加筋圓環(huán)殼的理論求解及性能研究

鄒 廣，彭興寧，杜青海

（中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無(wú)錫 214082）

1 引 言

隨著世界各國(guó)對(duì)深海裝備的發(fā)展及對(duì)深海資源的探索、開(kāi)發(fā)與利用，典型柱和球型結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)不能滿足此要求。圓環(huán)形結(jié)構(gòu)為新型深海裝備及水下運(yùn)載器的發(fā)展展示了新的面貌和功能。然而環(huán)殼結(jié)構(gòu)因其特有的結(jié)構(gòu)形式，其理論研究乃至工程應(yīng)用問(wèn)題一直是理論界和工程界的一大難題。

至上世紀(jì)九十年代末，眾多學(xué)者開(kāi)展了環(huán)殼方面的研究工作，圓環(huán)殼軸對(duì)稱線彈性問(wèn)題基本得到解決，對(duì)這一問(wèn)題做出突出貢獻(xiàn)的有Clark[1]、錢偉長(zhǎng)[2]等人，他們以圓環(huán)殼的復(fù)變量方程為基礎(chǔ)得到了圓環(huán)殼的級(jí)數(shù)解，并證明了級(jí)數(shù)解的收斂性。對(duì)于承受任意非對(duì)稱載荷的圓環(huán)殼，陳山林[3]采用Fourier級(jí)數(shù)法求解得到了比較完整且簡(jiǎn)單的解析解，張若京[4]選擇廣義Airy函數(shù)作為展開(kāi)函數(shù)得到了全部4個(gè)基解和一個(gè)特解的完全漸近展開(kāi)式。但是，他們研究的對(duì)象均是不含加強(qiáng)肋骨型材的純圓環(huán)殼模型。

進(jìn)入二十一世紀(jì)，英國(guó)學(xué)者Carl[5-6]在設(shè)計(jì)水下導(dǎo)彈發(fā)射基地和水下空間站時(shí)，建議在水下工程中使用圓環(huán)形耐壓結(jié)構(gòu)形式，便于實(shí)現(xiàn)特有功能?；诂F(xiàn)代多功能新型水下運(yùn)載器發(fā)展需要，杜青海等[7-8]結(jié)合環(huán)殼結(jié)構(gòu)應(yīng)用于水下工程的特點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)值方法分析了加筋圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)的線彈性及其非線性結(jié)構(gòu)屬性，從而論證了圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)可作為水下工程耐壓結(jié)構(gòu)主體構(gòu)件的可行性。

本文在前期研究[7-8]的基礎(chǔ)上，并充分考慮環(huán)向肋骨對(duì)圓環(huán)殼彎曲變形的約束影響，將加筋圓環(huán)殼在靜水壓力作用下的變形簡(jiǎn)化為兩端剛性固定在彈性支座上的彈性基礎(chǔ)曲梁的復(fù)雜彎曲問(wèn)題來(lái)研究。同時(shí)基于彈性曲梁和薄殼理論，運(yùn)用簡(jiǎn)化等效原則求解了加筋圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)關(guān)鍵截面處應(yīng)力與位移的理論表達(dá)式，由此得到加筋圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與變形簡(jiǎn)化理論計(jì)算方法。最后本文基于理論解，給出了加筋圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)典型關(guān)鍵點(diǎn)位置上的應(yīng)力隨其結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律，便于環(huán)殼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及工程應(yīng)用參考。

2 加筋圓環(huán)殼的結(jié)構(gòu)參數(shù)

鑒于圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)運(yùn)用于水下工程的特點(diǎn)，需在圓環(huán)殼外設(shè)置一系列具有一定剛度的環(huán)形肋骨，以提高殼體的穩(wěn)定性。具有環(huán)形肋骨加強(qiáng)圓環(huán)殼的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1，各結(jié)構(gòu)參數(shù)的意義如下：

