一道國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克題的簡(jiǎn)證

武慧玲

1988年第二十九屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克第6題，在相關(guān)數(shù)學(xué)專著和網(wǎng)上都有證明，但過(guò)程較繁或沒(méi)有構(gòu)造性結(jié)論。本文參考已有證法，給出一個(gè)既簡(jiǎn)潔又有構(gòu)造性結(jié)論的證明，同時(shí)給出了三個(gè)推論命題，由這三個(gè)命題我們很容易得到此奧數(shù)題的各種特例。

1988年第二十九屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克第6題，是一個(gè)非常有意思的題目。雖然這道題已過(guò)去很長(zhǎng)時(shí)間，但仍有許多人在議論這道題。縱觀這道題的各種證明，目前為止比較好的有兩種，皆由《初等數(shù)論》（作者：潘承洞、潘承彪，北京大學(xué)出版社）給出。但一種證明沒(méi)有給出構(gòu)造性結(jié)論，另一種證明較繁。本文參考《初等數(shù)論》，給出一個(gè)更加簡(jiǎn)單明了的證明。

題目：正整數(shù)a與b使得ab+1整除a2+b2，求證：是某個(gè)正整數(shù)的平方。（1988年第二十九屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克第6題）

證明：根據(jù)a、b在命題中的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b。令=k（k為正整數(shù)）。考慮關(guān)于x的一元二次方程：x2-kbx+b2- k =0 ……（1）

依題意，a為方程（1）的一個(gè)正整數(shù)解。設(shè)方程（1）的另一個(gè)解為a1,則由韋達(dá)定理有：a+a1=kb………………………………（2）aa1=b2-k ………………………………（3）

由方程（2）知a1為整數(shù)，并且（a,b）=（b,a1）。又由于b是正整數(shù)，所以a1≥0（否則a12+b2=k（a1b+1）≤0）。

由方程（3）知：a1=≤

若a是b的倍數(shù)，則由方程（2）可知，b|a1，結(jié)合b>a1≥0進(jìn)而可知a1＝0。將a1＝0代入方程（3）和方程（2）得，k=b2,a=b3。這就是說(shuō)，在題目的條件下，且a是b的倍數(shù)時(shí)，命題一定成立，而且有a=b3，k＝b2=（a,b）2。

若a不是b的倍數(shù)，則由方程（2）知a1>0。于是有：＝＝k，并且a>b>a1>0，（a,b）=（b,a1） 。

同理可證，若b是a1的倍數(shù)，則k= a12=（b,a1）2=（a,b）2；若b不是a1的倍數(shù)，則存在正整數(shù)a2，使得：＝＝=k，并且a>b>a1>a2>0，（a,b）=（b,a1）＝（a1,a2）。依此類推，最后一定有兩個(gè)正整數(shù)an+1與an，滿足：an+1是an的倍數(shù)，k=an2=（a,b）2。這就是說(shuō)，在題目的條件下，且a不是b的倍數(shù)時(shí)，命題也成立，而且k=（a,b）2。

綜上所述，若正整數(shù)a與b使得ab+1整除a2+b2，則一定有＝（a,b）2。

上述證明不僅簡(jiǎn)潔，同時(shí)給出了構(gòu)造性的結(jié)論，而且由上面的證明過(guò)程，我們還可以得到以下三個(gè)命題。命題一：若正整數(shù)a與b使得ab+1整除a2+b2，且a是b的倍數(shù)，則一定有a=b3,=b2。命題二：若a=b3，b為正整數(shù)，則ab+1一定能整除a2+b2，并且=b2。命題三：若a、b、m為正整數(shù)，＝m2，則＝m2.

用以上命題，很容易得到此奧數(shù)題的各種特例。

（鹽城紡織職業(yè)技術(shù)學(xué)院）