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    初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題研究

    2012-04-29 00:44:03付東華
    成才之路 2012年13期
    關(guān)鍵詞:檢票口贏利檢票

    付東華

    中考的應(yīng)用題已經(jīng)不再是單純的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的應(yīng)用,而是與現(xiàn)代社會(huì)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展緊密地聯(lián)系在一起,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。它不僅能考核出學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的水平,更能對(duì)學(xué)生的分析能力、計(jì)算能力、邏輯能力、開放思維能力,以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題進(jìn)行更深層次的檢驗(yàn)。

    一、方程與不等式的混合式組方面的應(yīng)用題

    例1:有一座車站,檢票的時(shí)候,有m(m>0)個(gè)人排隊(duì)等著上車。假定:乘客依相同的速度增加,而檢票員的查檢速度相同。打開一個(gè)檢票口,排隊(duì)的人群要30分鐘檢票完畢;打開兩個(gè)檢票口,只要10分鐘。請(qǐng)問,如果發(fā)生特殊情況,必須在5分鐘內(nèi)全部檢完,至少應(yīng)該同時(shí)打開幾個(gè)檢票口?

    解:假如檢票之后新出現(xiàn)的人為每分鐘x人,而檢票的速度為每一個(gè)檢票口每分鐘y人,那么,要想5分鐘之內(nèi)檢完票,就要同時(shí)開n個(gè)檢票口。我們由題目的意思可知:m+30x=30ym+10x=2×10ym+5x≤5ny,∴y=,x=,∴ m+≤n×,∵m>0 ,∴n≥3.5 ,∵n為最小正整數(shù), ∴n=4。即:至少要同時(shí)開放4個(gè)檢票口。

    這類方程與不等式的混合,充分體現(xiàn)了解方程的“消元”思想,考查了學(xué)生運(yùn)用這方面知識(shí)的靈活程度。

    二、函數(shù)中的應(yīng)用題

    這幾年這類習(xí)題成為了中考的熱點(diǎn),各省市的試卷中出現(xiàn)了許多設(shè)計(jì)巧妙、反映時(shí)代氣息的一種信息閱讀理解方面的應(yīng)用題,其中轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想成了這一類試題的靈魂 ,把具體問題抽象成函數(shù)模型,來實(shí)現(xiàn)解題。

    例2:某單位投資500萬元,想生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品。然后,投資1 500萬元大批量生產(chǎn)。假設(shè)每一個(gè)產(chǎn)品成本限定為40元。這時(shí),相關(guān)人員調(diào)查得知:當(dāng)價(jià)格為100元時(shí),每年能賣20萬件;價(jià)格每多10元,每年銷量將減少1萬件。假定售價(jià)為x(元),每年銷量為y(萬)件,年贏利為z(萬元)。(1)試寫出y與x之間函數(shù)關(guān)系式。(2)試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式。(3)計(jì)算價(jià)格為160元的年贏利,同時(shí)說說要達(dá)到同樣的年贏利,價(jià)格還可以設(shè)為多少?相應(yīng)的年銷量分別為多少?(4)設(shè)想,在第一年,按年贏利最大設(shè)定的價(jià)格銷售;第二年,年贏利若不少于1 130萬元,憑函數(shù)圖像的大致說明,第二年的價(jià)格x(元),可限制在一個(gè)什么數(shù)值內(nèi)?

    解:(1)由題意得,當(dāng)銷售價(jià)為x 元時(shí),年銷售量減少(x-100)萬件,∴y=20-(x-100)=-x+30,即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+30。

    (2)由題意知:z=(30-x)(x-40)-500-1 500=-x2+34x-3 200,即z與x之間函數(shù)關(guān)系式為z=-x2+34x-3 200。

    (3)∵x=160時(shí),z=-×1602+34×160-3200=-320,∵-320=-x2+34x-3 200, ∴x2-340x+28 800=0, ∴ x+16=340,∴x=180,即同樣的年獲利、銷售單價(jià)還可以定為180元。當(dāng)x=160時(shí),y=-×160+30=14;當(dāng)x=180時(shí),y=-×180+30=12,即:相應(yīng)的年銷售量分別為14萬件和12萬件。

    (4)∵z=-x2+34x-3 200=-(x-170)2-310, ∴當(dāng)價(jià)格定為170元,贏利最大,同時(shí),到第一年年底,若想收回所有投資,還差310萬元。第二年,價(jià)格定為x元/件,則年贏利為z=(30-x)(x-40)-310=-x2+34x-1500。當(dāng)z=1 130時(shí),1130=-x2

    +34x-1 510,∴x1=120 ,x2=220。函數(shù)z=-x2+34x-1 510,大致圖像如圖(圖略)?!?20≤x≤220時(shí),z≥1 130,∴第二年的銷售單價(jià)應(yīng)確定不低于120元且不高于220元范圍內(nèi)。

    三、學(xué)科滲透方面的應(yīng)用題

    中考數(shù)學(xué)部分應(yīng)用題還體現(xiàn)了其他學(xué)科的滲透,感受到數(shù)學(xué)的工具性、綜合性、歸納性,展示了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。近年來,長春考了成語在概率中的應(yīng)用、漢字的軸對(duì)稱性,蘭州考了烴類化合物的規(guī)律探索,濟(jì)南考了琴弦的頻率與長度關(guān)系等。

    例3:物理中的勻速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律在中考習(xí)題中的運(yùn)用。

    (青島中考)已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)行,速度為1cm/s;點(diǎn)Q由A出發(fā),沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s;連結(jié)PQ,若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0<t<2),解答下列問題。(1) 當(dāng)t為何值時(shí),PQ//BC?(2) 設(shè)△AQP的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式?(3) 是否存在某一時(shí)刻t,使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時(shí)平分?若存在,求出此時(shí)t值;若不存在,說明理由。

    分析:(1)將P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度及時(shí)間轉(zhuǎn)化成線段的長度,而當(dāng)PQ//BC時(shí)△APQ~△ABC列出方程進(jìn)而求出t值。(2)選擇合適的底和相對(duì)應(yīng)的高,AQ已知,故選擇AQ邊上的高,過PH⊥AC,利用△APH~△ABC求PH,再求面積。(3)存在性問題一般都是假設(shè)原命題成立,再結(jié)合題設(shè)建立關(guān)于t的方程進(jìn)而求解。

    解:(1)由題意得AP=5-t、AQ=2t,當(dāng)PQ∥BC時(shí),△APQ~△ABC ,∴=,∴=, ∴= ∴t=,即t=秒時(shí)PQ∥BC。

    (2)(解略)y與t間的函數(shù)關(guān)系式為y=-t2+3t(0<t<2秒) 。

    (3) 不存在這一時(shí)刻t滿足條件,理由如下:若PQ把△ABC周長平分,那么AP+AQ=BP+BC+CQ,∴(5-t)+2t=t+3+(4-2t) ,∴t=1,若PQ把△ABC面積平分,則有S△APQ=S△ABC ,即-t2+3t=3。 當(dāng)t=1時(shí),左=-+3=,右=3,∴左≠右,即當(dāng)t=1時(shí) , -t2+3t=3不成立。綜上所述,不存在這一時(shí)刻t,使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時(shí)平分。

    總之,中考中的應(yīng)用題涉及范圍越來越廣,譬如統(tǒng)計(jì)方面、圖案設(shè)計(jì)方面、概率方面的應(yīng)用題,對(duì)學(xué)生各方面能力的要求呈逐步上升趨勢,也是試卷失分較多的地方,值得我們關(guān)注。

    (大慶市第六十一中學(xué))

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