橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論專題探究

陳慶武

［摘 要］橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論廣泛應(yīng)用于解題，建議教學(xué)中采用專題探究的方式引導(dǎo)學(xué)生探索證明。文章對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論進(jìn)行專題探究，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

［關(guān)鍵詞］橢圓；焦點(diǎn)三角形；周長(zhǎng)結(jié)論；專題探究

［中圖分類號(hào)］??? G633.6??????? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ??A??????? ［文章編號(hào)］??? 1674-6058（2024）14-0005-03

橢圓焦點(diǎn)三角形的特征十分鮮明，即過(guò)橢圓一條焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)與另一個(gè)焦點(diǎn)。對(duì)于橢圓焦點(diǎn)三角形生成的一些特殊結(jié)論，學(xué)生在探究學(xué)習(xí)中若能準(zhǔn)確歸納、深刻理解，則解題將事半功倍。教學(xué)中教師可以采用專題探究的方式，引導(dǎo)學(xué)生解析模型，針對(duì)性地進(jìn)行探索證明，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練。下面筆者針對(duì)橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論進(jìn)行專題探究。

一、專題探究

對(duì)于橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論，可以按照“結(jié)論探索→應(yīng)用探究→深度拓展”的思路來(lái)進(jìn)行探究。證明過(guò)程可結(jié)合具體模型，引導(dǎo)學(xué)生明晰證明邏輯；應(yīng)用強(qiáng)化階段可遵循由易到難的原則設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題方法。

教學(xué)環(huán)節(jié)一：模型透視，結(jié)論探索

橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)實(shí)則為定值，模型中最為鮮明的特點(diǎn)是生成了焦點(diǎn)三角形，其過(guò)橢圓一條焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)與另一焦點(diǎn)。下面進(jìn)行具體探究。

［題1］如圖1，橢圓[C：x24+y23=1]的左焦點(diǎn)為[F1]，過(guò)[F1]的直線交橢圓于[A]、[B]兩點(diǎn)，求△[ABF2]的周長(zhǎng)。

模型解讀：焦點(diǎn)弦——直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)[F1]，與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)A和B，形成的線段[AB]。

焦點(diǎn)三角形——焦點(diǎn)弦AB與另一焦點(diǎn)[F2]構(gòu)成的△[ABF2]。

結(jié)論探究：根據(jù)橢圓的第一定義可知[AF1+AF2=2a]，[BF1+BF2=2a]，將兩式相加得[AB+AF2+BF2=4a]，可得△[ABF2]的周長(zhǎng)為[4a]。

深度解析：對(duì)于橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論——周長(zhǎng)為定值[4a]，教師需要讓學(xué)生注意兩點(diǎn)：一是圖1中的直線AB經(jīng)過(guò)的是橢圓左焦點(diǎn)，若直線AB經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，結(jié)論不變，證明過(guò)程一致；二是關(guān)于該結(jié)論，可以解讀為橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為定值，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的2倍，并且與過(guò)焦點(diǎn)的直線的傾斜角無(wú)關(guān)。

教學(xué)環(huán)節(jié)二：初步應(yīng)用，過(guò)程指導(dǎo)

［題2］設(shè)[F1]、[F2]是橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，延長(zhǎng)[PF2]交橢圓C于點(diǎn)Q，且[PF1=PQ]，若[△OPF1]的面積為[36b2]，則[PQF1F2=]???????????? 。

教學(xué)預(yù)設(shè)：本題看似是橢圓綜合題，實(shí)則為橢圓焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，問(wèn)題條件較為隱晦。教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生分步剖析突破，推導(dǎo)解析過(guò)程，可按照“條件解讀→圖象繪制→初步推理→解析求解”的邏輯來(lái)求解。

第一步，條件解讀。

條件1：點(diǎn)P在橢圓C上，延長(zhǎng)[PF2]交橢圓C于點(diǎn)Q。解讀1：弦PQ經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，為焦點(diǎn)弦，且[△PF1Q]為焦點(diǎn)三角形。

條件2：[PF1=PQ]。解讀2：[△PF1Q]為等腰三角形。

第二步，圖象繪制。

根據(jù)上述條件及其解讀，引導(dǎo)學(xué)生繪制如圖2所示的圖象。

第三步，初步推理。

由題意可知，[△OPF1]的面積為[36b2]，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，[OF1=OF2]，則可以推知[S△PF1F2=2S△OPF1=236b2]。

