球形孔洞膨脹動態(tài)問題的彈性-損傷力學(xué)分析

于雪梅，程 偉，吳 爽

(1.北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，100191 北京;2.黑龍江大學(xué)建筑工程學(xué)院，150081 哈爾濱)

球形孔洞膨脹動態(tài)問題的彈性-損傷力學(xué)分析

于雪梅1，2，程 偉1，吳 爽1

(1.北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，100191 北京;2.黑龍江大學(xué)建筑工程學(xué)院，150081 哈爾濱)

研究了材料還沒有出現(xiàn)塑性變形、僅含彈性區(qū)和損傷區(qū)的球形孔洞動態(tài)擴展問題.首先通過對彈性區(qū)的研究以及初始損傷分析獲得彈性區(qū)的場量分布，并給出彈性/損傷區(qū)交界處的邊界連續(xù)條件;然后在自相似假設(shè)條件下，推導(dǎo)出動態(tài)擴展時損傷區(qū)需滿足的控制方程;最后通過打靶法進行數(shù)值求解.數(shù)值分析表明，許多材料參數(shù)如ν、n、m都對彈性區(qū)和損傷區(qū)的場量分布有影響.

孔洞膨脹;損傷力學(xué);自相似假設(shè);打靶法

關(guān)于球形孔洞膨脹問題的研究目前廣泛應(yīng)用于材料力學(xué)實驗、地下爆破、高速穿透、防爆設(shè)計以及航空航天工程設(shè)計等方面.人們根據(jù)研究的內(nèi)容不同而抽象出不同的受壓球形(柱形)孔洞膨脹模型，從而在理論上解決實際工程問題.如Forrestal和Luk［1－3］研究了可壓縮彈塑性材料以及應(yīng)變硬化材料中的球形孔洞膨脹問題;Satapathy［4］研究了脆性陶瓷材料中動態(tài)球形孔洞的擴展問題;Durban 和 Masri［5－6］研究了可壓彈塑性介質(zhì)中球形孔洞的動態(tài)擴展;劉趙淼等［7］利用球形孔洞模型從理論上研究了泡沫金屬材料的動態(tài)力學(xué)性能及抗侵徹能力，并進行了實驗驗證;Gao［8－9］提出了兩種孔洞膨脹模型以研究彈塑性應(yīng)變硬化材料的壓入變形問題.以上這些研究基本都集中在對于塑性區(qū)動態(tài)本構(gòu)方程上，而鮮有對損傷區(qū)的研究.實際上，由于變形的連續(xù)性，在彈性區(qū)到塑性區(qū)的過渡中，必然存在損傷區(qū).對此，唐立強、于雪梅等［10－11］針對含損傷區(qū)和塑性區(qū)的球形孔洞的準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)擴展問題進行了專門研究.本文即主要研究損傷區(qū)的動態(tài)變形特點.當(dāng)然，本文所討論內(nèi)容要求孔洞膨脹速度m較小(一般小于0.4)，且材料沒有出現(xiàn)塑性變形，否則必須考慮塑性區(qū)的存在甚至塑性沖擊波的作用［12］.

本文建立了含損傷區(qū)的球形孔洞膨脹三區(qū)模型，采用自相似假設(shè)，研究了含損傷區(qū)的球形孔洞動態(tài)擴展問題，并通過數(shù)值計算討論了材料參數(shù)的變化對損傷區(qū)場量的影響.

1 含損傷區(qū)的球形孔洞動態(tài)膨脹模型

含損傷區(qū)的球形孔洞動態(tài)膨脹模型如圖1所示.圖中pc為孔洞內(nèi)壓，A為孔洞內(nèi)徑.如取量綱為一的半徑ξ=r/A，則取ξi為彈塑性交界，ξw為波前，具體見圖示.采用自相似假設(shè)［5］，則在穩(wěn)定擴展階段，場量對時間的物質(zhì)導(dǎo)數(shù)可以表示為

圖1 含損傷區(qū)的球形孔洞動態(tài)膨脹模型

邊界條件和連續(xù)條件為

1)當(dāng) ξ=1時，V=1，Σr=-pc;

2)當(dāng) ξ= ξi時，Σre= Σrd，Ve=Vd，ρe= ρd;

3)當(dāng) ξ= ξw時，ρ= ρ0，V=0，Σr= Σθ=0.式中:下標(biāo)e表示彈性區(qū);d表示損傷區(qū);ρ0、ρ分別為變形前、后材料的密度.

