含有極大值的二階差分方程的有界振動(dòng)性和非振動(dòng)性

劉雪飛， 鐘曉珠， 許紅葉， 王寅琮， 趙 芬

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北 秦皇島 066004)

0 引言

由于差分方程的廣泛應(yīng)用，對(duì)它的研究也隨之越來(lái)越多，特別是對(duì)差分方程解的振動(dòng)性的充要條件的研究有了較多的研究成果[1-3].文獻(xiàn)[4-6]對(duì)含有極大值的一階差分方程進(jìn)行了研究，但是對(duì)含有極大值的二階差分方程的研究卻很少.作者研究了含有極大值的二階差分方程

(1)

其中，[n-l,n]={n-l,n-l+1,…,n}，l,k為正整數(shù)，{qn},{rn}為非負(fù)實(shí)數(shù)列，{pn}為實(shí)數(shù)列.

方程(1)的解{xn}如果既不最終為正，也不最終為負(fù)，就稱為振動(dòng)的，否則，就稱為非振動(dòng)的.如果方程(1)的所有解都是振動(dòng)的，方程(1)就稱為振動(dòng)的.

定義

zn=xn-pnxn-k，

(2)

則由(1)可得

(3)

1 引理

引理1(Ⅰ) 若pn≤-1且{xn}為(1)的正有界解，則{zn}非減且zn>0；

(Ⅱ) 若pn≤-1且{xn}為(1)的負(fù)有界解，則{zn}非增且zn<0.

證明(Ⅰ)因?yàn)閧xn}為(1)的正有界解，由(3)可得

(4)

所以{Δzn}為非增的.

因?yàn)閦n=xn-pnxn-k，且{xn}為(1)的正有界解，pn≤-1，所以zn>0且{zn}有界.下面證明當(dāng)n≥n0時(shí)，Δzn≤0.

否則?n1，使得n1≥n0，當(dāng)n≥n1時(shí)有Δzn>0，由(4)可知Δzn≤Δzn1.從n1加到n-1，得zn-zn1≤(n-n1)Δzn1，當(dāng)n→時(shí)，則zn→+與{zn}有界矛盾，所以Δzn≤0，則{Δzn}為非增的，(Ⅰ)得證.

(Ⅱ)因?yàn)?2)成立，且{xn}為(1)的負(fù)有界解，pn≤-1 ，所以zn<0且{zn}有界.下面證明Δzn≥0.

當(dāng)n≥n0時(shí)，證明方法同(Ⅰ)，當(dāng)n→時(shí)，則zn→-與{zn}有界矛盾，所以 Δzn≥0，則{Δzn}為非減的，(Ⅱ)得證.

引理2若

(H1)

成立，當(dāng)0≤pn≤1，{xn}為(1)的正解時(shí)，則{zn}單增且zn>0.

根據(jù)(4)可知

(5)

將(5)式從n0加到i,得

(6)

將(6)式從n0加到n-2,得

由(H1)可知，當(dāng)n→時(shí)，zn→-與{zn}有界矛盾，則zn>0.下面證{zn}單增.

當(dāng)n≥n4時(shí)，Δzn>0.否則?n5，使得n5≥n4，當(dāng)n≥n5時(shí)，Δzn≤0，由(4)知，當(dāng)n≥n5時(shí),

Δzn≤Δzn5

，

(7)

將(7)式從n5加到n-1,得

zn-zn5≤(n-n5)Δzn5,

當(dāng)n→時(shí)，有zn→-，與zn為正矛盾，則Δzn>0，{zn}單增得證.

2 定理

因?yàn)閧xn}為(1)的正解, 且pn≤-1，則zn=xn-pnxn-k>0.由引理1知{zn}非增且zn>0.?T=

例如：教師在給學(xué)生講解地理相關(guān)的地形地貌的時(shí)候，可以為學(xué)生搜集相關(guān)的圖像，讓學(xué)生能夠?qū)ξ覀儑?guó)家復(fù)雜的地貌有一個(gè)具體的了解，這樣學(xué)生就會(huì)在接下來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程中更加的積極主動(dòng)，能夠把自己的注意力集中到學(xué)生地理知識(shí)上來(lái)，提高教師課堂的教學(xué)效果。

(8)

將(8)式從n0加到i，得

(9)

將(9)式從n0加到n-2，得

由(H1)可知，當(dāng)n→時(shí)，zn→-與zn=xn-pnxn-k>0產(chǎn)生矛盾，得證.

證明假設(shè){xn}為方程(1)的最終正解，根據(jù)已知條件和引理2知，Δzn>0且zn>0.

由(2)知xn≥zn，同理可得出xs≥zs，則根據(jù)(3)得

(10)

將(10)式從n加到n+k-l-2，且zn>0，有

證明(ⅰ)首先證明zn<0.

假設(shè)zn≥0，設(shè)xn為方程(1)的一個(gè)最終正解，根據(jù)(2)且pn≥1，則xn≥pnxn-k≥xn-k，所以{xn}有下界，?M>0,當(dāng)n≥n0時(shí)，xn≥M.

由(3)知

(11)

將(11)式從n0加到i-1,得

(12)

將(12)式從n0加到n-1，得

因?yàn)?H1)成立，當(dāng)n→時(shí)，有zn→-,與假設(shè)中zn≥0矛盾，則zn<0得證.

(ⅱ) 再證Δzn<0.

假設(shè)Δzn≥0，由(3)可知，Δzn是非增的，當(dāng)n≥n1時(shí)，則Δzn1≥Δzn.從n1加到n得zn-zn1≤(n-n0+1)Δzn1，當(dāng)n→時(shí)，則zn→+與(ⅰ)矛盾，(ⅱ)得證.

(ⅲ)由zn=xn-pnxn-k<0知,xn=zn+pnxn-k>0，則有zn>-pnxn-k.

由(ⅱ)和(3)得

(13)

將(13)式從n加到n+k-l-2，得

由Δzn<0知

同理，當(dāng)xn為方程(1)的一個(gè)最終負(fù)解時(shí)，可得出矛盾，所以方程(1)的所有解振動(dòng).

參考文獻(xiàn)：

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