近幾年中考壓軸題動態(tài)幾何問題歸類解析

一、點(diǎn)動帶動線動

例1如圖1-1所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點(diǎn)D是線段BC上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過點(diǎn)D作直線＝－■x＋b交折線O-A-B于點(diǎn)E。

（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式。（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由。

分析：本題是以一條運(yùn)動直線為載體，以矩形為背景的有關(guān)圖形面積是否改變的探究題。問題（1）：點(diǎn)D在線段BC上沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動，其實(shí)就是直線DE向右平移。在運(yùn)動過程中，有三個臨界點(diǎn)：直線DE經(jīng)過點(diǎn)C（b=1），直線DE經(jīng)過點(diǎn)A（b=■），直線DE經(jīng)過點(diǎn)B（b=■），故分兩種情況①1＜b≤■，②■＜b＜■展開討論；問題（2）：直線DE運(yùn)動過程中，重疊部分（菱形）的面積是否變化，取決于這個菱形的邊長，由勾股定理可知這個菱形的邊長始終不變，且為■，從而確定重疊部分的面積不會變化。

解：（1）①當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時，即1＜b≤■，此時E（2b，0）

∴S＝■OE·CO＝■×2b×1＝b

②當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時（如圖1-2），即■＜b＜■，此時E（3，b－■），D（2b－2，1）

∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )＝ 3－[■(2b－1)×1＋■×(5－2b)·(■－b)＋■×3(b－■)]＝－b2＋■b

（2）如圖1-3，設(shè)O1A1與CB相交于點(diǎn)M，OA與C1B1相交于點(diǎn)N，則矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。

由題意知，DM∥NE，DN∥ME，則四邊形DNEM為平行四邊形。

由軸對稱知，∠MED＝∠NED

又∵∠MDE＝∠NED

∴∠MED＝∠MDE ∴MD＝ME

∴平行四邊形DNEM為菱形

過點(diǎn)D作DH⊥OA于H，則tan∠DEN＝■，DH＝1 ∴HE＝2

設(shè)菱形DNEM的邊長為a，則在Rt△DHN中，由勾股定理知：

a2＝（2－a）2＋12，a＝■

∴S四邊形DNEM＝NE·DH＝■

∴矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為■。

二、形動帶動線動

例2劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖2-1、2-2。圖2-1中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；圖2-2中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm。圖2-3是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個實(shí)驗(yàn)：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動。在移動過程中，D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上（移動開始時點(diǎn)D與點(diǎn)A重合）。

（1）在△DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸____。（填“不變”、“變大”或“變小”）（2）劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題：問題①：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與AB平行？問題②：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形？問題③：在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD=15°？如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請說明理由。

請你分別完成上述三個問題的解答過程。

分析：本題是以運(yùn)動的等腰直角三角形為載體，以直角三角形為背景創(chuàng)設(shè)的有關(guān)線段位置（數(shù)量）關(guān)系的探究題。問題（1）：△DEF沿AC方向移動的過程中，線段DC的長度逐漸變小，由勾股定理可知線段FC的長度亦逐漸變小。問題（2）①：利用平行線的性質(zhì)和三角函數(shù)便可求得線段AD的長；問題（2）②：關(guān)鍵是要用AD表示出FC，并對AD、FC、BC三條線段中哪一條是斜邊，哪兩條是直角邊展開討論，并根據(jù)勾股定理建立關(guān)于AD的方程，求出AD的值；問題（2）③即為∠FCD=15°時，檢驗(yàn)線段DC的長度是否在4≤DC≤12的范圍之內(nèi)。那么15°這個非特殊角究竟該怎么處理呢？我們可以作Rt△FDC斜邊FC的垂直平分線MN交DC于N，這樣Rt△FDC被分割成Rt△FDN和等腰△FNC，于是線段DC的長就轉(zhuǎn)化為FN+DN的長。

