淺談微分相關理論在經濟比較靜態(tài)分析中的應用

劉德龍

摘要：應用微分學的全微分、隱函數等相關理論，對經濟比較靜態(tài)分析進行了較為詳細的討論。分別利用對不同的經濟理論模型的分析過程，展示了相關微分理論在非目標均衡和目標均衡比較靜態(tài)分析中的具體運用。為將基本思想和基本方法移植到對其他模型分析的應用提供了方便。

關鍵詞：微分相關理論；全微分；隱函數；比較靜態(tài)分析；非目標靜態(tài)均衡；目標靜態(tài)均衡

中圖分類號：F22文獻標志碼：A文章編號：1673-291X（2012）18-0004-07

微分理論在經濟分析中的應用極為廣泛。在經濟分析的眾多領域它都作為方便而重要的工具幫助我們解決實際問題，詮釋和檢驗經濟模型。其在經濟學比較靜態(tài)分析中的運用即是明例。比較靜態(tài)分析是經濟分析的一個重要區(qū)域。它涉及兩種與不同參數值和內生變量相聯系的不同均衡狀態(tài)的比較，主要解決均衡移動問題。彌補由于調整較長時間才能完成，若期間某些外生變量發(fā)生變化，在特定靜態(tài)分析框架中決定的靜態(tài)均衡在它最終達到之前就失去其實際意義的不足。本文將對微分相關理論在比較靜態(tài)分析中的應用進行粗淺的探討。

一、微分學的相關理論成果

（一）一元函數微分

設函數y=f（x），在數集X?哿R上有連續(xù)的n階導數，記為f?奐Cn。則

1. y=f（x）的微分記為dy，且dy=df=f′（x）dx dx≠0 （1）

其中，f′（x）=■■，Δy=f（x+Δx）-f（x）。

2. f′（x）的幾何意義是曲線y=f（x）在點（x，y）處切線的斜率。

3. y=f（x）可微?圳f′（x）存在?圳Δy=f′（x）Δx+o（Δx），其中■■■=0。

當Δx很小時，Δy≈dy=f′（x）dx，dx≡ Δx（2）

4. 無論x是自變量或x=g（z）為z的可微函數，dy=f′（x）dx恒成立，此性質稱為微分形式的不變性。

5. 若在區(qū)域（x1，x2）內f′（x）>0，則y=f（x）為嚴格增函數，曲線上任意點的切線向右上方傾斜，可簡記為■；若在區(qū)域（x1，x2）內f′（x）<0，則y=f（x）為嚴格減函數，曲線上任意點的切線向右下方傾斜，可簡記為■。

6. y=f（x）的n階導數（n∈N+），記為f（n ）（x）≡■。

其中f（n ）（x）≡■f（n-1 ）（x）（3）

（二）多元函數的微分

設y=（x1，x2，…，xn），（n∈N+）有連續(xù)二階偏導數。則：

1. dy=■■dxi （4）

稱（4）式為y=f（x1，x2，…，xn）的全微分，其中■為將xj（j≠i）視為常數時y對xi導數，稱為y對xi的一階偏導數。以下符號可通用■≡fi≡fxi≡■f。又稱■（■）=■為y的二階偏導數，記為fxixj≡fij。當i=j時，稱為二階純偏導數，記為■，當i≠j時，稱為二階混合偏導數。

2.當xi=gi（x）且gi（x）可微時，有:

