一種基于時域的欠定盲源分離方法

王榮杰 詹宜巨 周海峰 楊林舉

（1.集美大學輪機工程學院 廈門 361021 2.中山大學工學院 廣州 510006 3.中山大學信息科學與技術學院 廣州 510006）

1 引言

近年來，鑒于盲源分離（Blind Source Separation，BSS）獨特的數(shù)學模型，被作為一種重要的技術廣泛應用于數(shù)字通信、機器人導航、生物醫(yī)學工程、語音處理和圖像處理等領域[1-5]。所謂的BSS，就是在源信號和混合系統(tǒng)（或傳輸通道）等未知的情況下，僅根據(jù)源信號有限的統(tǒng)計特性，從觀測信號中恢復或估計出所有的源信號。根據(jù)觀測信號和源信號的個數(shù)，盲源分離可分為非欠定盲源分離和欠定盲源分離（Underdetermined Blind Source Separation,UBSS）；相比之下，欠定盲源分離不如非欠定盲源分離技術成熟，而源信號個數(shù)多于觀測信號個數(shù)的欠定盲源分離方法是本文的研究重點。傳統(tǒng)的欠定盲源分離算法主要可分為兩類：一類是基于源信號的稀疏性來處理，文獻[6]提出利用聚類技術和最小化L1范數(shù)相結(jié)合的方法來恢復在時域上稀疏的源信號；文獻[7,8]通過時頻變換技術將時域非稀疏的源信號變換到稀疏表示的時頻域，認為在時頻域某些點上只有幾個源信號存在，這類方法需先估計混合矩陣，然后再通過優(yōu)化算法恢復源信號等兩個步驟完成；另一類是利用廣義分布模型作為源信號的概率密度函數(shù)的貝葉斯估計法[9,10]，這類方法的主要缺點是計算量大，一定程度上會降低源信號的恢復質(zhì)量。盲源抽取（Blind Source Extraction,BSE）是BSS技術的一種擴展；但與BSS不同，它的目的是從觀測信號中恢復一個或部分源信號，具有計算靈活簡單等優(yōu)點?，F(xiàn)有解決BSE問題的算法主要兩類：一類是通過優(yōu)化基于高階統(tǒng)計量（High-order Statistics,HOS）的代價函數(shù)來實現(xiàn)[11]，該類算法要求源信號為非高斯；另一類是基于二階統(tǒng)計特性的算法，可克服基于HOS算法中源信號非高斯性的限制，但它們都需要兩步來實現(xiàn)[12]，首先通過預白化觀測信號得到混合矩陣的正交矩陣，然后再通過聯(lián)合對角化合適的協(xié)方差矩陣得到白化階段的正交矩陣。這些盲抽取算法只適合于非欠定的情況，本文提出一種基于時域的欠定盲源分離方法，該方法首先采用一種基于差分峰度的算法抽取欠定情況下的非平穩(wěn)源信號，然后在非欠定情況下利用源信號的二階統(tǒng)計特征分離剩余的源信號。

2 問題的描述

假設n個彼此相互獨立的未知源信號，通過一未知瞬時線性混合系統(tǒng)后，得到m維觀測信號矢量。觀測信號x(t) 與源信號s(t) 的數(shù)學模型可描述為

在m≥n非欠定的情況下，給定A，源信號s(t)可由式（2）估計得到

式中，A*為A的廣義逆矩陣，

當m＜n時，即為欠定情況，既便A已知，對于源信號s(t) 的恢復也不是唯一，只能通過估計方法估計出s(t) 的最優(yōu)估計值。

盲抽取的主導思想是僅根據(jù)源信號的統(tǒng)計獨立假設條件，從觀測信號矢量x(t) 中逐個地分離出源信號，通過多次分離過程最終獲得所有源信號的估計。文獻[13]中m≥n情況下的盲源抽取過程可由式（3）～式（5）來描述。

式（3）～式（5）中，y(t) 為一個源信號s(t)的估計，T為白化矩陣，抽取權矢量w為一個m維的列矢量，y(t) 的峰度y(t)]，具體的計算為E[·]為求均值運算。記，當行矢量g中只有一個元素為1，其余為0時，則y(t) 為在s(t) 中與g中元素為1位置相對應源信號的恢復或估計，但這種算法不適于m＜n的欠定情況。

