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    激發(fā)三思,使課堂教學更具想象力

    2012-04-29 16:58:11施莉莉
    數(shù)學學習與研究 2012年23期

    施莉莉

    【摘要】一題多解是鍛煉學生思維,激發(fā)學生潛能的有效武器之一.當下的學生太過拘泥于所謂的標準答案,習慣于“拿來主義”,長此以往必將“暗流洶涌”,功虧一簣.本文通過三個方面并結合實例講述怎樣引導學生樂于一題多解.

    【關鍵詞】放開手;沉住氣;搭平臺

    哲學博士余瀟楓教授認為:“每一名學生的腦袋都是一個‘發(fā)電機,教育的本質(zhì)是引出和激發(fā)學生的潛能.無論做什么事,都應該三思,即前思、反思和當下思.”余教授的話一針見血地指出,激發(fā)三思,可使課堂教學更具想象力.當今社會,有些學生的思想猶如籠中鳥,無法自由翱翔,作為教師應改變傳統(tǒng)的教學模式,激發(fā)學生的思維,積極引導學生進行一題多解.

    一、放開手讓學生去體驗思考的樂趣

    蘇霍姆林斯基說:“在學生的腦力勞動中,擺在第一位的不是記住別人的思想而是讓學生本人進行思考.”而我們老師卻常常會越俎代庖,事無巨細,總想把所有的知識一字不落地裝進學生的腦袋,覺得這樣才算完成了教學目標.殊不知,這樣學生只能被動地學習,課堂上學生毫無激情,不敢多說一句,刻板沉悶,學生無半點思維的空間.

    “一千個讀者心中就有一千個哈姆雷特.”教師應該放開手,改變唯我獨尊、唯教參獨尊、唯標準答案獨尊的老思路,留給學生更多認真品味、用心揣摩、獨立思考的空間.

    如在介紹完兩角和與差的三角函數(shù)后,我給學生準備了這么一道題:已知在△ABC中,滿足tanA+tanB+3=3tanAtanB(*),且sinAcosA=3[]4,判斷△ABC的形狀.

    學生甲分析:利用變形公式tanA+tanB=tan(A+B)·(1-tanAtanB)易得(1-tanAtanB)[tan(A+B)+3]=0,則1-tanAtanB=0或tan(A+B)+3=0,而當1-tanAtanB=0時,代入(*)得tanA+tanB=0,又因在△ABC中,易得A+B=π,所以矛盾.那就只能tan(A+B)+3=0,利用誘導公式可知C=60°.再將sinAcosA=3[]4兩邊平方得sin2Acos2A=3[]16,后用sin2A+cos2A=1進行轉(zhuǎn)化易得cos2A=3[]4或1[]4,因為sinAcosA=3[]4>0,00得cosA>0,cosA=3[]2或1[]2得A=30°或60°,當A=30°時B=90°,矛盾,當A=60°時B=60°,此三角形是等邊三角形.這時有的學生嘖嘖稱贊,也有學生認為這種方法容易做錯,當中有好多“地雷”,如容易將1-tanAtanB=0約掉,想不到用sin2A+cos2A=1轉(zhuǎn)化等.我很欣喜我的學生能用辯證的觀點去看待問題,能對如此精致的答案說“不”,那代表他們會想著去探求更適合自己的方法.

    學生乙分析:利用兩角和的正弦,讓sinAcosA=3[]4的兩邊同時乘以2,得sinAcosA+sinAcosA=3[]4,sin(A+A)=3[]2=sin2A,易得A=30°或60°,后回代入(*)解出tanB,再求出B,也可得此三角形是等邊三角形.課堂里又開始議論紛紛.“這種方法更贊.”“回代入(*)避免了繁雜的運算.”“想不到兩邊乘以2,方法的技巧性好像太強了”……我非常驚喜于學生的表現(xiàn),我不急于向?qū)W生解釋為何兩邊乘以2,事實上學了倍角公式的正弦后就能迎刃而解.我驚喜,因他們能不入俗套,想到回代的方法,更驚喜,他們對倍角的正弦公式來歷有了不同的演繹.這些驚喜絕不可能來自于所謂的標準答案,而應該得益于學生積極且活躍的思維.我越來越期待他們更精彩的表現(xiàn).

    學生丙分析:利用熟悉的弦化切,將sinAcosA=3[]4變形為sinAcosA[]sin2A+cos2A=3[]4,等式左邊分子和分母同時除以cos2A,易得新方程tanA[]tan2A+1=3[]4,可直接解出tanA,回代入(*)求出tanB,經(jīng)檢驗后得等邊三角形.教室內(nèi)突然間出奇的安靜,他們還在嘗試.“解這個新方程有點難啊.”有人在竊竊私語,“但這種弦化切的方法容易想到!”

    學生丁分析:能否將sinAcosA=3[]4中的3[]4直接拆成1[]2×3[]2,變形得sinAcosA=sin60°cos60°,A=60°呢?教室內(nèi)沸騰了,“這樣解題有缺陷.”“拆法不唯一吧.”……此刻下課鈴聲已響起,但同學們?nèi)栽谕业赜懻摚ち业貭庌q.

    其實只要老師能進行有效的提問,營造寬松而和諧的課堂氛圍,最大限度地讓學生去探索,尊重學生的思路,反而有利于激發(fā)學生的積極思維使他們敢于主動體驗思考的樂趣.

    二、沉住氣讓學生感悟攻克的艱辛

    古人云:“天將降大任于是人也,必先苦其心志,勞其筋骨,餓其體膚,空乏其身,行拂亂其所為,所以動心忍性,增益其所不能.”上帝給你的禮物越大,用來包裹的問題就越大.想讓學生得到更大的成功,必先讓學生去感悟攻克的艱辛.