dy=■■dxi=■■■dx?圳■=■■■ （5）

稱■為y=f（x1，x2，…，xn）對x的全導數。

（三）隱函數的微分

1.n元函數集的雅可比行列式

設有具有n個變量的n個可微函數集：

yi=f i（x1，x2，…，xn）（i=1，2，…，n）（6）

其中f i表示第i個函數。則：

dyi=■dx1+■dx2+…+■dxn=■■dxj（7）

記■=y1y2■yn，J=■n×n，■=x1x2■xn則d■=dy1dy2■dyn，d■=dx1dx2■dxn

（7）式可表示成矩陣等式d■=Jd■ （8）

n階方陣J=■n×n≡■n×n≡f ijn×n（9）

稱為函數集（6）的雅可比矩陣。同時稱J的行列式|J|為函數集（6）的雅可比行列式。

2.隱函數定理

形如y=f（x1，x2，…，xn）的函數稱為顯函數；形如F（y；x1，x2，…，xn）=0的函數方程所確定的函數稱為隱函數。

定理1 （隱函數存在定理）：

設函數方程組Fi （x1，x2，…，xn；α1，α2，…，αm）=0 （i=1，2，…，n） （10）

其中n，m∈N+。若方程組（10）滿足：

（1）對所有的變量xj和變量αk，函數Fi均具有連續(xù)偏導數。j=1，2，…，nk=1，2，…，m。

（2）在某點（x10，x20，…，xn0；α10，α20，…，αm0）滿足方程組（10），且在該點的雅可比行列式■n×n≠0，則存在一個以（α10，α20，…，αm0）為心的鄰域∑，在此鄰域內，變量x1，x2，…，xn是變量α1，α2，…，αm的函數。這些隱函數滿足：■ （11）

對鄰域∑中的每個m維數組α1，α2，…，αm，它們也滿足方程組（10）——因而在此鄰域中使得（10）成為一組恒等式。而且隱函數f 1，f 2，…，f n連續(xù)，且對所有的α1，α2，…，αm具有連續(xù)偏導數[1]。

3. 矩陣■n×m的求解公式

在隱函數存在的前提下，對方程組（10）進行全微分，得

■■dxj=-■■dαk■■dxj=-■■dαk …………………………■■dxj=-■■dαk（12）

顯然，（12）式等號左端可以寫成■n×nd■=Jd■ （13）

而（12）式等號右端可以寫成-■n×m d■=-Cd■（14）

其中C=■n×m d■=（dα1，dα2，…，dαm）T

再注意到

d■=dx1dx2■dxn=f 11 f 12 … f 1mf 21 f 22 … f2m……… …f n1 f n2 … f nmdα1dα2■dαm=Bd■ （15）

其中f jk=■，B=f ikn×m。 于是有JBd■=-Cd■（16）

由隱函數存在定理的假設，雅可比行列式|J|≠0。故知雅可比矩陣J為可逆矩陣。對式（16）左乘J-1得：

Bd■=-J-1Cd■

由d■≠0的任意性，可知B=-J-1C

即■n×m =f ikn×m=-J-1■n×m [2]（17）

是我們所要尋求的隱函數導數用矩陣表示的公式。

特別，當n=1時，J=■。若■≠0，則：

■=-■■■■■（18）

當n=1且m=1時，有■=-■ （19）

二、在非目標均衡比較靜態(tài)分析中的應用

非目標均衡是指模型中的某些相反力量——譬如市場模型中的供給與需求以及國民收入模型中的注入與漏出——恰好處于彼此相等、相互平衡的狀態(tài)，因而排除了進一步變化的趨勢。這種均衡的實現是這些力量非人為平衡的結果，不需要有關參與人有意識地努力以實現特定目標。下面我們通過對較典型非目標均衡模型的比較分析，展示微分相關理論的具體應用。

