一類(lèi)非線性隨機(jī)系統(tǒng)的自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制

侯曉秋，陳志學(xué)

（1.黑龍江科技學(xué)院電氣與信息工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150027；2.中國(guó)兵器工業(yè)第205研究所，陜西西安710065）

1 引言

自 1982 年 Billings等提出 NARMAX 模型［1］以來(lái)，針對(duì)于NARMAX模型的辨識(shí)和控制問(wèn)題的研究已形成Billings學(xué)派，因人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可逼近任意非線性系統(tǒng)，已提出許多控制算法，采用多模型逼近NARMAX模型的多模型自適應(yīng)控制算法，我國(guó)學(xué)者韓志剛，侯忠生提出的無(wú)模型控制，各種采用時(shí)變線性模型逼近NARMAX模型的控制算法，采用動(dòng)態(tài)切平面逼近NARMAX模型的控制算法等。文獻(xiàn)［2］給出的基于一步時(shí)滯情形的NARMAX模型的最小預(yù)測(cè)誤差自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制器的準(zhǔn)則函數(shù)具有局限性，致使算法存在穩(wěn)態(tài)偏差，文獻(xiàn)［3］對(duì)文獻(xiàn)［2］的準(zhǔn)則函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，所提出的控制算法無(wú)穩(wěn)偏，文獻(xiàn)［4］研究了NARMAX模型的多重時(shí)滯情形，文獻(xiàn)［2-4］的算法只適用于確定性情形，本文研究多重時(shí)滯隨機(jī)性NARMAX模型的自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制問(wèn)題。

2 一類(lèi)非線性隨機(jī)系統(tǒng)的NARMAX模型

Billings等提出NARMAX模型：

其中：y（t）為系統(tǒng)輸出，y（t）∈R1；U（t）為系統(tǒng)的m 維輸入，U（t）∈Rm；ξ（t）為系統(tǒng)干擾量，ξ（t）∈R1；Y（t＋d-1）為系統(tǒng) t＋1 時(shí)刻至 t＋d-1 時(shí)刻輸出的集合；Y（t）為系統(tǒng)到t時(shí)刻為止的輸出的集合，U（t-1）為系統(tǒng)到t-1時(shí)刻為止的輸入的集合；ξ（t＋d）為系統(tǒng)止t＋d時(shí)刻的干擾量的集合；θ為未知參數(shù)；d為系統(tǒng)時(shí)滯，f（…）表示一般的非線性函數(shù)。因ξ（t）一般是無(wú)法測(cè)量的，故其在f（…）中出現(xiàn)的形式難以確定，所以上式NARMAX模型實(shí)用性差，這里將NARMAX模型的各種隨機(jī)干擾等效在系統(tǒng)的輸出端，當(dāng)?shù)刃У母蓴_為平穩(wěn)隨機(jī)序列時(shí)，基于文獻(xiàn)［5］線性濾波和譜分解定理及成型濾波器原理構(gòu)成一非線性隨機(jī)系統(tǒng)模型：

其中：η（t）為平穩(wěn)隨機(jī)序列，且

其中：e（t）為零均值，方差為 σ2的白噪聲序列，而

這里假設(shè)n2，nc已知，A2（q-1）和C（q-1）為穩(wěn)定多項(xiàng)式。

3 四個(gè)假設(shè)條件

假設(shè)1：系統(tǒng)（1）式輸入輸出可觀測(cè)的，可控制的，即對(duì)某一系統(tǒng)有界的期望輸出信號(hào)，存在有界的可行控制輸入信號(hào)，使得系統(tǒng)在此控制輸入信號(hào)的驅(qū)動(dòng)下，其輸出等于系統(tǒng)的期望輸出。

假設(shè)2：f（…）關(guān)于Y（t＋d-1）及U（t）的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的，且各偏導(dǎo)數(shù)有界。

假設(shè)3：由泰勒展開(kāi)公式，在工作點(diǎn)Y0（t＋d-1），U0（t）處用線性的動(dòng)態(tài)切平面去逼近一般的非線性系統(tǒng)式（1）時(shí)，假設(shè)有：

其中：

這里，假設(shè)3中的y0（t），U0（t）一般可為：

假設(shè) 4：d、n2、nc，已知。

假設(shè)1-3對(duì)多數(shù)非線性系統(tǒng)成立的分析見(jiàn)文獻(xiàn)［4］。

4 動(dòng)態(tài)切平面逼近非線性系統(tǒng)