R為彎曲半徑 （大圓半徑）；a為截面半徑 （小圓半徑）；φ為旋轉(zhuǎn)軸與截面圓法線的夾角；θ為截面圓沿環(huán)向的旋轉(zhuǎn)角度；t為殼板厚度；F為肋骨型材剖面積；θ0為相鄰兩肋骨夾角；l為肋骨間距，l=R·θ0。

3 圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)特性分析

運(yùn)用薄膜理論可求得圓環(huán)殼的主應(yīng)力

圖1 加筋圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structural diagram of a ring-stiffened circular toroidal shell

根據(jù)薄膜受力狀態(tài)下圓環(huán)殼應(yīng)力表達(dá)式，可以得出以下結(jié)論：

（1）環(huán)向應(yīng)力σθ為常量，截面周向應(yīng)力σφ隨φ而變化。定義應(yīng)力變異系數(shù)

圖3給出了圓環(huán)殼外圈、內(nèi)圈和頂圈（圖2中BB′、DD′和AA′）應(yīng)力變異系數(shù)k隨相對(duì)彎曲半徑R/a的變化規(guī)律，可以看出：① kin>2，隨著R/a的不斷增大，kin不斷減小且逐漸趨近于2；② 當(dāng)1＜R/a＜3時(shí)，kin的值減小得很快；③ 1.5＜kout＜2，隨著 R/a的不斷增大，kout緩慢增大且逐漸趨近于 2。

圖2 圓環(huán)殼的典型位置Fig.2 Typical positions of a circular toroidal shell

圖3 典型位置應(yīng)力變異系數(shù)k隨R/a的變化曲線Fig.3 The variation curves of k with R/a

（2） 圓環(huán)殼 R/a>1，其外圈處 1.5＜kout＜2，內(nèi)圈處 kin>2。 當(dāng) R→∞ 時(shí)，圓環(huán)殼趨近于圓柱殼，k=2；當(dāng)R=0 時(shí)，圓環(huán)殼退化為球殼，k=1；當(dāng) 0＜R/a＜1 時(shí)，殼體類似于南瓜形狀，其外圈處 1＜k＜1.5。 因此，當(dāng)旋轉(zhuǎn)半徑R不斷變化時(shí)，應(yīng)力變異系數(shù)k存在以下關(guān)系式：

4 加筋圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的理論計(jì)算方法

4.1 加筋圓環(huán)殼的簡(jiǎn)化力學(xué)模型

當(dāng)圓環(huán)殼受均勻壓力作用時(shí)，由于結(jié)構(gòu)和載荷都對(duì)稱于旋轉(zhuǎn)軸，在失穩(wěn)之前殼的變形也必然對(duì)稱于旋轉(zhuǎn)軸。肋骨的存在約束了殼的壓縮變形，殼受到肋骨的反作用力而在環(huán)向產(chǎn)生了彎曲，使得加筋圓環(huán)殼的強(qiáng)度問(wèn)題不再是軸對(duì)稱問(wèn)題。但是由于加筋圓環(huán)殼的結(jié)構(gòu)和載荷對(duì)稱于每一肋骨斷面，殼的變形也必然對(duì)稱于每一肋骨斷面，因而只需要研究其中的一個(gè)肋骨間距。這樣使得加筋圓環(huán)殼的強(qiáng)度問(wèn)題可歸結(jié)為如圖4所示的力學(xué)模型來(lái)研究，即按從圓環(huán)殼上截取的單位寬度的曲梁帶來(lái)研究。

圖4 加筋圓環(huán)殼的簡(jiǎn)化力學(xué)模型Fig.4 The mechanical model of a ring-stiffened circular toroidal shell

這種簡(jiǎn)化思想的關(guān)鍵點(diǎn)在于均布載荷p的分解以及曲梁曲率半徑r的確定。如圖4，可以將加筋圓環(huán)殼的變形化為位于該點(diǎn)所在緯線處曲梁的彎曲變形來(lái)研究，曲梁的曲率平面為該點(diǎn)處緯線確定的平面，曲率中心為曲率平面與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)，曲率半徑為該點(diǎn)至旋轉(zhuǎn)軸的距離，即