（一）市場模型的靜態(tài)比較分析

1.線性模型的分析

考察單一商品市場中的線性供需均衡模型。該模型由以下三個方程描述：

需求方程Qd=α-βP（α>0，β>0）

供給方程QS=-γ+δP （γ>0，δ>0） （1）

均衡方程Qd=QS（市場出清）

由均衡方程Qd=QS=Q，得到方程組

F1（Q，P；α，β，γ，δ）=Q-α+βP=0F2（Q，P；α，β，γ，δ）=Q+γ-δP=0（2）

其中Q，P為內生變量。這是一個以Q，P為未知量的線性方程組：

Q+βP=αQ-δP=-γ?圯1 β1 -δ QP=α-γ

|J|=F1Q F1PF2Q F2P=1 β1 -δ=-（β+δ）<0

|J|=1 β1 -δ J-1=■J*=■-δ -β-1 1

?圯P*Q*=■-δ -β-1 1α-γ=■βγ-αδ-（α+γ）

?圯Q*=■（αδ-βγ>0才有經濟意義）P*=■

（Q*，P*）為平衡點，這里Q*，P*為α，β，γ，δ的顯性函數，可以直接求得比較靜態(tài)的八個偏導數：

以上偏導數大于零，指明兩者正相關；偏導數小于零，則告訴我們兩者負相關。

現在運用隱函數定理解這個n=2，m=4的隱函數方程組的比較靜態(tài)導數矩陣。F1，F2有連續(xù)二階偏導數顯然。在均衡分析中一般總是假設初始均衡點存在（否則無比較意義）。因此，驗證隱函數存在條件的主要工作是驗證雅可比行列式|J|≠0。

前面已經計算過|J|=-（β+δ）<0，而且知道J-1=■-δ -β-1 1，現對方程組（2）在初始均衡點（Q*，P*）進行全微分，得到：

dF1=F1Q*dQ*+F1P*dP*=-（F1αdα+F1βdβ+F1γdγ+F1δdδ）dF2=F2Q*dQ*+F2P*dP*=-（F2αdα+F2βdβ+F2γdγ+F2δdδ）

?圯1 β1 -δdQ*dP*=--1 P* 0 0 00 1 P*dαdβdγdδ?圯JdQ*dP*=-Cdαdβdγdδ，

關于所求到的偏導數矩陣元素的符號可用如下方法表示：

現在得到的結果與前面用顯函數直接求得的完全一致。但需要指出：首先，此方法即使在Q*，P*無法解出的情況下，仍可由P*>0判定各偏導數的符號；其次，當外生變量較多時，運用隱函數定理可以方便地利用矩陣運算得出以比較靜態(tài)導數為元素的矩陣，從而使運算變得有效率且結果表達相對簡潔。

2.需求與收入相關的模型分析

繼續(xù)考察單一商品市場，更接近真實世界的情形是：需求量Qd不僅是價格P，而且是外生確定的收入（記為Y0）的函數，但供給量QS則僅是價格的函數；另外，行為方程Qd與QS也未必一定是線性函數。如果這些函數并未以具體形式給出，則模型可以用下列方程描述：

需求方程Qd=D（P，Y0）（ ■<0；■>0）

供給方程QS=S（P）（■>0）

平衡方程Qd=QS （3）

假設函數D和S均擁有連續(xù)偏導數；而且，為了保證其經濟意義，對導數符號施加明確的限制。如■>0——收入增加引起需求增加（研究的商品是正常商品）。為觀察分析外生變量Y0的變化對內生變量Q，P在初始均衡點（Q*，P*）的影響，需要求解偏導數■和■?，F在，利用隱函數方程組來解決所面臨的問題：

首先，令方程組（3）中的Qd=QS=Q*，并重新排列，可將模型表示成方程組：

F1（Q*，P*；Y0）=D（P*；Y0）-Q*=0F2（Q*，P*；Y0）=S（P*）-Q*=0 （4）

其雅可比行列式：

|J|=F1Q* F1P*F2Q* F2P*=-1 ■-1 ■=-■+■<0

存在隱函數Q*=Q*（Y0）P*=P*（Y0）（5）

這是方程組（10）當n=2，m=1的情況。經過簡單運算得到

雅可比矩陣J=-1 ■-1 ■ J的伴隨矩陣J*=■-■-1 -1

雅可比矩陣的逆矩陣J-1=■J*=■■-■1 -1

欲求偏導數矩陣B=■■≡■■ （因為m=1的緣故）

隱函數方程組對F1，F2外生變量組的偏導數矩陣：C=F1Y0F2Y0=■ 0

由計算公式（17）

矩陣B的元素符號簡單表示為：Q*=Q* ■ P*=P* ■。這里的結果告訴我們，收入的提高（下降）將會導致正常商品市場出清的商品數量和價格提高（下降）。

（二）國民收入模型（IS—LM）的靜態(tài)比較分析

隱函數定理的典型應用是在一般形式的IS—LM模型中。這一宏觀經濟模型中的均衡由同時導致商品市場和貨幣市場均衡的收入水平和利率來刻畫。下面先對其封閉的一般模型比較靜態(tài)分析進行討論。