在工作點(diǎn)Y0（t＋d-1），U0（t）處對(duì)式（1）的非線性系統(tǒng)用動(dòng)態(tài)切平面逼近，由一階泰勒展開(kāi)公式得：

其中：

而

整理寫(xiě)成，

其中：

而

這里，D（t）在t時(shí)刻是一個(gè)已知的量。

將式（2）代入式（8）整理得：

其中：

5 廣義最優(yōu)預(yù)測(cè)

對(duì)于式（12），定義輔助輸出 s（t＋d）為，

其中：

可用如下引理闡述廣義最優(yōu)預(yù)測(cè)：

引理1：廣義最優(yōu)預(yù)測(cè)，滿足預(yù)測(cè)誤差方差，

其中：G（q-1）、F（q-1）滿足以下阿斯特羅姆恒等式，

式中：

證明：參考文獻(xiàn)［6］可證。

6 自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制算法

6.1 預(yù)測(cè)控制算法

控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)為，

而

且

定理1：對(duì)于非線性隨機(jī)系統(tǒng)式（1），滿足假設(shè)條件1-4，基于式（24）控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)的預(yù)測(cè)控制器算法為：

其中

證明：參考文獻(xiàn)［2、3、4、6］證明如下：

上式等價(jià)于如下準(zhǔn)則函數(shù)：

由 J＊［U（t）］對(duì) U（t）求偏導(dǎo)，

由式（19）得：

整理得：

得：

可得：

［7］的矩陣反演公式得：

式（34）代入式（33）即得式（28）算法。

6.2 自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制算法

當(dāng)式（1）模型參數(shù)未知時(shí)，可采用文獻(xiàn)［8］的非線性參數(shù)估計(jì)算法估計(jì)其值，結(jié)合引理1的廣義最優(yōu)預(yù)測(cè)算法和定理1的預(yù)測(cè)控制算法，構(gòu)成自適應(yīng)預(yù)測(cè)控制。

7 仿真研究

已知系統(tǒng)的形式為：

其中：θ1，θ2，a1的真值為：

U0（t），y0（t）選取如下：

參考輸入為：

結(jié)合現(xiàn)階段工程造價(jià)工作的信息化發(fā)展，雖然已經(jīng)得到了絕大部分企業(yè)的認(rèn)同，也積極進(jìn)行了多方面的嘗試，但是在具體落實(shí)中卻同樣也存在著多方面的缺陷和不足，具體問(wèn)題表現(xiàn)如下。

u1（t）及u2（t）的限幅為：

白噪聲，

參考文獻(xiàn)［3，4］的魯棒控制策略，使系統(tǒng)無(wú)穩(wěn)偏，且控制輸入收斂于以原點(diǎn)為中心的變化域內(nèi)，

采用文［8］的參數(shù)估計(jì)算法，仿真結(jié)果如圖1、圖2、圖3所示。由圖1可知系統(tǒng)的輸出響應(yīng)曲線在0≤t≤100時(shí)不理想，這是由于算法開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)未知參數(shù)偏離其真值過(guò)大造成的，但系統(tǒng)能穩(wěn)定運(yùn)行，說(shuō)明算法的魯棒性好。

圖1 輸出響應(yīng)曲線

圖2 控制信號(hào)u1（t）的變化曲線

圖3 控制信號(hào)u2（t）的變化曲線

8 結(jié)束語(yǔ)

文中研究了一類(lèi)非線性隨機(jī)系統(tǒng)的控制問(wèn)題，所提出的模型較Billings等提出NARMAX模型具有實(shí)用性，控制算法適用于時(shí)變隨機(jī)系統(tǒng)，且系統(tǒng)無(wú)穩(wěn)態(tài)偏差，控制輸入收斂于以原點(diǎn)為中心的變化域內(nèi)，具有應(yīng)用參考價(jià)值，進(jìn)一步可研究其自適應(yīng)廣義預(yù)測(cè)控制算法和多變量情形。

參考文獻(xiàn)：

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［8］侯曉秋.非線性隨機(jī)系統(tǒng)的具有遺忘因子的遞推最小二乘法［J］.黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，18（4）：306-309.