解：（1）變小。

（2）問題①：連結(jié)FC（如圖2-4）

∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6

∴AC=12

∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4

∴DF=4

∵FC∥AB

∴∠FCD=∠A=30°

∴在Rt△FDC中，DC＝4■

∴AD=AC-DC=12-4■

即AD的長為（12-4■）cm時，F(xiàn)C∥AB。

問題②：設(shè)AD＝x，在Rt△FDC中，F(xiàn)C2=DC2+FD2=（12-x）2+16

（Ⅰ）當(dāng)FC為斜邊時，由AD2+BC2=FC2得，x2+62=（12-x）2+16，x=■

（Ⅱ）當(dāng)AD為斜邊時，由FC2+BC2=AD2得，（12-x）2+16+62=x2，x=■＞8（不合題意，舍去）

（Ⅲ）當(dāng)BC為斜邊時，由FC2+AD2=BC2得，（12-x）2+16+x2=62，x2-12x+62=0，此方程無實(shí)數(shù)解

綜上，當(dāng)AD的長為■cm時，以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形。

問題③：不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°。理由如下：

假設(shè)∠FCD=15°，作FC的垂直平分線MN交DC于N，連結(jié)FN（如圖2-5），則FN=CN。

∴∠NFC=∠FCD=15°

∴∠FND=∠NFC+∠FCD=30°

∴在Rt△FDN中，DN＝，F(xiàn)N＝8

∴DC=CN+DN=FN+DN=8+4■＞12（不合題意）

∴不存在這樣的位置，使得∠FCD=15°

三、點(diǎn)、形聯(lián)動帶動線動

例3已知：把Rt△ACB和Rt△EDF按如圖3-1擺放（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上。∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC =8cm，BC=6cm，EF=9cm。

如圖3-2，△EDF從圖3-1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ACB勻速移動，在△EDF移動的同時，點(diǎn)P從△ACB的頂點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動。當(dāng)△EDF的頂點(diǎn)D移動到AC邊上時，△EDF停止移動，點(diǎn)P也隨之停止移動。DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）。解答下列問題：

（1）當(dāng)t為何值時，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上？（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由。（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由。

分析：本題將點(diǎn)和等腰直角三角形的運(yùn)動巧妙地結(jié)合在一起，從而帶動了一條射線的運(yùn)動，從不同角度考查學(xué)生捕捉信息的能力。

解：（1）由勾股定理得：AB=■=10

∵∠DEF=45°，∠ACB=90°

∴CE =CQ

∵點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上

∴AP=AQ，即10－2t=8－t，t=2

答：當(dāng)t=2s時，點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上。

（2）過P作PM⊥BE于M（如圖3-3），在Rt△ACB和Rt△PMB中，sinB =■ =■，即■=■，PM =■t

∴y=S△ABC－S△BPE

=■BC·AC－■BE·PM

= ■×6×8－■×（6-t）×■t

= ■t2－■t+24

= ■（t-3）2+■（0＜t＜4.5）

∴當(dāng)t=3時，y最小=■

答：當(dāng)t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為■cm2。

（3）假設(shè)存在某一時刻t，使點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上。過P作于N，則PN∥BC（如圖3-4）

∴△APN∽△ABC

∴■=■=■，即■=■=■ ∴PN=6－■t，AN=8－■t

NQ=AQ－AN=8－t－(8－■t)=■t

∵∠PNQ=∠FCQ=90°，∠PQN=∠FQC

∴△PNQ∽△FCQ

∴■=■，即■=■，t = 1

答：當(dāng)t= 1s，點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上。

四、點(diǎn)動帶動形動

例4如圖4-1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACB=90°，AD=6，BC=8，AB=3■，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)。點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)沿MB以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原速度沿BM返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速運(yùn)動。在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ，使它與梯形ABCD在射線BC的同側(cè)。點(diǎn)P，Q同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P返回到點(diǎn)M時停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也隨之停止。設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間是t秒(t＞0)。