1. 商品市場的IS曲線

（1） 商品市場模型的方程描述

均衡方程Y=C+I+G（6）

消費函數C=C（Y-T）；政府支出外生G=G0；

投資函數I=I（r） ■<0；

稅收函數T=T（Y），■∈（0，1），因為T′（Y）為邊際稅率；

可支配收入函數Yd=Y-T?圯C=C（Yd），■=C′（Yd）∈（0，1），

因為■=C′（Yd）（Yd）′=C′（Yd），C′（Yd）為消費者傾向。

將函數C，I，T分別代入均衡方程（6），得到

Y=C[Y-T（Y）]+I（r）+G0（IS曲線） （7）

方程（7）是關于兩個內生變量Y和r的方程。此方程給出了所有能導致商品市場均衡的Y與r的組合，從而隱含地定義了IS曲線。

（2）IS曲線的斜率（將Y視為橫軸，r視為縱軸）

IS曲線本質上是一個恒等式，將其重寫為：

Y-C（Yd）-I（r）-G0≡0（8）

將式（8）對Y和r求全微分，得

dY-C′（Yd）[1-T′（Y）dY-I′（r）dr=0]，其中dYd=d（Y-T）=[1-T′（Y）]dY。

重新排列含有dY和dr的各項，得到IS曲線斜率（■）的表達式

■=■（9）

由C′（Yd）∈（0，1），[1-T′（Y）]∈（0，1）?圯1-C′（Yd）[1-T′（Y）]∈（0，1），I′（r）<0?圯■<0，即IS曲線向右下方傾斜。

2. 貨幣市場的LM曲線

（1）貨幣市場模型的方程描述

貨幣需求函數Md=L（Y，r），LY=■>0，Lr=■<0

貨幣供給函數MS=MS0，貨幣供給由中央貨幣當局外生地決定。

均衡方程Md=MS（10）

將前兩個方程代入均衡方程（10），得到隱含定義的LM曲線的下面表達式，它在本質上也是一個恒等式

L（Y，r）≡MS0 （11）

（2）LM曲線的斜率

將方程（11）重寫為L（Y，r）-MS0≡0 （12）

將方程（12）對Y和r進行全微分，得

LYdY+Lrdr=0?圯■=-■ （13）

由LY>0且Lr<0，知道■>0，即LM曲線向右上方傾斜。

3. IS—LM模型的比較靜態(tài)分析

由方程（8）和（12）得到如下方程組

F1（Y，r；G0，MS0）=Y-C（Yd）-I（r）-G0=0F2（Y，r；G0，MS0）=L（Y，r）-MS0=0 （14）

為了保證隱函數的存在，檢驗在初始均衡點（Y*，r*）處的雅可比行列式

|J|=F1Y* F1r*F2Y* F2r*=1-C′（Yd）[1-T′（Y*）] -I′（r*） LY* Lr*

={1-C′（Yd）[1-T′（Y*）]}Lr*+LY*I′（r*）

由于1-C′（Yd）[1-T′（Y*）]∈（0，1），Lr*<0，LY*>0,I′（r*）<0，

可知|J|<0

故存在隱函數Y*=Y*（G0，MS0）r*=r*（G0，MS0） （15）

且Y*，r*具有連續(xù)的偏導數。

這是隱函數方程組（10）當n=m=2的情形。經過運算可以得到：

J-1=■Lr* I′（r*）-LY*1-C′（Yd）[1-T′（Y*）]，B=■■■■

C=F1G0 F1■F2G0 F2■-1 00-1

又由計算公式（17） ，B=-J-1C立即得到：

B=■■■■=■Lr* I′（r*）-LY*1-C′（Yd）[1-T′（Y*）]