    攻克問題的過程是一個親身實踐的過程.它能激發(fā)學生的學習積極性,增強學生的自信心,提高團結協(xié)作能力,增加一題多解的可能性,有利于學生的自身發(fā)展.

    如蘇教版必修5數(shù)列章節(jié)中的例題:某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上,空盤時盤芯直徑40 mm,滿盤時直徑120 mm.已知衛(wèi)生紙的厚度為0.1 mm,問:滿盤時衛(wèi)生紙的總長度大約是多少米(精確到1 m)?

    課本給出的詳細答案是:衛(wèi)生紙的厚度為0.1 mm,可以把繞在盤上的衛(wèi)生紙近似地看作是一組同心圓,然后分別計算各圓的周長,再求總合.

    由內(nèi)向外各圈的半徑分別為20.05,20.15,…,59.95.

    因此,各圈的周長分別為40.1π,40.3π,…,119.9π.

    因為各圈半徑組成首項為20.05,公差為0.1的等差數(shù)列,設圈數(shù)為n,則59.95=20.05+(n-1)×0.1,所以n=400.

    顯然,各圈的周長組成一個首項為40.1π,公差為0.2π,項數(shù)為400的等差數(shù)列.根據(jù)等差數(shù)列的求和公式,得S=400×40.1π+400×(400-1)[]2×0.2π=32000π(mm).

    答:滿盤時衛(wèi)生紙的長度約為100 m.

    分析 該種解法容易將數(shù)列的首項和末項弄錯,導致全盤皆輸.

    而數(shù)列對學生而言本就是難點,于是我將全班分成六組,任務是利用課余尋求新方法解決該題,并每天檢查他們的進展.其間有的組從家里帶來了卷筒紙仔細觀察,有的組展開量了一下發(fā)現(xiàn)一般的卷筒紙長度大概都是100米左右,有的組跑來求給一點提示.“仔細觀察觀察,充分發(fā)揮你們的空間想象力吧!”我滿懷信心地說.時間一天天過去了,看著他們把卷筒紙展開又卷起,“呀,第二組的圓柱體越來越瘦了嘛.”我打趣道.“卷紙被人拿去上廁所了.”“不是卷紙,是長方體吧?”同學們七嘴八舌,笑聲一片.“前些天,有人向我要提示,現(xiàn)在好像沒必要了,你們都已看出圓柱體和長方體了,進展很快啊!”他們一開始還面面相覷,后來有人恍然大悟:“體積相等.”我知道他們已明白我話中的玄機了.第二天,他們給了我答案.

    學生分析 (如圖)利用卷筒紙展開前后的體積相等.展開前的體積=大圓柱的體積-小圓柱的體積,展開后成長方體.設卷筒紙的高為h(mm),滿盤時衛(wèi)生紙的總長度為x(mm),易知大圓柱的體積-小圓柱的體積=π×602×h-π×202×h,長方體體積=x×0.1×h,由題意得π×602×h-π×202×h=x×0.1×h,x≈100(m).

    雖為了得到答案花了那么長時間,但同學們學會了實驗、觀察、共同協(xié)作,他們得到的不僅僅是“答案”,更會明白只有永不止步進行艱辛的攀登才會看到最美好的風景.

    三、搭平臺提升學生創(chuàng)新的欲望

    荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾強調(diào):“注重培養(yǎng)和發(fā)展學生從客觀現(xiàn)象找出數(shù)學問題的能力,進行再創(chuàng)造.”創(chuàng)新思維有助于學生個性優(yōu)勢的充分發(fā)揮,掙脫固有思維的束縛.

    教師應積極地為學生搭建平臺,給學生預留好起點和跳板,注意新舊知識的銜接,層層誘導,提升學生創(chuàng)新的欲望.

    如2011年理科數(shù)學(新課標全國卷)第13題:若變量x,y滿足約束條件3≤2x+y≤9,

    6≤x-y≤9,則z=x+2y的最小值為多少?

    分析:這是一道典型的線性規(guī)劃題.作出可行域如圖陰影部分所示,由y=-2x+3,

    y=x-9,解得A(4,5).當直線過A點時取最小值,將A(4,5)代入,得zmin=4+2×(-5)=-6.

    我特意先讓學生在草稿紙上畫出可行域后,互相交流一下畫圖的感想.普遍反映是坐標軸上標的數(shù)字太大,畫出的平行四邊形又太小,畫圖花的時間太長.而后我引入變題:已知不等式組3≤a≤9,

    6≤b≤9,

    a+b的范圍是多少?“9≤a+b≤18.”同學們異口同聲道.他們都覺得過分簡單.我又追問:“若設2x+y=a,x-y=b后,這樣的a,b與z會有聯(lián)系嗎?”一番思考后,學生分析:設z=m(2x+y)+n(x-y),易知m=1,n=-1.即z=a-b,易得zmin=3+(-9)=-6.我開始拋“繡球”,“若今年輪到你去出高考試卷,編一道涉及此知識點的考題吧!”從他們躍躍欲試的興奮表情看得出,等待我的應該是“八仙過海,各顯神通”.

    適度的平臺提升了學生自行找到答案的能力,并讓學生的思維上升到一定的高度,必然能使學生看得更遠,想得更深.

    尋求一題多解的過程固然艱辛,但人生路上我們也可能會無數(shù)次被自己的決定或碰到的逆境擊倒、欺凌、碾壓.“寶劍鋒從磨礪出.”只要我們記住蜘蛛不會飛翔,但它照樣可以把網(wǎng)結在空中,奇跡永遠會為執(zhí)著者敞開一扇門.

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