該點(diǎn)處的外載荷p可以分解為垂直于旋轉(zhuǎn)軸的載荷分量qp和平行于旋轉(zhuǎn)軸的載荷分量qv，其大小分別為其中載荷分量qp作用于曲梁的曲率平面內(nèi)，載荷分量qv垂直于曲率平面。

加筋圓環(huán)殼外圈、內(nèi)圈和頂圈（圖2中 BB′、DD′和 AA′）對(duì)應(yīng)的力學(xué)模型如圖5，三者對(duì)應(yīng)的曲梁的曲率半徑、載荷大小及方向各不相同。表1給出了任意點(diǎn)及三個(gè)典型位置處簡(jiǎn)化的詳細(xì)情況。根據(jù)這些簡(jiǎn)化力學(xué)模型，可以對(duì)加筋圓環(huán)殼進(jìn)行理論求解。

圖5 典型位置對(duì)應(yīng)的力學(xué)模型Fig.5 Mechanical models of typical positions

表1 加筋圓環(huán)殼簡(jiǎn)化模型的參數(shù)Tab.1 Parameters of the simplified mechanical models

本文具體以外圈和內(nèi)圈為例介紹這種求解方法，計(jì)算模型分別為圖5中（a）和（c），曲梁的曲率半徑分別為r=R+a、r=R-a，外載荷分別作用于曲梁的外表面和內(nèi)表面。

4

.2圓環(huán)殼曲梁帶的彎曲微分方程

根據(jù)加筋圓環(huán)殼的受力情況，作用于圓環(huán)殼外圈曲梁帶（圖5中BB′位置）上的力有：

（1）作用在梁帶外表面上的均勻正壓力qp=p；

（2）由于殼體壓縮變形，在梁帶內(nèi)引起軸向壓縮力T1；

（3）作用在梁帶兩側(cè)邊界上的梁帶之間的相互作用力T2。

數(shù)值分析發(fā)現(xiàn)加筋圓環(huán)殼旋轉(zhuǎn)方向的中面應(yīng)力在一個(gè)肋骨跨度內(nèi)變化極小，且與圓環(huán)殼的薄膜理論解非常接近，因而可取曲梁軸向壓縮力

圖6 梁帶的受力Fig.6 Forces on a curved beam

T2的合力方向與法向外壓力的方向一致，因此應(yīng)將該力包括在梁帶所受的外載荷中。如圖6所示，單位寬度梁帶上的載荷總強(qiáng)度為

T2是一個(gè)超靜定力，其大小可以通過(guò)變形幾何關(guān)系和胡克定律得到：

由（6）、（7）和（8）式得

由上述分析知，圖5中（a）所示力學(xué)模型同時(shí)受到橫載荷q及軸向力T1的作用，處于復(fù)雜彎曲狀態(tài)。如圖7，用兩個(gè)無(wú)限接近垂直于中和軸的剖面從圖5中（a）所示曲梁上分割出一個(gè)微元（距離為

圖7 曲梁微元Fig.7 A curved beam element

圖8 坐標(biāo)系Fig.8 Coordinate

去掉高階無(wú)窮小量，曲梁微元的靜力平衡方程可表示為：若規(guī)定彎矩M的正向如圖8中所示，則梁斷面上的彎矩

將（6）、（9）和（11）式代入方程組（10），經(jīng)整理可得到曲梁帶的微分平衡方程：

加筋圓環(huán)殼內(nèi)圈對(duì)應(yīng)力學(xué)模型如圖5（c）所示，它與圖5（a）所示力學(xué)模型的區(qū)別在于豎直方向的受力平衡方程（10）應(yīng)改為

式中：r=R-a。

因而加筋圓環(huán)殼內(nèi)圈曲梁帶的微分平衡方程應(yīng)為：

4.3 曲梁帶的邊界條件

根據(jù)加筋圓環(huán)殼的受力及變形特點(diǎn)可以得到曲梁的邊界條件。由于加筋圓環(huán)殼的變形對(duì)稱于每一肋骨斷面，因而在肋骨斷面處殼的轉(zhuǎn)角為零，即