符號指示為：■■

由符號指示可以看出，G0與Y正相關，MS0與Y也正相關，說明加大政府支出或采取寬松貨幣政策是刺激經濟增長的有效措施。而G0與r正相關，MS0與r負相關，可以解釋為增加政府開支會提高利率，進而壓制投資、抑制經濟增長，抵消直接刺激經濟的積極影響；寬松的貨幣政策則會降低利率，拉動投資，促進經濟增長。這正是我們要追尋的理論結果。

（三）開放型模型的比較靜態(tài)分析

對一個經濟模型所要求的特性之一是穩(wěn)健性，即這個模型能夠在不同背景下的應用程度?，F將（二）中的IS—LM模型擴展到開放的背景下，它包含外國部門的情況。

1. 外國部門的方程描述

出口X=X（E），X′（E）>0，E為匯率（用外幣的本國價格來測量）

進口M=M（Y，E），MY>0，ME<0

資本凈流動K=K（r，rw），Kr>0，Krw<0。r為本國利率，rw為世界利率。

國際收支平衡[X（E）-M（Y，E）]+K（r，rw）=0（16）

2. 開放經濟均衡模型方程組

在開放經濟模型中，均衡有三個條件：總收入等于總支出；貨幣需求等于貨幣供給；國際收支余額等于零。在IS—LM模型中加上外國部分得到下面由三個方程構成的方程組：

F1（Y，r，E；G0，MS0，rw）=Y-C（Yd）-I（r）-G0-X（E）+M（Y，E）=0F2（Y，r，E；G0，MS0，rw）=L（Y，r）-MS0=0F3（Y，r，E；G0，MS0，rw）=X（E）-M（Y，E）+K（r，rw）=0（17）

由此均衡方程組得到在初始均衡點（Y*，r*，E*）處的雅可比行列式（為了簡潔，下面省略“*”號，但應記住以下計算均在該點計值，以免導致混淆）：

|J|=F1Y F1r F1EF2Y F2r F2EF3Y F3r F3E=1-C′（Yd）[1-T′（Y）]+MY -I′（r）ME-X′（E） LYLr 0-MY KrX′（E）-ME

按第三列拉普拉斯展開，則：

|J|=[ME-X′（E）]LY Lr-MYKr+[X′（E）-ME]1-C′（Yd）[1-T′（Y）]+MY -I′Lr（r）LY

=[ME-X′（E）]（LYKr+LrMY-LYI′（r）-Lr{1-C′（Yd）[1-T′（Y）]}-LrMY）

=[ME-X′（E）]{（LYKr-LYI′（r）-Lr[1-C′（1-T′）]}<0

存在隱函數Y*=Y*（G0，MS0，rw），r*=r*（G0，MS0，rw），E*=E*（G0，MS0，rw）

且Y*，r*，E*具有連續(xù)的偏導數。

此例為隱函數方程組（10）n=3，m=3的情況。經過整理計算得到：

雅可比矩陣J=1-C′（Yd）[1-T′（Y）]+MY -I′（r） ME-X′（E） LY Lr0 -MYKrX′（E）-ME

雅可比伴隨矩陣J*（為簡潔計，將{1-C′（Yd）[1-T′（Y）]}>0記為α；X′（E）-MY>0記為β;{I′（r）-Kr}<0記為γ）為：

J*=Lrβγβ Lrβ-LYβ αβ-LYβLYKr+LrMY-Krα+MYγ Lrα+LrMY+LYI′（r）

雅可比矩陣的逆矩陣為：J-1=■J*

要求取的偏導數矩陣為：B=Y*G0Y*■Y*rwr*G0 r*■ r*rwE*G0E*■E*rw

外生變量偏導數矩陣為：C=F1G0F1■F1rwF2G0F2■F2rwF3G0F3■F3rw=-1 000 - 1 000 ■

B=-J-1C=■Lrββγ -■Lrβ-LYβαβ■LYβKrLY+LrMY-Krα+MYγ-■[Lrα+LrMY+LYI′（r）]

