用配方法解題提升初中數(shù)學(xué)思維

黃曉明

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是指具體的數(shù)學(xué)知識(shí)、解題技能和技巧的學(xué)習(xí)，更是一種思維模式、思想方法的學(xué)習(xí).初中數(shù)學(xué)中比較重要的思想方法有：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、類比思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.常用的數(shù)學(xué)方法有：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消元法等.

在數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)思想方法滲透其間，并沒有系統(tǒng)的歸納和總結(jié)，也沒有充分的講解和討論.在教學(xué)中也往往忽略對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)時(shí)機(jī)的把握，致使學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)僅限于理解概念，記住公式、定理，模仿性解題這些淺層次水平上.而對(duì)怎樣挖掘基礎(chǔ)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想方法，如何自覺地滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，如何堅(jiān)持不懈地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用意識(shí)是一項(xiàng)長期的、艱巨的系統(tǒng)工程.

把一個(gè)式子化成完全平方式（立方）或者含完全平方（立方）的式子叫作配方.通過配方解題的方法就叫配方法，配方法是式子恒等變形的重要手段之一，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，是解決數(shù)學(xué)問題的一種很基本、很重要的數(shù)學(xué)方法.

配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡.何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“拆項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方.有時(shí)也將其稱為“湊配法”.

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab.

最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方.它主要適用于因式分解、二次根式化簡、二次方程或二次函數(shù)的討論與求解等問題.

一、利用配方法可以分組分解多項(xiàng)式

例1 因式分解：a2b2-a2+4ab-b2+1.

分析 在代數(shù)式中，利用拆項(xiàng)的方法，給原多項(xiàng)式配上適當(dāng)?shù)牟糠?，使拆?xiàng)后的多項(xiàng)式的一部分成為一個(gè)完全平方式.

解 a2b2-a2+4ab-b2+1

=a2b2+2ab+1+（-a2+2ab-b2）（拆項(xiàng)，分組）

=（ab+1）2-（a-b）2（配方）

=（ab+1+a-b）（ab+1-a+b）（平方差公式分解）

評(píng)析 本題的關(guān)鍵是用拆項(xiàng)，分組，樹立配方的思想.必須熟練掌握公式a2±2ab+b2，判斷什么是：“a”或“b”，或“ab”，怎樣從a2，2ab這兩項(xiàng)去找出b，或從a2，b2這兩項(xiàng)去找出2ab，或從2ab去找出a2和b2.熟練掌握這些基本方法，從而做到心中有數(shù)，配方有路可循.

二、在二次根式的化簡計(jì)算中巧妙運(yùn)用配方的思想，通過配方進(jìn)行化簡計(jì)算，可收到意想不到的效果

例2 化簡根式10-221+4+23.

分析 二次根式化簡常用公式：a2=|a|，這就需要把被開方數(shù)寫成完全平方式.

解 用配方法得

原式=7-27·3+3+3+23·1+1

=（7-3）2+（3+1）2

=7-3+3+1=1+7.

三、經(jīng)過配方后的式顯現(xiàn)出“非負(fù)數(shù)之和=0”的形式，這時(shí)應(yīng)立即判斷每個(gè)非負(fù)數(shù)=0

例3 求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x，y.

分析 本題這類方程的解是運(yùn)用幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于零，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都是零，有時(shí)就需要配方.

解 由原方程得x2+y2+2x-4y+1+4=0，

配方可化為（x+1）2+（y-2）2=0.

要使等式成立，必須且只需x+1=0，

y-2=0.

解得x=-1，

y=2.

四、配方法在處理二次方程問題和拋物線問題方面發(fā)揮重要作用

例4 解方程x2+6x-16=0.

分析 顯然，這個(gè)方程不能直接用開平方法解，那能否把這個(gè)方程化成可用開平方法來解的形式，即（x+a）2=b的形式？

我們可以這樣變形：

把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，得x2+6x=16.

對(duì)等號(hào)左邊進(jìn)行配方，即兩邊都加上9即6[]22得

x2+6x+9=16+9，（x+3）2=25.

評(píng)析 方程的一邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，另一邊為常數(shù)項(xiàng)，得配方，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即兩邊都加上9即6[]22得x2+6x+9=16+9，這樣就把原方程化為與上面方程一樣的形式了.像這種類型題先對(duì)原一元二次方程配方，使它出現(xiàn)完全平方式后（即化為（x+a）2=b，b≥0的形式），再用開平方來解.

解決數(shù)學(xué)問題的根本方法就是“化難為易，化繁為簡”，把未知的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的數(shù)學(xué)形式，然后用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)把問題解決.

當(dāng)然，加強(qiáng)初中數(shù)學(xué)思想方法的滲透，并不是靠對(duì)幾個(gè)范例的分析就能解決的，而要靠在整個(gè)教學(xué)過程中站在方法論的高度講出學(xué)生在課本里的字里行間看不出的奇珍異寶.

數(shù)學(xué)思想方法之一配方法是處理并解決問題的一種手段，是溝通基礎(chǔ)知識(shí)與培養(yǎng)能力的橋梁.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中逐步向?qū)W生滲透一些數(shù)學(xué)思想，可以促使學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，達(dá)到提高學(xué)生洞察事物、尋求聯(lián)系、解決問題的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力的目的.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)中能有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法，有利于學(xué)生的思維形式由直觀的形象思維向抽象的邏輯思維轉(zhuǎn)化，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)、創(chuàng)新意識(shí)，從而逐步形成良好的數(shù)學(xué)觀念.