這是一個(gè)邊界條件，另一個(gè)邊界條件可通過(guò)研究殼體與環(huán)肋間的相互作用得到。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)在環(huán)肋處，有：

圖9 加筋圓環(huán)殼的簡(jiǎn)化力學(xué)模型Fig.9 Simplified mechanical model of a ring-stiffened circular toroidal shell

從而圖5中BB′所示圓環(huán)殼曲梁帶的邊界條件可表示為：

由（6）、（10）和（11）式得

將曲梁帶的彎曲微分方程式（12）和邊界條件式（18）綜合來(lái)看，以一系列等間距同剛度環(huán)肋加強(qiáng)的圓環(huán)殼，在均勻外壓作用下的變形，可以化為兩端剛性固定在彈性支座上的復(fù)雜彎曲彈性基礎(chǔ)曲梁來(lái)研究。可以簡(jiǎn)單地用如圖9所示的力學(xué)模型來(lái)概括。

4.4 加筋圓環(huán)殼典型位置應(yīng)力和位移表達(dá)式

非齊次方程（12）和（14）的通解為

將坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在肋骨跨度中點(diǎn)處，由于圓環(huán)殼在環(huán)向的彎曲對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，因而

將通解式（19）代入邊界條件式（18），即可求得積分常數(shù)

將積分常數(shù)回代入通解式，即可求得曲梁帶的撓度w，并由此求得圓環(huán)殼外圈及內(nèi)圈各彎曲要素。

（1） 撓度

將ψ=θ和ψ=0代入微分方程通解式（19），即可求得殼體的撓度。

跨度端部：

跨度中點(diǎn)處：

（2） 環(huán)向應(yīng)力

殼體環(huán)向應(yīng)力由沿厚度均勻分布的膜應(yīng)力及沿厚度按線性規(guī)律分布的彎曲應(yīng)力組成?？缍榷瞬浚?/p>

跨度中點(diǎn)處：

（3）截面周向應(yīng)力

殼體處于雙向應(yīng)力狀態(tài)，由物理方程即可求得殼體截面周向應(yīng)力：跨度端部：

跨度中點(diǎn)處：

（4） 肋骨應(yīng)力

肋骨處于單向應(yīng)力狀態(tài)，它與σθ的大小無(wú)關(guān)。肋骨應(yīng)力

5 數(shù)值計(jì)算方法的驗(yàn)證

本文采用的計(jì)算模型如圖10所示，取7個(gè)完整肋骨跨度進(jìn)行計(jì)算，兩端各留半個(gè)跨度，取最中間一個(gè)肋骨跨度的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表2。計(jì)算載荷取p=10MPa，E=1.96×105MPa，μ=0.3。

本文所得理論解與有限元數(shù)值解的比較見(jiàn)圖11（外圈）和圖12（內(nèi)圈），分別比較了加筋圓環(huán)殼外圈和內(nèi)圈處的彎曲應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力和周向應(yīng)力。其中θ表示圓環(huán)殼兩肋骨間夾角的1/2，ψ表示圓環(huán)殼外圈和內(nèi)圈跨度內(nèi)任意一點(diǎn)與跨度中點(diǎn)之間相對(duì)于旋轉(zhuǎn)中心的夾角。比較結(jié)果顯示在整個(gè)肋骨跨度內(nèi)，本文所得理論解和有限元數(shù)值解吻合較好，從而驗(yàn)證了本文理論方法的正確性。表3對(duì)加筋圓環(huán)殼外圈和內(nèi)圈跨度中點(diǎn)處及跨度端部環(huán)向應(yīng)力、周向應(yīng)力、肋骨應(yīng)力的理論值及有限元值進(jìn)行了比較，并進(jìn)行了誤差分析。

圖10 計(jì)算模型Fig.10 The calculated model

表2 計(jì)算模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Structural parameters of the calculated model

圖11 理論解與數(shù)值解的比較（外圈）Fig.11 Comparison of the theoretical solution and the numerical solution(outside circle)

圖12 理論解與數(shù)值解的比較（內(nèi)圈）Fig.12 Comparison of the theoretical solution and the numerical solution(inside circle)