在[△PF1F2]中，設(shè)[∠F1PF2=θ]，[θ∈（0，π）]，由余弦定理可得[F1F22=PF12+PF22-2PF1PF2cosθ]，則[4c2=4a2+（-2-2cosθ）PF1PF2]，整理可得[（2+2cosθ）PF1PF2=4a2-4c2=4b2]，所以[△F1PF2]的面積為[S=12PF1PF2sinθ=sinθ1+cosθb2=33b2]，即[3sinθ-cosθ=1]，[sinθ-π6=12]。

因?yàn)閇θ-π6∈-π6，5π6]，所以[θ=π3]，結(jié)合[PF1=PQ]可知[△PF1F2]是等邊三角形，即[PF1=QF1=PQ]。

第四步，解析求解。

[△PF1Q]為橢圓的焦點(diǎn)三角形，根據(jù)橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論，可得[PF1+QF1+PQ=4a]，則有[PF1=43a]，則[PF2=23a]，所以[QF2=2a3]，可推知[PQ⊥F1F2]，故[PQF1F2=2PF2F1F2=2tan∠PF1F2=233]。

解后思考 本題的綜合性極強(qiáng)，核心點(diǎn)有兩個(gè)：一是探索[△PF1F2]的特性，需要靈活運(yùn)用余弦定理來(lái)分析推理；二是合理利用橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論。教師在指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論時(shí)，需要明確兩點(diǎn)：一是注意圖形特征的挖掘；二是應(yīng)用時(shí)要靈活變通，結(jié)合其他條件進(jìn)行分析推理。

教學(xué)環(huán)節(jié)三：靈活變通，應(yīng)用再探

［題3］已知[F1]、[F2]分別是橢圓[E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右焦點(diǎn)，過(guò)[F1]的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，C、D分別為線段[AF2]、[BF2]的中點(diǎn)，[△CDF2]的周長(zhǎng)為4，當(dāng)A為橢圓E的上頂點(diǎn)時(shí)，[F1B=65]，則橢圓[E]的離心率為 ????????????。

教學(xué)預(yù)設(shè)：本題給定了三角形的周長(zhǎng)，求解橢圓的離心率。教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中的相似關(guān)系，利用相似三角形的周長(zhǎng)特性反推出橢圓的特征參數(shù)，再結(jié)合條件求解橢圓的離心率。建議同樣采用分步突破的策略。

第一步，條件解讀。

條件1：過(guò)[F1]的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)。解讀：[△ABF2]為橢圓的焦點(diǎn)三角形。

條件2：C、D分別為線段[AF2]、[BF2]的中點(diǎn)。解讀：CD為[△ABF2]的中位線。

第二步，圖象繪制。

根據(jù)上述條件及其解讀，引導(dǎo)學(xué)生繪制如圖3所示的圖象，其中CD∥AB。

第三步，初步推理。

根據(jù)題意可知[△ABF2]為橢圓的焦點(diǎn)三角形，且與[△CDF2]相似，相似比為2∶1，由橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論可知[△ABF2]的周長(zhǎng)為[4a]，則[△CDF2]的周長(zhǎng)為[2a=4]，可得[a=2]。

當(dāng)點(diǎn)A為橢圓E的上頂點(diǎn)時(shí)，[AF1=c2+b2=a=2]，過(guò)點(diǎn)B作[BM⊥x]軸，垂足為M（如圖4），顯然[Rt△AOF1]∽[Rt△BMF1]（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。因?yàn)閇F1B=65]，所以[BMAO=F1MF1O=BF1AF1]，即[BMb=F1Mc=652=35]，所以[BM=35b]，[F1M=35c]，[OM=F1M+OF1=85c]，可求出點(diǎn)[B]的坐標(biāo)為[B-85c，-35b]。

第四步，解析求解。

將點(diǎn)[B]的坐標(biāo)代入橢圓方程中有[-85c24+-35b2b2=1]，則[c=1]，所以橢圓[E]的離心率為[e=ca=12]。

解后思考 本題是圍繞橢圓的焦點(diǎn)三角形進(jìn)行構(gòu)建的，其核心知識(shí)為三角形相似，在探究中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中的相似模型，利用相似三角形性質(zhì)來(lái)推理求解。對(duì)于其中的線段中點(diǎn)，注意推理衍生中位線、相似關(guān)系。