2 基本方程

2.1 幾何方程

在球形坐標(biāo)(r，θ，φ)下，幾何方程的率形式為

2.2 物理方程

球坐標(biāo)下?lián)p傷區(qū)的物理方程為

其中D為實際損傷變量，且D=D*-Di0，D*為名義損傷因子，Di0為初始損傷因子.在彈性區(qū)，D=0，此時方程(2)化為彈性區(qū)物理方程.在彈性區(qū)與損傷區(qū)邊界處，應(yīng)變狀態(tài)用Σ表示，初始損傷變量為Di0.n、ν分別為損傷指數(shù)和泊松比.

式中K為損傷模量，由材料屬性決定.

2.3 運動方程

取無量綱化應(yīng)力 Σij=σij/E(E為彈性模量).在自相似假設(shè)下，運動方程可以表達為［5］

2.4 質(zhì)量守恒方程

在球?qū)ΨQ條件下，質(zhì)量守恒方程為

將式(1)帶入式(5)并化簡得

2.5 控制方程

將物理方程(2)兩邊求導(dǎo)，并用幾何方程(1)帶入化簡，在自相似假設(shè)下化簡可得到損傷區(qū)的控制方程為

3 求解方法

3.1 彈性區(qū)的解

考慮邊界條件以及彈性區(qū)的應(yīng)力條件(|Σr|?1，|Σθ|?1)，可確定彈性區(qū)的解為

3.2 損傷區(qū)的解

綜上所述，式(1)～ (2)、(4)、(6)、(7)即構(gòu)成了損傷區(qū)的控制方程組，其中變量有5個，即Σθ、Σr、V、ρ、D，未知數(shù)與方程數(shù)相同，方程可解.經(jīng)推導(dǎo)，可確定損傷區(qū)求解應(yīng)力場的方程為

其中:

其中D值可由式(3)確定，然后由式(4)、(6)可獲得密度場和速度場為

其中:

從式(13)、(14)可以看出，當(dāng)D=0時，兩式化為式(10)、(11)，說明在兩區(qū)交界處，速度場和密度場的分布是連續(xù)的.

4 數(shù)值計算

從式(8)～(14)可以看出，計算的關(guān)鍵在于設(shè)定兩區(qū)(彈性/損傷)交界處的邊界條件，這里存在待定常數(shù)C2和兩區(qū)交界處的位置ξi.在彈性區(qū)和損傷區(qū)交界處應(yīng)力滿足的初始損傷條件［13］為

其中KIC為材料的斷裂韌度.由式(15)可以確定彈性區(qū)待定常數(shù)C2.在計算中只需采用打靶法，給定任意的ξi≥1，由方程(8)～(11)可以得出彈性區(qū)的全部信息，其與損傷區(qū)交界處的場量即可作為求解損傷區(qū)的邊界條件，進一步由式(12)～(14)進行計算，就可獲得損傷區(qū)場量分布.檢查所得到的損傷區(qū)速度場在ξ=1時是否滿足邊界條件V=1，否則重新進行打靶，直到在ξ=1處滿足V=1為止.當(dāng)ξi確定，就確定了損傷區(qū)的范圍和損傷區(qū)的全部場量的分布.

從彈性區(qū)和損傷區(qū)的應(yīng)力場、速度場、密度場表達式(8)～(15)可知，初始裂紋長度ˉa0、泊松比ν以及孔洞無量綱化膨脹速度m對彈性區(qū)和損傷區(qū)的場量分布均有影響，損傷指數(shù)n對損傷區(qū)分布有影響.對相關(guān)參數(shù)分別取不同值，通過數(shù)值計算可確定各參數(shù)對場量的影響.

另外，由前述分析可知，彈性區(qū)、損傷區(qū)的所有場量分布均是連續(xù)的，因此下文只給出損傷區(qū)的場量分布.

1)孔洞無量綱化膨脹速度m對場量的影響.取KIC/E=3.8×10-5，K=0.2，n=5，ˉa0=2×10-4(m)，ν=0.15，m=0.15/0.35，經(jīng)計算可獲得求解損傷區(qū)的初始條件見表1，損傷區(qū)的場量分布見圖2.