3 基于時域的欠定盲源分離方法

本文提出的基于時域的欠定盲源分離方法，首先在引入文獻[14]中差分峰度概念的基礎上采用一種新的算法逐次分離欠定情況下的非平穩(wěn)信號[15]，然后再利用源信號的二階統(tǒng)計量恢復其余的源信號。

3.1 欠定的非平穩(wěn)信號盲抽取算法

假設t1時刻的峰度為Ky(t1)，t2時刻的峰度為Ky(t2)，定義抽取后的估計信號的差分峰度則為

由式（6）可得到Ky(t) 和DKy(t1,t2) 的展開式分別為

式中，Ksi(t) 為源信號si在t時刻的峰度。

當si(t) 為平穩(wěn)信號時，式（9）中的Ksi(t1)-Ksi(t2)=0；而當源信號si(t) 為非平穩(wěn)信號時，式中的Ksi(t1)-Ksi(t2)≠0。因此，式中的DKy(t1,t2) 是由非平穩(wěn)si(t) 的元素組成的。如果令Q為非平穩(wěn)源信號si(t) 的序號i集合，式（9）可改寫成式（10）。

由于式（5）中的峰度K y(t) 是在白化觀測信號x(t) 的基礎上進行計算，同樣計算式（6）或式（10）的DKy(t1,t2) 也需要預白化觀測信號x(t)，它的白化矩陣T要滿足式（11）的要求。

式中，I為單位矩陣。

為了滿足式（11）的要求，T由式（12）進行特征值分解（Eigenvalue Decomposition,EVD）獲得[15,16]。

由上述分析可知，在m＜n的欠定情況下可通過優(yōu)化式（13）獲得最優(yōu)的抽取權矢量w。

3.2 利用二階統(tǒng)計量的盲源抽取算法

式（3）、式（5）描述為需要白化觀測信號的非欠定盲源抽取過程。為了克服傳統(tǒng)的基于HOS方法非高斯性的限制，且減少計算量，本節(jié)考慮了不需要預白化處理的抽取算法，該算法還可以實現(xiàn)在線盲抽取。注意本文僅分析離線的盲抽取算法。由此，可將式（4）改成式（14）。

如果式（14）中y(t) 的前p個時序信號的線性預測估計為y?(t)，那么它可描述成

式中，bi為線性預測系數(shù)；i為時延。

對于平穩(wěn)的信號，y(t) 與它的最優(yōu)估計y?(t)的關系可由式（16）或式（17）描述[17]。

式中

基于上述分析，本文將式（17）作為用于估計式（14）中抽取權矢量w的代價函數(shù)；將式中的時延i用時間間隔τ代替，而p用最大時間間隔Γ代替，為了不增加計算復雜度，bi取為1/Γ，由此可得到歸一化后新的代價函數(shù)為式（18）。

由此可得，式（14）中的抽取權矢量w可通過最小化式（18）中的代價函數(shù)獲得，其過程為

下面將對式（18）的代價函數(shù)的可行性進行分析。為了便于分析，式（18）中的時間間隔只取τ，則式（19）中的抽取權矢量w可通過求解式（20）的廣義特征矢量獲得[18]。

由式（21）～式（22）可知，w也是Rxx(τ) 和Rxx(0) 的廣義特征矢量。不失一般性，由于Rxx(0)對角上的元素可變換為1，其代價函數(shù)可改寫為

由式（24）可知，由于約束項的存在，使得g0可能的優(yōu)化解肯定不是零矢量。當g0=g0,opt時，式（23）中的代價函數(shù)J2(w) 才達到最小，源信號才能被抽?。ǚ蛛x）出來。而g=wTA，所以只有w=wopt時，g0才能達到最優(yōu)的g0,opt。

為了滿足Rxx(τ)=RTxx(τ) 這一條件，式（18）中的Rxx(τ) 由式（25）估算得到。對于非平穩(wěn)信號，根據(jù)它具有的全局非平穩(wěn)局部平穩(wěn)特性，將式（25）改寫為式（26）。

式（26）中，將N個x(t) 分解成K塊不重疊的時序，每塊時序的長度T=N/K。那么非平穩(wěn)信號相應的代價函數(shù)和抽取權矢量分別由式（27）、式（28）來描述。