表3 理論解與數(shù)值解的比較（中面）Tab.3 Comparison of the theoretical solution and the numerical solution(middle layer)

6 加筋圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)特性分析

定義應(yīng)力集中系數(shù)

分析無(wú)量綱結(jié)構(gòu)參數(shù)R/a、β對(duì)外圈和內(nèi)圈處的環(huán)向應(yīng)力集中系數(shù)kc、周向應(yīng)力集中系數(shù)kt及肋骨應(yīng)力集中系數(shù)kf的影響。對(duì)于環(huán)向應(yīng)力和周向應(yīng)力各取兩個(gè)部位：跨度端部殼內(nèi)表面、跨度中點(diǎn)殼外表面。因?yàn)檫@兩個(gè)部位的應(yīng)力絕對(duì)值最大，是強(qiáng)度校核的重點(diǎn)。

6.1 參數(shù)R/a對(duì)應(yīng)力的影響

圖13 參數(shù)R/a對(duì)應(yīng)力集中系數(shù)的影響Fig.13 The effect of R/a on SCFs

6.2 參數(shù)β對(duì)應(yīng)力的影響

參數(shù)β=（1±1/i） lt/F=l*t/F為一個(gè)跨度上殼板剖面積l*t和肋骨型材剖面積F的比值。如無(wú)肋骨，則1/β=0，可采用圓環(huán)殼的薄膜理論解計(jì)算。將薄膜理論解與本文理論解對(duì)比可以看出，應(yīng)力集中系數(shù)ki實(shí)際上表明肋骨存在對(duì)殼板應(yīng)力的影響。參數(shù)β越小，即肋骨越大，這個(gè)影響也越大。

圖14 參數(shù)β對(duì)應(yīng)力集中系數(shù)的影響Fig.14 The effect of β on SCFs

7 結(jié) 論

本文基于彈性曲梁及薄殼理論，運(yùn)用簡(jiǎn)化等效原則，開(kāi)展了加筋圓環(huán)殼結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的理論求解工作，并從理論上和數(shù)值方法上分別進(jìn)行了變參數(shù)下的結(jié)構(gòu)特性分析。通過(guò)有限元數(shù)值方法驗(yàn)證了本文所給理論方法的正確性，為環(huán)殼結(jié)構(gòu)的工程應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

本文所給加筋圓環(huán)殼理論計(jì)算方法是加筋圓柱殼理論計(jì)算方法的推廣，加筋圓柱殼理論解是本文所給加筋圓環(huán)殼理論解當(dāng)R/a→∞時(shí)的特例。

[1]Clark R A.On the theory of thin-walled toroidal shells[J].J Math and Physics,1950(29):146-178.

[2]錢偉長(zhǎng),鄭思梁.軸對(duì)稱圓環(huán)殼的復(fù)變量方程和軸對(duì)稱環(huán)殼的一般解[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào),1979,19(1):27-47.

[3]陳山林.圓環(huán)殼在一般載荷下的軸對(duì)稱問(wèn)題[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1986,7(5):425-434.

[4]張若京,張 維.承受非對(duì)稱載荷圓環(huán)殼的完全漸近解[J].中國(guó)科學(xué),1995,25(6):614-619.

[5]Ross Carl T F.A conceptual design of an underwater missile launcher[J].Ocean Engineering,2005(32):85-99.

[6]Ross Carl T F.A conceptual design of an underwater vehicle[J].Ocean Engineering,2006(33):2087-2104.

[7]Du Qinghai,Wan Zhengquan,Cui Weicheng.A study on structural characteristics of the ring-stiffened circular toroidal shells[C]//2nd International Conference on Marine Structures-Analysis and Design of Marine Structures.Lisbon,2009.

[8]Du Qinghai,Cui Weicheng,Wan Zhengquan.Nonlinear finite element analysis of a toroidal shell with ring-stiffened ribs[C]//Proceedings of the ASME 2010 29th International Conference on Ocean,Offshore and Arctic Engineering.Shanghai,2010.