教學(xué)環(huán)節(jié)四：深度拓展，結(jié)論衍生

上述探究了橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論，顯然同為核心圓錐曲線的雙曲線，也應(yīng)存在相似的結(jié)論。教學(xué)中教師需要引導(dǎo)學(xué)生參考橢圓焦點(diǎn)三角形的探究方法，立足具體圖形，對(duì)雙曲線焦點(diǎn)三角形問(wèn)題進(jìn)行推理證明。

［題4］已知[F1]、[F2]分別是雙曲線[E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦點(diǎn)，過(guò)[F1]的直線與雙曲線的左支交于[A]、[B]兩點(diǎn)，連接[AF2]、[BF2]，試求△[ABF2]的周長(zhǎng)。

模型解讀：過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于[A]、[B]兩點(diǎn)，顯然△[ABF2]為雙曲線的焦點(diǎn)三角形，可根據(jù)題意繪制如圖5所示的圖象。

結(jié)論探究：由雙曲線的第一定義可知，[AF2-AF1=2a]，[BF2-BF1=2a]。設(shè)[AF1+BF1=m]，綜合上述兩個(gè)式子可得[AF2+BF2=4a+m]，則[ AB+AF2+BF2=4a+2m]，即△[ABF2]的周長(zhǎng)為[4a+2m]。

深度解析：對(duì)于直線與雙曲線的同一支有兩個(gè)交點(diǎn)的情形，雙曲線焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為[4a+2m]，該值顯然不為定值，[m]表示[AB]的長(zhǎng)，該長(zhǎng)度與直線的傾斜角相關(guān)。當(dāng)直線與[x]軸垂直時(shí)，該長(zhǎng)度最小，此情形也常作為最值問(wèn)題來(lái)設(shè)問(wèn)考查。

另外，直線與雙曲線的兩支分別有一個(gè)交點(diǎn)情形的結(jié)論，此處暫不進(jìn)行探究證明，教師可引導(dǎo)學(xué)生自行分析論證。

二、專題教學(xué)建議

專題探究是數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要方式，旨在引導(dǎo)學(xué)生圍繞核心知識(shí)考點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)探究，歸納總結(jié)相應(yīng)結(jié)論。教學(xué)中教師需要循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生充分參與。下面筆者針對(duì)專題教學(xué)提出幾點(diǎn)建議。

（一）立足模型，注重推理

關(guān)于數(shù)學(xué)結(jié)論的探索證明，建議立足模型，注重推理。例如對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形，可以一般的圖形為例，繪制對(duì)應(yīng)圖象，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推理分析、生成結(jié)論，并加以解讀。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考可能涉及的全部情形，確保結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)可靠。

（二）注重應(yīng)用，強(qiáng)化記憶

專題教學(xué)中教師應(yīng)合理設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考解決，以此強(qiáng)化學(xué)生的知識(shí)運(yùn)用。設(shè)置問(wèn)題時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是問(wèn)題要由易到難，逐步深入，讓學(xué)生能夠逐步理解探究的結(jié)論，并能夠靈活運(yùn)用；二是問(wèn)題要全面覆蓋，具有代表性，可以結(jié)合近幾年的考題進(jìn)行拓展。

（三）思維拓展，提升素養(yǎng)

專題教學(xué)中教師應(yīng)注意拓展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的素養(yǎng)。以上述橢圓焦點(diǎn)三角形和雙曲線焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論的探究為例，應(yīng)注意模型構(gòu)建以及數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的滲透。借助問(wèn)題結(jié)論探究滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生逐步感悟思想精髓，在潛移默化中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

綜上，橢圓焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)結(jié)論具有極高的應(yīng)用價(jià)值，教師在引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探究時(shí)要注意結(jié)合模型，為學(xué)生展示過(guò)程證明，強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用實(shí)踐。在教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)合理設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，啟發(fā)學(xué)生思維。在應(yīng)用探索環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)深入反思總結(jié)，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)。

［?? 參?? 考?? 文?? 獻(xiàn)?? ］

[1]? 周躍佳.圓錐曲線焦點(diǎn)三角形角平分線性質(zhì)的探究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（36）：84-86.

[2]? 岳緒彬.雙曲線焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的性質(zhì)及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（3）：58-59.

[3]? 王學(xué)會(huì).創(chuàng)新背景，總結(jié)方法，類比拓展：對(duì)一道橢圓綜合題的探討[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（15）：71-72.

（責(zé)任編輯 黃春香）