式（18）和式（25）可分別視為式（26）、式（27）的特殊形式；當K=1時，式（26）、式（27）將退化為式（25）和式（18）。

3.3 退化過程

退化過程包括退化處理和降維。退化處理的目的是從混疊的觀測信號中減去已抽取的信號，這個過程可由式（29）描述。

4 仿真實驗分析

為了便于分析，圖1中的偽代碼描述了本文提出的基于時域的欠定盲源分離方法實現(xiàn)步驟。

圖1 基于時域的欠定盲源分離方法的實現(xiàn)步驟Fig.1 Realization step of method of underdetermined blind source separation in time-domain

為了驗證3.2節(jié)中利用二階統(tǒng)計量的盲源抽取算法的有效性，將該算法與文獻[11]和文獻[20]的BSE算法進行仿真比較分析，三種不同BSE的復雜度運算量見表1。在這個仿真實驗中，源信號如圖2a所示，s1和s2為非平穩(wěn)的超高斯分布語音信號，它們?nèi)∽晕墨I[21]；s3為平穩(wěn)的亞高斯分布正弦信號，s4為在randn[-1 1]之間隨機產(chǎn)生的高斯白噪聲信號。式（1）中的混疊矩陣A在[-1 1]之間隨機產(chǎn)生，它的值見式（30），圖2b所示為源信號經(jīng)A混合后的觀測信號。為了定量分析分離效果，本文采用式（31）、式（32）來評價盲源抽取算法的估計性能。圖2c～2e分別為三種不同BSE算法的分離信號，它們的估計性能比較結(jié)果見表2。

說明1：L為收斂迭代次數(shù)；由于Γ?T，所以KΓ?N。

圖2 不同BSE算法的分離信號Fig.2 Separated Signals of Different BSE Algorithms

表1 不同BSE算法計算復雜度的比較Tab.1 Comparison of computational loads of different BSE algorithms

（續(xù)）

表2 不同BSE算法分離結(jié)果的比較Tab.2 Comparison of results of different BSE algorithms

說明2：仿真實驗中，式（26）、式（27）中的L=5，K=5，文獻[20]的算法中G(u) 函數(shù)選log(cosh(u))；表中的結(jié)果為10次獨立仿真結(jié)果的平均值。計算用的是處理器主頻為3.4GHz雙核的DELL臺式電腦。

通過圖2和表1、表2中對三種不同的BSE算法進行比較的結(jié)果可知，雖然文獻[11]的算法比本文算法對高斯白噪聲信號的恢復質(zhì)量高，但比較其余源信號的恢復質(zhì)量，本文的算法不僅可以克服非高斯性的限制，具有更強的抑制高斯白噪聲的能力，而且具有更好的分離效果。

為了全面評價本文提出的基于時域的欠定盲源分離方法的有效性，還將該方法與文獻[7]和文獻[9]的UBSS方法進行比較加以驗證。仿真實驗中的源信號如圖3a所示，s1和s2為服從亞高斯分布的256×256圖像信號，圖中的橫坐標和縱坐標代表圖像的像素，逐行掃描后為一維信號；s3和s4為服從超高斯分布的語音信號。式（33）中的A同樣在[-1 1]之間隨機產(chǎn)生，圖3b為混合后的觀測信號，圖3c～3e分別為三種不同的UBSS方法的分離信號，圖像信號和語音信號的恢復性能分別由式（34）和式（31）來評價，利用它們對不同UBSS方法估計性能比較見表3。

式中，M和P分別代表二維圖像信號的行和列像素數(shù)。

圖3 不同UBSS方法的分離信號Fig.3 Separated signals of different UBSS methods

表3 不同UBSS算法分離結(jié)果的比較Tab.3 Comparison of results of different UBSS methods

由圖2和表4的比較結(jié)果，本文提出的欠定盲源分離方法不僅能較好地分離出超高斯和亞高斯兩種不同分布的源信號，同時它在源信號恢復的性能上也體現(xiàn)了它比其他方法更具有優(yōu)越性。

5 結(jié)論

提出一種基于時域的欠定盲源分離方法，它不像傳統(tǒng)的方法需要先在時頻域上估算混合矩陣，再由優(yōu)化算法恢復源信號，該方法首先采用一種基于差分峰度的盲抽取算法逐次分離欠定情況下的非平穩(wěn)信號，然后再利用二階統(tǒng)計量分離其余的源信號。仿真結(jié)果表明了該方法不僅能較好地分離出服從不同分布的源信號，同時它比其他傳統(tǒng)方法具有更好的估計性能。

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