表1 求解損傷區(qū)的初始條件(m不同)

從圖中可見，m增加，損傷區(qū)的連續(xù)范圍減小，對應(yīng)同一ξ處，所有場量分布均增大，且在孔洞附近D的變化率明顯增大.可以認(rèn)為孔洞膨脹速度增大時，孔洞內(nèi)徑處的壓力增大，因而導(dǎo)致材料更容易受到破壞，使得損傷區(qū)的范圍減小.圖中D為損傷變量，在ξi處為0.

圖2 不同m對損傷區(qū)場量分布的影響

2)損傷指數(shù)n對場量的影響.取KIC/E=3.8×10-5，K=0.2，ν=0.15，ˉa0=1×10-4(m)，m=0.15，n=1/5，經(jīng)計算可得求解損傷區(qū)的初始條件見表2，損傷區(qū)的場量分布見圖3.

表2 求解損傷區(qū)的初始條件(n不同)

圖3 不同n值對損傷區(qū)場量分布的影響

從圖中可見，n增加，損傷的連續(xù)區(qū)域增大，即損傷區(qū)范圍增加，對應(yīng)同一ξ處，速度場減小、應(yīng)力場增大.說明隨材料韌性增加，導(dǎo)致材料損傷所需的應(yīng)力越大，同時材料的變形減小，材料抵抗損傷的能力增大.

3)泊松比ν對場量的影響.取KIC/E=3.8×10-5，m=0.15，K=0.2=1×10-4(m)，n=5，ν=0.15/0.35，經(jīng)計算可得求解損傷區(qū)的初始條件見表3，損傷區(qū)的場量分布見圖4.

表3 求解損傷區(qū)的初始條件(ν不同)

圖4 不同ν值對損傷區(qū)場量分布的影響

從圖中可見，ν增加，損傷區(qū)的連續(xù)范圍減小，對應(yīng)同一ξ處，除密度變化較小外，其它場量均增大.

總之，孔洞附近損傷區(qū)場量變化明顯，甚至?xí)霈F(xiàn)突然拐點，而遠離孔洞處場量變化和緩，趨近彈性區(qū)場量分布.

5 結(jié)論

1)本文確定了孔洞膨脹速度m較小(一般小于0.4)時包含損傷區(qū)的球形孔洞動態(tài)膨脹的解析解和數(shù)值解，在兩區(qū)交界處所有場量均連續(xù);

2)在孔洞附近，損傷區(qū)的變形比較復(fù)雜，場量變化較為劇烈，而在遠離孔洞處，場量變化較為和緩;

3)材料參數(shù)如泊松比ν、損傷指數(shù)n以及球形孔洞無量綱化膨脹速度m等都對彈性區(qū)和損傷區(qū)的場量分布有影響.ν越大，同一半徑處的應(yīng)力場和速度場增大;m越大，應(yīng)力場和速度場越大，同時可能出現(xiàn)應(yīng)變硬化現(xiàn)象;n增加，損傷的連續(xù)區(qū)域增大，即損傷區(qū)范圍增加，對應(yīng)同一ξ處，速度場減小、應(yīng)力場增大.

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Dynamic analysis of elastic and damage mechanics on spherical cavity expansion problem

YU Xue-mei1，2，CHENG Wei1，WU Shuang1
(1.School of Aeronautic Science and Engineering，Beihang University，100191 Beijing，China;2.School of Architecture and Engineering，Heilongjiang University，150081 Harbin，China)

The dynamic spherical cavity expansion with damage and elastic area was investigated when distortion is so small that no plastic area arisen.First，by study of elastic region and initial damage，the stress distribution and the continuous conditions in the intersection of damage and elastic regions were given.Then the governing equations to solve the problem of dynamic expansion in the damage zone were deduced.Finally，numerical solutions of the non-linear differential equations were obtained by shooting method.The results show that some material parameters such as v、n、m have influence on the field quantities of elastic and damage regions.

spherical cavity expansion;damage mechanics;self-similar hypothesis;shooting method

O346.5

A

0367－6234(2012)07－0126－04

2011－04－10.

黑龍江省自然科學(xué)基金資助項目(A2004-08).

于雪梅(1969—)，女，博士后;

程 偉(1961—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

于雪梅，yuxuemei69@tom.com.

(編輯 張 宏)