（1）設(shè)PQ的長為y，在點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫t的取值范圍）。（2）當(dāng)BP=1時，求△EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積。（3）隨著時間t的變化，線段AD會有一部分被△EPQ覆蓋，被覆蓋線段的長度在某個時刻會達(dá)到最大值，請回答：該最大值能否持續(xù)一個時段？若能，直接寫出t的取值范圍；若不能，請說明理由。

分析：本題是以運(yùn)動的等邊三角形為載體，以直角梯形為背景設(shè)計的線段最值問題。問題（1）容易解決；問題（2）須考慮點(diǎn)P的運(yùn)動方向，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時是一個臨界點(diǎn)（t=4），故既要考慮點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B之前的情況（0＜t＜4），還得考慮點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B之后的情況（4＜t≤8）；問題（3）也應(yīng)分兩種情況，點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，△EPQ逐漸變大。從點(diǎn)E在AD上（t=3）開始，線段AD逐漸被△EPQ覆蓋，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B（此時點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)C）時，線段AD被△EPQ覆蓋的線段的長度達(dá)到最大值2。那么，點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動的過程中，△EPQ還會繼續(xù)變大嗎？本題的出彩之處正在于此。在這個過程中，△EPQ的大小是否變化，取決于線段PQ的長度，而PM＝8-t，MQ＝t，所以此過程中PQ為定值（PQ＝PM+MQ＝8），△EPQ的大小也不再變化，并且自點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B之后直至EQ過點(diǎn)D，線段AD被△EPQ覆蓋的線段的長度始終為2。

解：（1）y=2t。

（2）易知MB=■=4，當(dāng)BP=1時，有兩種情形：

①若點(diǎn)P從點(diǎn)M向點(diǎn)B運(yùn)動，連結(jié)EM（如圖4-2），此時t＝BM-BP＝4-1＝3，PQ=6

∵△EPQ是等邊三角形，MP=MQ=3

∴EM⊥PQ ∴EM=3■

∵AB=3■ ∴點(diǎn)E在AD上

∴△EPQ與梯形ABCD重疊部分就是△EPQ，其面積為9■

②若點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動，此時t＝BM+BP＝4+1＝5，PQ=8，PC=7。設(shè)PE與AD交于點(diǎn)F，QE與AD或AD的延長線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作PH⊥AD于點(diǎn)H（如圖4-3），則HP=3■，AH=1

在Rt△PHF中，∠HPF=30°，

∴HF=3，PF=6 ∴FG=FE=2

又∵FD=2

∴點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，此時△EPQ與梯形ABCD的重疊部分就是梯形FPCG，其面積為■■

（3）能。4≤t≤5。

五、線動帶動形動

例5如圖5-1，等邊三角形ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點(diǎn)運(yùn)動（運(yùn)動開始時，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B時運(yùn)動終止），過點(diǎn)M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、Q兩點(diǎn)，線段MN運(yùn)動的時間為t秒。

（1）線段MN在運(yùn)動的過程中，t為何值時，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積。（2）線段MN在運(yùn)動的過程中，四邊形MNQP的面積為S，運(yùn)動的時間為t。求四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動時間t變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍。

分析：本題是以一條運(yùn)動線段為載體，以等邊三角形為背景創(chuàng)設(shè)的有關(guān)圖形面積的探究題。問題（1）：由軸對稱可知，當(dāng)AB邊上的高所在直線是線段MN的垂直平分線時，四邊形MNQP是矩形。問題（2）：線段MN在邊AB上沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動的同時，點(diǎn)P、Q沿折線A-C-B運(yùn)動，開始和結(jié)束的兩個狀態(tài)為三角形，運(yùn)動過程中四邊形MNQP是一個梯形，有兩個臨界點(diǎn)，Q與C重合（t=1）和P與C重合（t=2），故分三種情形：①0＜t＜1，②1≤t≤2，③2＜t＜3逐一討論解答。

