿機體軸 x，y，z方向的氣動力系數(shù).

正常飛機模型一般忽略側(cè)滑角β和側(cè)力Fy，但當橫側(cè)向操縱面發(fā)生故障時，為平衡由故障引起的干擾力/力矩，β和Fy將不再保持為0.由于操縱面卡死引入的干擾往往為常值，且不同平衡飛行狀態(tài)下的側(cè)滑角也基本相同，為縮短優(yōu)化時間，認為在軌跡優(yōu)化過程中β保持為固定值β*，F(xiàn)y通過β*計算得到，即

因此，為描述操縱面故障情況下的飛機運動模型，除由式(1)～式(3)表示的質(zhì)點模型外，還需要估計操縱面故障的影響，即分析計算由故障產(chǎn)生的配平值β*和對應的Fy(β*).

1.2 優(yōu)化問題描述

一般地，初始和終止飛行狀態(tài)均為平衡飛行狀態(tài)，相應的推力、氣流角和姿態(tài)角需滿足配平飛行條件.為方便設置兩端狀態(tài)條件，在前述質(zhì)點模型基礎上增廣方程［8］:

式中，RT，Rα，Rφv分別為推力、迎角和速度滾轉(zhuǎn)角的變化率，并將其作為增廣系統(tǒng)的控制量U=［RTRαRφv］T，同時擴展形成新狀態(tài)量 X=［x y z V χ γ T α φv］T.

操縱面故障將直接影響飛機的轉(zhuǎn)動運動，導致氣流角和姿態(tài)角變化減慢，U受較大限制.本文取U的二次型表達式為代價函數(shù)進行懲罰.則操縱面故障飛機的軌跡優(yōu)化問題可描述如下.

尋找控制量U(t)和相應的狀態(tài)量X(t)，使在時間［t0，tf］內(nèi)，有

s.t.質(zhì)點運動模型約束:

兩端狀態(tài)約束:

控制和狀態(tài)量約束:

式中，矩陣Q為加權矩陣;φ0(·)和φf(·)分別為初、末狀態(tài)約束函數(shù);下標low和upp分別表示下限和上限.

2 操縱面故障影響估計

2.1 計算方法

飛機的轉(zhuǎn)動運動總是遠遠先于平動運動達到平衡.根據(jù)文獻［3］，以轉(zhuǎn)動運動平衡或轉(zhuǎn)動角加速度最小為目的進行操縱面故障后的氣動力系數(shù)計算.當某一操縱面發(fā)生故障而對模型產(chǎn)生干擾時，其余操縱面需要偏轉(zhuǎn)特定的角度以產(chǎn)生平衡力矩，這將改變飛機的平衡狀態(tài)和氣動力系數(shù).為盡可能平衡轉(zhuǎn)動運動，需要在允許范圍內(nèi)尋找最佳操縱面配置使合外力矩最小，即

式中，Cm，Cl，Cn分別為俯仰、滾轉(zhuǎn)和偏航力矩系數(shù)為故障操縱面;δ 為其余操縱面向量;δ－k和分別為第k個可用操縱面偏角的下限和上限;m為操縱面總個數(shù).

求解上述優(yōu)化問題，得到其余操縱面最佳配置δ*，并重新計算受操縱面故障影響的氣動力系數(shù):

式中，上標f表示操縱面故障后的結(jié)果;上標*表示最佳配置結(jié)果.

2.2 操縱面故障影響分析算例

現(xiàn)分析某型飛機橫側(cè)向操縱面卡死的情況.δa是產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩的關鍵操縱面，10°以內(nèi)非零位置的卡死足以影響飛機的配值，10°以上的卡死將導致飛機無法穩(wěn)定飛行;δr雖然對配平影響較小，但卻是產(chǎn)生側(cè)滑和側(cè)力的關鍵因素.由氣動系數(shù)表達式［9］可知，δa和 δr只影響 Cy.令 3 個氣動力系數(shù)的角速度分量為0，忽略δr對縱向氣動力的影響并簡化擬合階數(shù)，可得

式中，cx0～cz1分別為擬合系數(shù).

由于δa或δr故障對縱向影響很小，可省去Cm一項，則式(5)的優(yōu)化指標部分可改寫為

圖1 δa卡死在5°和 δr卡死在30°時的

由圖1可知，故障使側(cè)力系數(shù)非零.尤其當δr卡死在30°時，為保證轉(zhuǎn)動平衡，為較大的正值，影響大于δa卡死在5°的情況.另外，根據(jù)隨α和β的變化情況，β是影響系數(shù)值的主要因素，且存在近似的線性關系，如圖2所示.

圖2 兩種故障情況下固定α，隨β的變化情況

除此之外，表1給出了δr卡死在其他不同角度時的擬合結(jié)果.而δa對側(cè)力的影響相對較小，不同卡死角度下的側(cè)力相差并不大.

表1 不同卡死情況下的側(cè)力系數(shù)

綜上，結(jié)合式(1)～式(4)和式(9)，即可得到完整的操縱面故障飛機模型.

3 高斯偽譜法的計算過程

本文針對上述分析得到的操縱面故障飛機質(zhì)點模型，采用高斯偽譜法［10］設計飛行軌跡.

用Lagrange多項式離散化連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)量X(t)和控制量 U(t)為 X(tk)和 U(tk).采用Gauss型求積法計算動力學積分項.將時間區(qū)間［t0，tf］投影到區(qū)間(－1，1)內(nèi)，并用 N 階 Legendre多項式零點作為求積節(jié)點tk(k=0～N)，則可將原最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，即

然后，用數(shù)值優(yōu)化方法求解該非線性規(guī)劃問題，這里采用序列二次規(guī)劃方法.

4 數(shù)值仿真

針對2.2節(jié)中飛機模型，分別在操縱面正常、δa卡死在5°和δr卡死在30°3種情況下優(yōu)化安全飛行軌跡.給定初始狀態(tài)為

圖3 3種故障情況下三維空間最優(yōu)軌跡

圖4 3種故障情況下最優(yōu)軌跡的橫向和縱向剖面

3種情況下，優(yōu)化結(jié)果均滿足了兩端位置和端點平衡狀態(tài)的約束，實現(xiàn)了三維空間位置的轉(zhuǎn)移和初、末狀態(tài)的過渡.3條軌跡對應的控制量隨時間的變化如圖5所示，α變化率均在10－2(°)/s以內(nèi)，φv變化率不超過 0.6(°)/s.各量隨時間變化均較為緩慢，從而保證平滑飛行.

圖5 3種情況下的速度和控制量時間曲線

分析圖4和圖5的優(yōu)化結(jié)果，整個飛行過程中，α和φv變化緩慢，而推力相對頻繁地調(diào)節(jié)以實現(xiàn)飛行狀態(tài)過渡，這也因此直接影響了飛行速度時間曲線的變化和空間軌跡高度的變化.

5 結(jié)論

本文的研究目的是在操縱面發(fā)生故障時，優(yōu)化設計三維安全飛行軌跡.建立了操縱面故障情況下的飛機模型，在正常飛機模型的基礎上引入側(cè)滑和側(cè)力項并計算了受故障影響的氣動力系數(shù)，更精確地反映了故障飛機的運動特點.結(jié)合安全飛行的需求，考慮下降的機動性能和控制能力，擴展了原動力學模型并以控制量變化率最小作為優(yōu)化指標，采用高斯偽譜法進行設計.仿真結(jié)果表明，所得的三維飛行軌跡符合動力學方程約束，滿足了飛行狀態(tài)量和空間位置的平緩過渡，能夠保證飛機在故障情況下安全飛行.

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