從“草船借箭”的典故中看構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

趙偉紅

【摘要】古代軍事家諸葛亮巧妙地利用了“草船借箭”來獲取了足夠的箭支來滿足己方的戰(zhàn)時需求.在這個典故中，實際上是利用了數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法在解決實際問題上的一個應(yīng)用.構(gòu)造法作為一種重要的數(shù)學(xué)方法，在數(shù)學(xué)解題中有著特殊的地位和作用.其策略具有非常規(guī)性，方法帶有試探性，思維富有創(chuàng)造性.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法；解數(shù)學(xué)題；構(gòu)造

讀過古典名著《三國演義》的人都知道“草船借箭”的故事.“草船借箭”解釋為運用智謀，憑借他人的人力或財力來達(dá)到自己的目的.軍事家諸葛亮巧妙地運用了“草船借箭”來獲取了足夠的箭支以滿足己方的戰(zhàn)時需求.這實際上也是數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法在解決實際問題上的一個典型事例應(yīng)用.諸葛亮能夠根據(jù)所需箭支的數(shù)量，充分分析當(dāng)時的天氣變化，制定所需船只的多少來達(dá)到既定的箭支“制造”數(shù)量，從而來滿足既定的作戰(zhàn)需求.所謂構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法，它在數(shù)學(xué)解題中被廣泛運用.其原理是通過對問題的觀察、分析，抓住特征，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，然后變換命題，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造新的模型來達(dá)到解題目的的方法.

構(gòu)造法的核心是構(gòu)造，突破是創(chuàng)新，思維是轉(zhuǎn)換.而且它具有下述特點：在構(gòu)造思維過程中，一般要伴有觀察、分析、聯(lián)想、猜測等活動而進(jìn)行；構(gòu)造性思維不僅僅體現(xiàn)在解決問題的全過程中，而且體現(xiàn)在解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和步驟中；在構(gòu)造的思路上，必須在有限的步驟內(nèi)能具體實現(xiàn).在應(yīng)用構(gòu)造性思維時，一是需要有扎實的基礎(chǔ)知識和創(chuàng)造性思維的品質(zhì)；二是要有明確目的，即需要構(gòu)造的是什么；三是弄清楚題設(shè)條件和結(jié)論特點，以便構(gòu)造具體方案.下面筆者通過對幾道典型試題分析來介紹如何應(yīng)用構(gòu)造法進(jìn)行適合題意的構(gòu)造.

例1 證明存在兩個無理數(shù)x，y，使得xy是有理數(shù).

這是一道莫斯科數(shù)學(xué)競賽的培訓(xùn)題.教師的思路應(yīng)該是：令x=2，y=2.若22是有理數(shù)，則問題已得解決；若22是無理數(shù)，則222=（2）2=2是有理數(shù).因此，一定存在這樣的兩個無理數(shù)x，y，使得xy是有理數(shù).從而問題得證.

上面的證明雖然流暢，但也存在一點瑕疵，并沒有具體指出哪兩個無理數(shù)具有這種性質(zhì).我們不妨構(gòu)造出下面兩個無理數(shù).x=3，y=log316是兩個無理數(shù)，而xy=3log316=4是有理數(shù).這就更具體直觀了.

例2 世界上任意6個人中至少存在3個人或是互不認(rèn)識或是互相認(rèn)識.

這就是著名的拉姆賽（Ramsey）問題.

分析 此題運用抽屜原理即鴿巢原理.要構(gòu)造“抽屜”，首先要確定應(yīng)對哪些元素進(jìn)行分類，然后再找出分類的規(guī)律.此題中的6個人是任意的，就像“鴿子”，他們的區(qū)別只在于認(rèn)識或不認(rèn)識這兩種關(guān)系，故可以構(gòu)造“鴿巢”（抽屜）.注意到對于6個人中的任何一個人A來說，除A以外的5個人可分為兩類，一類是與A認(rèn)識的人，另一類是與A不認(rèn)識的人.如用E來表示其余5個人中與A認(rèn)識的人的集合，用F表示其余5個人中與A不認(rèn)識的人的集合，得抽屜E，F(xiàn)，再利用抽屜原理來證明.

證明 設(shè)其余5個人中與A認(rèn)識的人組成的集合為E，與A不認(rèn)識的人組成的集合為F.根據(jù)抽屜原理，E，F(xiàn)中至少有一個集合有3個人，不妨設(shè)為E.若E中的3個人B，C，D彼此不認(rèn)識，則命題為真；否則有2個人互相認(rèn)識，不妨設(shè)為B，C，則連同A有3個人互相認(rèn)識，則命題也真.如果F中有3個人，設(shè)為L，M，N.若他們互相認(rèn)識，則命題為真；否則有2個人互不認(rèn)識，設(shè)為L，M，連同A有3個人互不認(rèn)識，則命題也真.

說明 拉姆賽問題是一個很重要的命題，一些存在性問題都可以利用它得以解決.在整個問題的處理上構(gòu)造抽屜顯得尤為重要，在此過程中構(gòu)造要以解題者所掌握的知識為背景，以所具備的能力為基礎(chǔ).通過仔細(xì)觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題中各個環(huán)節(jié)與其中的聯(lián)系，從而為尋求目標(biāo)創(chuàng)造條件.

總之，運用構(gòu)造法解題，可以使各種數(shù)學(xué)知識相互聯(lián)系相互滲透，有利于問題的解決.構(gòu)造法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維特點，它作為一種數(shù)學(xué)方法，不同于一般的邏輯方法，它屬于非常規(guī)思維，而且在學(xué)習(xí)研究的過程中注意對學(xué)生多元化及創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，使學(xué)生體會知識間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，能創(chuàng)造性地巧妙地解決問題，從而獲得學(xué)習(xí)的成功感和愉悅感.