解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于D（如圖5-2），則AD=2

當(dāng)MN運(yùn)動到被CD垂直平分時，四邊形MNQP是矩形，此時AM=■，即t=■秒時，四邊形MNQP是矩形

∵PM=AM·tan60°＝■■

∴S四邊形MNQP＝■■。

（2）①當(dāng)0＜t＜1時（如圖5-3）

S四邊形MNQP＝■（PM+QM）·MN

＝■[■t+■（t+1）]·1

＝■t+■

②當(dāng)1≤t≤2時（如圖5-4）

S四邊形MNQP＝■（PM+QN）·MN

＝■[■t+■（3-t）]·1

＝■■

③當(dāng)2＜t＜3時（如圖5-5）

S四邊形MNQP＝■（PM+QN）·MN

＝■[■（3-t）+■（4-t）]·1

＝■t+■■。

六、點(diǎn)、線聯(lián)動帶動形動

例6如圖6-1，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6。動點(diǎn)M以每秒1個單位長的速度，從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動；同時點(diǎn)P以相同的速度，從點(diǎn)C沿折線C-D-A向點(diǎn)A運(yùn)動。當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動。過點(diǎn)M作直線l∥AD，與線段CD的交點(diǎn)為E，與折線A-C-B的交點(diǎn)為Q。點(diǎn)M運(yùn)動的時間為t（秒）。

（1）當(dāng)t=0.5時，求線段QM的長。（2）當(dāng)0＜t＜2時，如果以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求t的值。（3）當(dāng)t＞2時，連接PQ交線段AC于點(diǎn)R。請?zhí)骄俊鍪欠駷槎ㄖ?，若是，試求這個定值；若不是，請說明理由。

分析：本題借助雙動點(diǎn)探索一組線段長度比值是否變化，構(gòu)思新穎，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。問題（1）：將梯形分割成矩形和等腰直角三角形，線段QM的長可以通過相似三角形對應(yīng)邊成比例求得。問題（2）：當(dāng)0＜t＜2時，點(diǎn)P在DC上，點(diǎn)Q在CA上。△CPQ的三個內(nèi)角中，∠PCQ是銳角，若△CPQ為直角三角形，須分∠CPQ=90°和∠PQC=90°兩種情況討論，建立關(guān)于t的方程，求出t的值。問題（3）：當(dāng)2＜t＜6時，點(diǎn)P在DA上，點(diǎn)Q在CB上。由于兩動點(diǎn)等速且CD+DA＝AB，所以PA=MB，又等腰Rt△QMB中QM=MB，于是PA=QM，說明此運(yùn)動過程中PQ總是與AB保持平行，有了這樣的認(rèn)識，余下的問題便可迎刃而解了。

解：（1）過點(diǎn)C作CF⊥AB于F（如圖6-2），則四邊形AFCD為矩形

∴CF=DA=4，AF=DC=2

∵l∥AD

∴Rt△AMQ∽Rt△AFC

∴■ =■，即■=■，QM=1。

（2）分兩種情況討論：

①當(dāng)∠CPQ=90°時，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合。此時DE+CP=CD，即t+t=2，t=1

②當(dāng)∠PQC=90°時（如圖6-3），此時Rt△PEQ∽Rt△QMA，則■ =■

由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，而PE=PC-CE=PC-(DC-DE)=t-(2-t)＝2t-2

∴■=■，t=■

綜上所述，t=1或■。

（3）■為定值。理由如下：當(dāng)t＞2時（如圖6-4），由（1）得，BF=AB-AF=4。

∴CF=BF

∴∠CBF=45°

∴QM=MB=6-t

∵PA=DA-DP=4-(t-2)=6-t

∴QM=PA

∴四邊形AMQP為矩形

∴PQ∥AB，

∴△CRQ∽△CAB

∴■=■=■=■=■。

通過以上幾例，我們知道解決此類問題的關(guān)鍵是要在變化過程中尋找某些量的不變屬性，善于將“動”定格為“靜”，方能以“不變”應(yīng)“萬變”。

（作者單位：浙江上虞市竺可楨中學(xué)）