經過分析易知B的各元素符號用矩陣示意如下：++++-+?++，其中問號表示符號不確定。

現僅對第三列的符號作如下解釋：直觀上，世界利率的上升能夠增加資本的外流，使本國貨幣貶值。這反過來導致凈出口和收入增加。國內收入的增加會增加貨幣的需求，對于國內利率產生上升壓力。

三、在目標均衡模型比較靜態(tài)分析中的應用

所謂目標均衡是指給定經濟單位，而且這些單位主動謀求均衡的實現。擇優(yōu)過程就是尋求目標均衡的過程。最優(yōu)化作為一種特殊類型的比較靜態(tài)分析，自然也可以用于研究比較靜態(tài)方面的問題。其基本思想仍然是求出任意參數（模型中的外生變量）的變化將如何影響模型的均衡狀態(tài)。只不過在這里模型的均衡狀態(tài)是指選擇變量的最優(yōu)值（以及目標函數的最優(yōu)值）。下面以一個在完全競爭環(huán)境中的單產品廠商行為模型為例，說明微分理論如何幫助我們在目標均衡時進行比較靜態(tài)分析。

1.一般模型的分析

假設一個廠商運用投入x1和x2生產單一產品Q，投入的價格p1，p2及其產出品的價格p不能為該廠商所控制?？梢詷嫿ㄈ缦履Ｐ停?/p>

生產函數Q=Q（x1，x2） Q（x1，x2）?奐C2，Q1>0，Q2>0

?圯總收益函數R=pQ（x1，x2）

總成本函數C=p1x1+p2x2

?圯利潤函數π=R-C=pQ（x1，x2）-p1x1-p2x2（1）

其中，x1，x2為選擇變量；p，p1，p2為外生變量。

均衡條件π1≡■=0，π2≡■=0（擇優(yōu)一階必要條件）

即π1=pQ1-p1=0π2=pQ2-p2=0（2）

假定最大化的二階充分條件滿足（否則無從比較）。即海賽矩陣：

H=π11π12π21π22=π11π12π12π22=pQ11Q12Q12Q22

為負定矩陣。滿足：一階順序主子式|H1|=π11<0；二階順序主子式|H2|=|H|=π11π12π12π22=pQ11pQ12pQ12pQ22=p2（Q11Q22-Q212）>0

