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    例析數(shù)列的定義證明

    2012-04-29 10:58:52周忠雅
    成才之路 2012年19期
    關(guān)鍵詞:公比例析中心校

    周忠雅

    高中數(shù)學(xué)教材中,對等差、等比數(shù)列作了如下的定義:一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于一個(gè)常數(shù),則這個(gè)數(shù)列叫等差數(shù)列,常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差。一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比等于一個(gè)常數(shù),則這個(gè)數(shù)列叫等比數(shù)列,常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比。在涉及用定義來說明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列時(shí),很多時(shí)候往往容易忽略定義的完整性,現(xiàn)舉些例子加以說明。

    例1 :已知數(shù)列前n項(xiàng)和sn=n2+2n,求通項(xiàng)公式an,并說明這個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列。

    解:n=1時(shí),a1=s1=1+2=3;n≥2時(shí),an=sn-sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1,因?yàn)閚取1時(shí),an=2×1+1=3=a1,所以an=2n+1,因?yàn)閚≥2時(shí),an-an-1=2為常數(shù),所以{an}為等差數(shù)列。

    例2:設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn=n2+2n+4,(n∈N+)。⑴求該數(shù)列的通項(xiàng)。⑵證明:數(shù)列{an}除去首項(xiàng)后所成的數(shù)列a2,a3,a4…是等差數(shù)列。

    解:⑴由sn與an的關(guān)系,an=s(n=1)s-s-1(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),a1=s1=12+2×1+4=7.⑵當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2+2n+4)-[(n-1)2+2(n-1)+4]=2n+1,∵n取1時(shí),an=2×1+1=3≠a1 ,∴an=7(n=1)2n+1(n≥2),∴an+1-an=[2(n+1)+1]-(2n+1)=2,對于任意n≥2都成立,從而數(shù)列a2,a3,a4…是等差數(shù)列。

    注:由于a2-a1=-2,故an+1-an=2不對任意n∈N成立,因此,數(shù)列{an}不是等差數(shù)列。

    例3:設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n 項(xiàng)和Sn滿足關(guān)系3tsn-(2t+3)sn-1=3t,求證{an}為等比數(shù)列。

    注:因?yàn)?tsn-(2t+3)sn-1=3t僅在n≥2時(shí)有意義,所以遞推公式3tsn-1-(2t+3)sn-2=3t僅在n≥3時(shí)有意義。證明如下:n≥3時(shí),3tsn-(2t+3)sn-1=3t,3tsn-1-(2t+3)sn-2=3t,兩式相減得:3t(sn-sn-1)-(2t+3)(sn-1-sn-2)=0,即:3tan-(2t+3)an-1=0,所以=。(這只能說明從第二項(xiàng)開始,后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為定值,所以需要對第二項(xiàng)與第一項(xiàng)的比另外加以證明,以達(dá)到定義的完整性。)

    又因?yàn)閚=2時(shí),3ts2-(2t+3)s1=3t,即3t(a1+a2)-(2t+3)a1=3t,還因?yàn)閍1=1,所以3t+3ta2-(2t+3)=3t,所以a2=,所以=,所以對任意n≥2都有=為定值,所以{an}為等比數(shù)列。

    總之,在用定義證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列的時(shí)候,一定要注意下標(biāo)n的取值范圍。不管是an-an-1、還是an-1-an-2、,或者其他情況,都要考慮定義的完整性,確保任何后一項(xiàng)與相鄰前一項(xiàng)的差(比)為定值,如有不全面的地方須另外加以補(bǔ)充。

    (張家港職業(yè)教育中心校)

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