技巧在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

李豐

人們運(yùn)用所掌握的知識去完成某種實際任務(wù)的能力，叫技能.經(jīng)過反復(fù)練習(xí)，技能達(dá)到熟練近乎自動化的程度就是技巧.為了加強(qiáng)基礎(chǔ)，培養(yǎng)能力，提高學(xué)習(xí)興趣，保證學(xué)生解題簡潔、明了、快速，拓寬學(xué)生的思維，教師在教育教學(xué)過程中重視數(shù)學(xué)解題技巧的積累與培養(yǎng)是必不可少的.現(xiàn)將本人在教育教學(xué)中常用的一些解題技巧介紹如下，與大家共勉.

1.巧構(gòu)模型

通過構(gòu)造模型來解決實際問題的方法稱為數(shù)學(xué)模型法，簡稱MM方法，是解數(shù)學(xué)題的一種經(jīng)典方法，它是從典型事跡中提煉出來，解決相關(guān)問題的一種帶有指導(dǎo)意義的方法.笛卡爾說：“我解決每一道難題，都使它變成一個規(guī)范.”應(yīng)用MM方法的基本步驟可用框圖表示如下：

具體實例：

例 在足球比賽中，甲方邊鋒從乙方所守球門附近帶球過人沿直線向前推進(jìn)，試問：邊鋒在何處射門命中率最大？

分析 人高、球門高、球員射門力度等因素可不予考慮，設(shè)球門兩立柱分別為A，B兩點，邊鋒為C，則實際是求：當(dāng)C在何處時，∠ACB最大？

解 把角旗處當(dāng)坐標(biāo)原點，邊線與底線分別作為橫軸、縱軸，設(shè)C到球門AB的距離CD=x，OA=a，OB=b，（a>b>0，a，b為定值），從而有點（0，a），（0，b），（x，0），于是問題就變成了x取何值時，∠ACB最大的問題了.

模型 設(shè)∠ACB=α，∠BCO=β，∠ACO=α+β，顯然：0<α<π[]2.

∵tanα=tan（α+β-β）=tan（α+β）-tanβ[]1+tan（α+β）tanβ=a[]x-b[]x[]1+ab[]x2=a-b[]x+ab[]x≤a-b[]2ab ，

當(dāng)且僅當(dāng)x=ab[]x即x=ab時，tanα最大，由于在0<α<π[]2上tanα為單調(diào)增函數(shù)

∴當(dāng)x=ab時，∠ACB=α取得最大值為arctana-b[]2ab，即說明邊鋒距球門線ab時，射門命中率最大.

2.巧用公式

公式是用數(shù)學(xué)語言對數(shù)學(xué)概念的一種詮釋，它既是解題的基礎(chǔ)，又是解題的一把鑰匙，抓住公式解題，是不可忽視的一種技巧.如復(fù)數(shù)的模長公式：||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，在求解一些難度較大的復(fù)數(shù)模長最值問題中，如果運(yùn)用恰當(dāng)，則功效獨特.

例 已知z∈C，且滿足2|z-3-3i|=|z|，求|z|的最值.

解 由公式||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|得：|z|=2|z-3-3i|≥2|z|-|3+3i=|2||z|-32|，

當(dāng)|z|≥32時，|z|≥2|z|-62，∴32≤|z|≤62.

當(dāng)|z|<32時，|z|≥62-2|z|，∴22≤|z|<32.

∴22≤|z|≤62，∴|z|最大=62，|z|最小=22.

3.巧作代換

代換是我們在解題中經(jīng)常應(yīng)用的一種方法，如三角代換、倒數(shù)代換、萬能代換等，但代換是否巧妙、得當(dāng)，卻是我們解題的關(guān)鍵.

例 已知|a|≤1，|b|≤1，求證：ab±（1-a2）（1-b2）≤1.

|ab±（1-a2）（1-b2）|如果設(shè)a=sinα，b=cosβ，則=sinσcosβ±（1-sin2α）（1-cos2β）=|sinαcosβ±cosαsinβ|=sin（α+β）≤1.

顯然得證.

4.巧用比例

在解題過程中，靈活應(yīng)用比例關(guān)系，往往可使解題既快速，又準(zhǔn)確，取得事半功倍的效果.

例 （1）解方程組x+y+z=27，

（2）某工廠食堂用圓臺形缸盛滿食油，已知此缸上、下底半徑分別為20 cm、10 cm，13天后，油高度降為原來的3[]4，若每天用油量相等，剩余的油還可以用多少天？

解 如右圖，將圓臺補(bǔ)成圓錐，記從下至上三部分體積分別為V1，V2，V3.

設(shè)V1=43a=64a，則V2=73a-43a=279a，V3=83a-73a=169a.

設(shè)剩余的油還可用x天，由題設(shè)得：

13∶x=169a∶279a，∴x=21.

5.巧用“0”和“1”

“0”和“1”在數(shù)學(xué)中具有特殊地位，在解題中如能細(xì)心觀察，靈活應(yīng)用，將會使許多問題迎刃而解.

例 已知x2+y2=1，

z2+w2=1，

xz+yw=0，求xy+zw的值.

解 將已知條件中的x2+y2=1與z2+w2=1代入所求解析式，則

xy+zw=（z2+w2）xy+（x2+y2）zw=xyz2+xyw2+zwx2+zwy2=xz（yz+wx）+yw（xw+zy）=（yz+wx）（xz+yw）=0.

6.巧變形，湊定值

式的等價變形也是我們解題過程中的一種常用方法，在解題中用好變形，往往會使我們難以解決的問題豁然開朗，同時也可不斷提高學(xué)生的建構(gòu)能力和解決問題的能力.

例 已知正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，求ab的最小值.

解 條件可化為：ab-a-b=3，即（a-1）（b-1）=4.

因a，b為正數(shù)，易知a>1，b>1.

∴ab=a+b+3=（a-1）+（b-1）+5≥2（a-1）（b-1）+5=9.

7.巧用數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要方法，它是代數(shù)與解析幾何的完美結(jié)合，它往往能使復(fù)雜的數(shù)學(xué)題通過圖像使題目的結(jié)果一目了然.

例 求y=（x-1）2+（y+2）2+x2+y2+2x+4y+5的最小值.

解 這是典型的點與點的距離，將式子變形成

y=（x-1）2+（y+2）2+（x+1）2+（y+2）2，題目就轉(zhuǎn)化成了求P（x，y）與A（1，-2），B（-1，-2）兩點的距離和的最小值.∴y最小=|AB|=2.

此外，巧用韋達(dá)定理、巧用參數(shù)、巧設(shè)、巧算、巧化等都是我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的一些方法，在此不一一舉例，希望我們在學(xué)習(xí)過程中能不斷總結(jié)，不斷積累，細(xì)心觀察，透徹分析問題，在解題中做到思維的定式與變異辯證統(tǒng)一，將我們的數(shù)學(xué)最后達(dá)到學(xué)以致用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]章士藻.中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué).

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[3]羅建中.用不等式求最值時怎樣構(gòu)造定值.高中數(shù)理化，2006（3）.