?圳Q11Q22-Q212>0

因為Q（x1，x2）?奐C2，所以π（x1，x2）?奐C2?圯Q21=Q12?圳π21=π12;另外，上面最后結果中暗含Q22<0。

令F1（x1，x2，p，p1，p2）=pQ1-p1=0F2（x1，x2，p，p1，p2）=pQ2-p2=0（3）

其雅可比行列式為

|J|=F1x1 F1x2F2x1 F2x2=p2Q11 Q12Q12 Q11=|H|>0 （4）

故存在隱函數x*1=x*1（x1，x2，p，p1，p2）x*2=x*2（x1，x2，p，p1，p2），且函數x*1，x*2具有連續(xù)偏導數。

方程組（3）是方程組（10）當n=2，m=3的情況。在均衡點（x*1，x*2）有：

J=pQ11Q12Q12Q22?圯j-1=■J*=■Q22-Q12-Q12Q11

B=■■■■■■，C=F1pF1p1F1p2F2pF2p1F2p2=Q1-1 0Q20-1

由B=-J-1C

?圯■■■■■■=-■Q22-Q12-Q12Q11Q1-1 0Q20-1

=-■Q2Q12-Q1Q22Q22 -Q12 Q1Q12-Q2Q11-Q12Q11

顯然，B的元素的符號可以根據Q12的符號確定，即：

Q12>0，B的元素符號矩陣示意為：+--+-- （5）

Q12<0，B的元素符號矩陣示意為：?-+?+-

2. 一個具體函數的分析

為使上述模型的分析結論更直觀，下面對一個生產函數Q（x1，x2）為具體形式的例子

進行分析。假定廠商具有如下的生產函數：

Q（x1，x2）=xα1xβ2（α>0，β>0；α+β<1）（6）

則利潤函數（1）的具體形式為：

π=pxα1xβ2-p1x1-p2x2 （7）

為求取π的最大值點，需要依次計算

（1） 一階必要條件（也是比較靜態(tài)分析的均衡條件）

計算利潤函數π的一階偏導數，并令其為零（隱含經濟學原理“邊際收益等于邊際成本”）。

得π1≡■=pαxα-11xβ2-p1=0π2≡■=pβxα1xβ-12-p2=0（8）

（2） 二階充分條件

計算利潤函數的二階偏導數，構建海賽矩陣H。并計算各階順序主子式，檢驗海賽矩陣是否負定。

π11≡■=pα（α-1）xα-21xβ2<0π12≡■=pαβxα-11xβ-12>0

π21≡■=pαβxα-11xβ-12>0π22≡■=pβ（β-1）xα1xβ-22<0

顯然π12＝π21

得到海賽矩陣H=π11π12π21π22=p（α-1）xα-21xβ2 αβxα-11xβ-12αβxα-11xβ-12 β（β-1）xα1xβ-22

（9）

一階順序主子式|H1|=π11<0

二階順序主子式|H2|=|H|=p（α-1）xα-21xβ2 αβxα-11xβ-12αβxα-11xβ-12 β（β-1）xα1xβ-22=

p2αβ（α-1）xα-21xβ2 βxα-11xβ-12αxα-11xβ-12（β-1）xα1xβ-22=p2αβ[（α-1）（β-1）x2α-21x2β-22-αβx2α-21x2β-22]=p2αβx2α-21x2β-22[1-（α+β）]>0 （因為α+β<1）

因此，H為負定矩陣，由均衡方程組（8）所確定的（x*1，x*2）的確為利潤函數π的最大值點。

令方程組F1（x1，x2，p，p1，p2）=[≡π1]=pαxα-11xβ2-p1=0F2（x1，x2，p，p1，p2）=[≡π2]=pβxα1 xβ-12-p2=0（10）

考察其雅可比行列式：

|J|=F1x1 F1x2F2x1 F2x2=π11π12π21π22=|H|>0

存在連續(xù)可微隱函數x*1=x*1（p，p1，p2）x*2=x*2（p，p1，p2）

這是方程組（10）中n=2，m=3的情形。由于已知Q12=Q21>0，可以直接使用（5）的結論。得到所求矩陣B的元素符號表示矩陣+--+--。

四、結束語

綜上所述，可以看到微分理論在非目標均衡和目標均衡模型比較靜態(tài)分析中其中不可替代的重要作用。當然，微分理論在比較靜態(tài)分析中的應用遠不限于本文中所涉及的模型。但是，在這些模型分析中所運用的基本思路和基本方法卻有一定的通用性，移植應用到其他模型上并不困難。對將微分理論運用到更多的經濟均衡模型的比較靜態(tài)分析中有積極意義。相信微分學的理論之花會在經濟比較靜態(tài)分析應用的沃土上結出更多的碩果。

參考文獻：

[1][前蘇聯]格·馬·菲赫金格爾茨.數學分析原理:第2卷(第一分冊)[M].丁壽田，譯.北京:人民教育出版社，1962:191.

[2][美]安吉爾·德·拉·弗恩特.經濟數學方法與模型[M].朱保華，錢曉明，譯.上海:上海財經大學出版社，2003:182.

[責任編輯 劉嬌嬌]