淺析《張邱建算經(jīng)》中的等差數(shù)列

趙菁菁

《數(shù)列》這一章在中等職業(yè)教育課程改革國家規(guī)劃新教材內(nèi)容中，是一個知識的交匯點，有著承前啟后的作用.教材中許多知識都與數(shù)列有著密切的聯(lián)系.比如過去學過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應用.本章主要內(nèi)容為數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列和數(shù)列的應用舉例.數(shù)列在生產(chǎn)實際與日常生活中的應用范圍很廣，而且是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、認識、分析、綜合等能力的重要題材.中外數(shù)學家很早就對數(shù)列問題有所心得，尤其中國數(shù)學家更是取得了輝煌的成就.

要想更多地了解中國古代數(shù)學家對各種數(shù)列問題的解決，一定不能錯過的是《張邱建算經(jīng)》.

張邱建，北魏清河（今邢臺市清河縣）人，著名的大數(shù)學家.

他從小聰明好學，酷愛算術，一生從事數(shù)學研究，造詣很深，著有《張邱建算經(jīng)》三卷.后世學者北周甄鸞、唐李淳風相繼為該書作了注釋.劉孝孫為算經(jīng)撰了細草.算經(jīng)的體例為問答式，條理精密，文詞古雅，是中國古代數(shù)學史上的杰作，也是世界數(shù)學資料庫中的一份寶貴遺產(chǎn).

《張邱建算經(jīng)》現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就是有關最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計算、各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題的求解等.

下面的資料是根據(jù)文淵閣本四庫全書第七百九十七冊錄入的，在抄錄時，只選其中和等差數(shù)列有關的部分，以饗讀者.

(一)今有戶出銀一斤八兩一十二銖.今以家有貧富不等，令戶別作差品，通融出之.最下戶出銀八兩，以次戶差各多三兩，問戶幾何?

答曰：一十二戶.

草曰：置一戶出銀兩銖數(shù)，以最下戶出銀兩銖數(shù)減之，余倍之.以差多兩銖數(shù)加之為實.以差多兩銖數(shù)為法.實如法而一.

注題目的意思是：平均每戶應交納稅銀一斤八兩十二銖，即(16＋8)×24＋12＝588(銖).（1斤＝16兩，1兩＝24銖）

因為貧富的差別所以每戶交納的稅銀也不一樣，家最貧者交納的稅銀最少為8兩，即8×24＝192（銖），其余每戶交納的稅銀越來越多，每戶相差3兩（公差為3兩），即3×24＝72（銖），問有幾戶？

算經(jīng)的解法：“差多兩銖數(shù)”就是公差.

戶數(shù)＝［(平均一戶交納稅銀數(shù)-最下戶交稅銀數(shù))×2＋差多兩銖數(shù)］÷差多兩銖數(shù)＝［(588-192)×2＋72］÷72

＝12.

分析用現(xiàn)在的數(shù)學語言解釋，這是一個等差數(shù)列，已知首項a1＝192，公差d＝72，S璶＝588n，求項數(shù)n.

(二)今有與人錢.初，一人與三錢；次，一人與四錢；次，一人與五錢；以次與之，轉多一錢.與訖還斂聚與均分之人，人得一百錢.問人得幾何？

答曰：一百九十五人.

術曰：置人得錢數(shù)以減初人錢數(shù)，余倍之，以轉多錢數(shù)加之，得人數(shù).

注題目的意思是：現(xiàn)在要發(fā)給一些人錢，給第一個人錢3，給第二個人錢4，給第三個人錢5，此后每人多發(fā)1錢.把錢分完之后，再收回來平均分配，這時每人得錢100.求人數(shù).

算經(jīng)的解法：“轉多錢數(shù)”就是公差d.

人數(shù)＝(平均每人得錢數(shù)-第一個人得錢數(shù))×2＋轉多錢數(shù)=(100-3)×2＋1

=195.

（此題與上題方法相同，只是省略了最后一步除以公差，因為公差為1，所以對結果無影響.)

分析用現(xiàn)在的數(shù)學語言解釋，這是一個等差數(shù)列，已知a1＝3，a2＝4，a3＝5，…，公差d＝1，S璶＝100n,求項數(shù)n.

(三)今有女善織，日益功疾.初日織五尺，今一月日織九匹三丈.問日益幾何.

答曰：五寸二十九分寸之十五.

術曰：置今織尺數(shù)，以一月日而一，所得，倍之.又倍初日尺數(shù)，減之，余為實，以一月日數(shù)初一日減之，余為法，實如法得一.

注題目的意思是：有一個女子很會織布，一天比一天織得快，而且每天增加的長度都是一樣的.已知第一天織5尺，經(jīng)過一個月30天后，共織布九匹三丈,即(4×9＋3)×10＝390（尺）.（1匹＝4丈，1丈＝10尺，1尺＝10寸）問每天多織多少？

算經(jīng)的解法：

每天多織的布數(shù)=［（現(xiàn)在的織布總數(shù)÷每月的日數(shù)）×2-（第一天織布尺數(shù)×2）］÷

（一月的天數(shù)-1）

每天多織的布數(shù)=［（390÷30）×2-（5×2）］÷（30-1）＝16[]29（尺）＝160[]29（寸）＝515[]29（寸）.

分析用現(xiàn)在的數(shù)學語言解釋，這是一個等差數(shù)列，已知首項a1＝5，項數(shù)n＝30，前30項的和是S30＝390,求公差d.

數(shù)列在生產(chǎn)實際與日常生活中的應用范圍之廣，在上述題目中已經(jīng)得到了驗證.學習這一章時教師可以充分利用這一點，使學生在獲得知識的基礎上，提高觀察和思維能力，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,提高學生對數(shù)學的好奇心和求知欲，增強學好數(shù)學的自信心.同時了解一些中外杰出的數(shù)學家和數(shù)學成就，尤其是中國古代數(shù)學的輝煌成就，體會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的巨大貢獻，激發(fā)學生的愛國熱情，進一步培養(yǎng)和增強學生的民族自信心和民族自豪感.