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    系統(tǒng)思考在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

    2012-04-29 01:20:36張曉鳳
    關(guān)鍵詞:系統(tǒng)動力學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)差分

    張曉鳳

    【摘要】差分和差分方程是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課內(nèi)容,在實際問題中許多變量的變化都是通過差分來分析的,差分方程x璶+1=Ax璶描述了動態(tài)系統(tǒng)的長期行為和演化,但由于中學(xué)生知識的局限性,并不能對這個長期行為進行合理的分析.本文通過系統(tǒng)動力學(xué)及其研究工具讓學(xué)生體會動態(tài)系統(tǒng)的長期行為,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

    【關(guān)鍵詞】差分;系統(tǒng)動力學(xué);中學(xué)數(shù)學(xué)

    本文以數(shù)學(xué)課堂知識為背景,運用系統(tǒng)的觀點以及系統(tǒng)動力學(xué)的工具展開對相關(guān)問題的研究與討論,通過實驗、觀察、分析與想象,經(jīng)計算機進行模擬和驗證,激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中產(chǎn)生探究的欲望,通過系統(tǒng)思考和Stella的模擬,讓學(xué)生體會變量之間的關(guān)系,觀測動態(tài)系統(tǒng)的長期行為,在我們的實際教學(xué)活動中取得了較好的效果,在此給出兩個具體案例.

    案例一 教師職業(yè)轉(zhuǎn)換預(yù)測問題

    在某城市有15萬人具有本科以上學(xué)歷,其中有1.5萬人是教師,據(jù)調(diào)查平均每年有10%的人從教師職業(yè)轉(zhuǎn)化為其他職業(yè),又有1%的人從其他職業(yè)轉(zhuǎn)化為教師職業(yè),試預(yù)測5年后這15萬人中還有多少人在從事教師職業(yè).

    這是一個簡單的差分方程問題,傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解法可以用x璶表示第n年后從事教師職業(yè)的人數(shù),y璶表示第n年后從事其他職業(yè)的人數(shù),則有

    x璶+1=0.9x璶+0.01y璶,

    y璶+1=0.1x璶+0.99y璶.ふ饈嗆有兩個未知數(shù)列{x璶},{y璶}的一階線性差分方程組.如果已知初始值x0=1.5,y0=13.5,用迭代法求差分方程的解,把x0=1.5,y0=13.5代入方程組可得x1=1.48,y1=13.52.

    通過計算學(xué)生們發(fā)現(xiàn)教師的人數(shù)一直在減少,其他職業(yè)的人數(shù)一直在增加,但教師人數(shù)是不是會一直減少下去而其他職業(yè)的人數(shù)一直增加呢?這種趨勢會不會因為教師和其他職業(yè)之間轉(zhuǎn)化率的改變而改變呢?我們通過Stella對教師人數(shù)和其他職業(yè)人數(shù)的長期行為進行了模擬.按照題目設(shè)定參數(shù),運行后的結(jié)果顯示11年后,教師人數(shù)和其他職業(yè)人數(shù)不再發(fā)生變化.學(xué)生們驚奇地發(fā)現(xiàn),不論教師和其他職業(yè)人數(shù)的轉(zhuǎn)化率為多少,教師人數(shù)和其他職業(yè)人數(shù)的長期行為都將不會發(fā)生改變,系統(tǒng)最終存在穩(wěn)定狀態(tài).

    案例二 捕食者與被捕食者系統(tǒng)

    在某個生態(tài)環(huán)境中,貓頭鷹以鼠為食.因此,鼠數(shù)量增加,貓頭鷹數(shù)量也會增加,貓頭鷹數(shù)量的增加,又會使鼠的數(shù)量減少.而鼠數(shù)量減少,由于食物缺乏貓頭鷹的數(shù)量還會相應(yīng)地減少.顯然,它們的數(shù)量關(guān)系是相互制約的.為了更好地研究此生態(tài)系統(tǒng)中鼠和貓頭鷹的相互制約關(guān)系,下面考慮一個簡化“鼠—貓頭鷹生態(tài)模型”.

    假設(shè)如果沒有鼠作食物,每個月只有40%的貓頭鷹可以存活;如果沒有貓頭鷹捕食,鼠的數(shù)量每個月會增長20%.如果鼠充足,貓頭鷹的數(shù)量會增加30%,另外平均每個月一只貓頭鷹可以吃掉鼠1000p只,我們把p稱為捕食參數(shù),當(dāng)捕食參數(shù)發(fā)生變化時,系統(tǒng)也會隨之發(fā)生變化.如果用x璶表示第n年后貓頭鷹的數(shù)量,y璶表示第n年后鼠的數(shù)量,則有差分方程

    x璶+1=0.4x璶+0.3y璶,

    y璶+1=-px璶+1.2y璶.

    如果已知初始值x0和y0,用迭代法求可以求出差分方程的解.但對于p的不同取值,生態(tài)系統(tǒng)會發(fā)生什么樣的變化呢?

    首先建立系統(tǒng)模型,嘗試p分別取值0.1,0.2,0.3時,STELLA運行結(jié)果顯示,貓頭鷹和鼠的數(shù)量呈現(xiàn)出指數(shù)增長;而嘗試p值為0.4時,運行結(jié)果顯示貓頭鷹和鼠的數(shù)量在逐年增加后趨于穩(wěn)定狀態(tài);最后嘗試p的取值大于0.4,貓頭鷹和鼠的數(shù)量先逐年增加,然后不斷地減少直至滅絕.

    從以上的運行結(jié)果學(xué)生們清晰地看到,經(jīng)過充分長的時間之后,當(dāng)捕食參數(shù)小于0.4時,兩個種群都會增長,生態(tài)系統(tǒng)不斷膨脹;當(dāng)捕食參數(shù)等于0.4時,兩個種群數(shù)量都趨于一個穩(wěn)定值,生態(tài)系統(tǒng)趨于平衡;當(dāng)捕食參數(shù)大于0.4時,兩個種群終將滅絕,生態(tài)系統(tǒng)崩潰.

    我們用情境教學(xué)的方法力求每名學(xué)生都能在輕松氛圍中學(xué)到知識,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.以課本知識為基礎(chǔ),設(shè)立系統(tǒng)的情境教學(xué),讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)思考的微妙法則,建立系統(tǒng)思考的基本概念,讓學(xué)生在學(xué)中玩兒,在玩兒中學(xué),逐步讓教師的教授式學(xué)習(xí)退出課堂.實踐證明,通過系統(tǒng)的思考及Stella的模擬,加深了學(xué)生對問題的理解,并進一步明確了變量之間的關(guān)系,為提高學(xué)生運用系統(tǒng)思考的方法在現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力起到了推動作用.

    【參考文獻】

    [1]吳錫軍,袁永根.系統(tǒng)思考和決策試驗.南京:江蘇科學(xué)技術(shù)出版社,2001.

    [2]吳錫軍.系統(tǒng)思考與系統(tǒng)動力學(xué)教程.南京:江蘇科學(xué)技術(shù)出版社,2009.

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