淺析初中數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合思想

黃艷曦

我國著名的數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。”這句話說明了“數(shù)”和“形”是緊密聯(lián)系的。“數(shù)”和“形”是數(shù)學的兩根柱石，所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合來探索解決問題的思路，從而使問題得以解決的思想方法。關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”思想在初中數(shù)學中的運用，我總結(jié)了幾點自己的看法與大家交流。

一、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學中的重要性。

數(shù)形結(jié)合思想是中學數(shù)學中的一種重要的數(shù)學思想，貫穿于整個中學數(shù)學始終，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其運用大致可以分為兩種情形：借助于形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，比如運用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，如運用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合即以數(shù)作為手段，形作為目的，用這種思想來解決數(shù)學問題往往可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化。數(shù)形結(jié)合思想既能發(fā)揮代數(shù)的優(yōu)勢，又可以充分利用圖形的直觀性，從多個角度探索問題，對思維能力的發(fā)展大有裨益。

數(shù)學學習離不開思維，數(shù)學探索需要通過思維來實現(xiàn)，在初中數(shù)學教學中逐步滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)思維能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學思維習慣，既符合新的課程標準，又是進行數(shù)學素質(zhì)教育的一個切入點。

二、教學中滲透數(shù)形結(jié)合思想，形成用數(shù)形結(jié)合分析問題的意識。

縱觀近年來的中考，熔“數(shù)”和“形”于一體的試題屢見不鮮。目前我們使用的新課本，不再把數(shù)學課劃分為“代數(shù)”、“幾何”，而是綜合為一門數(shù)學課，這樣更有利于“數(shù)”與“形”的結(jié)合，因此數(shù)學教師在教學中要做好“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，運用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學生類比、發(fā)掘，剖析其所具有的幾何模型，這對于幫助學生深化思維，拓展知識，提高能力都有很大的幫助。運用數(shù)形結(jié)合思想不僅直觀、易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。所以要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維。

下面通過幾個例題的分析給予解評。

例1：數(shù)形結(jié)合與函數(shù)問題

解析：這是一道三角函數(shù)問題，如果沒有圖形，學生將較難理解題目，感覺到無從下手。有了圖形，可以將數(shù)形結(jié)合起來，通過“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化將抽象問題具體化。

解：過C作AB的垂線，交直線AB于點D，得到Rt△ACD與Rt△BCD.

答：輪船繼續(xù)向東航行15海里，距離小島C最近.

由以上的幾個例子，我們可以看出數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得直觀，解題思路非常清晰，步驟非常明了。另外，在學生學習過程中，可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

三、培養(yǎng)學生對“數(shù)形結(jié)合”思想方法的興趣。

數(shù)形結(jié)合的思想方法，不像一般數(shù)學知識那樣，通過幾節(jié)課的教學就可掌握。以往的數(shù)學題是單純地對于“數(shù)”或“形”這樣的單個個體而展開的，而數(shù)形結(jié)合思想?yún)s同時包含了“數(shù)”和“形”兩個對象，研究對象可由“數(shù)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤靶巍?，也可由“形”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皵?shù)”，學生要改變以往單一的處理符號信息或者是圖形信息的操作，要將兩種信息同時進行操作，將原本看上去無關(guān)的代數(shù)和幾何融合在一起，甚至是將其融會貫通。這就給學生的學習加大了難度，也打擊了學生學習數(shù)學的激情和降低了學生學習數(shù)學的熱情。因此，培養(yǎng)學生對“數(shù)形結(jié)合”的興趣顯得尤為重要。我認為可以從以下幾個方面入手。

1.將數(shù)學與實際生活聯(lián)系起來，讓學生在生活中感受“數(shù)形結(jié)合”思想。如每個學生在日常生活中都具有一定的圖形知識，如繩子和繩子上的結(jié)、刻度尺與它上面的刻度，溫度計與其上面的溫度，我們每天走過的路線可以看做是一條直線，教室里每個學生的座位，等等。我們利用學生的這一認識基礎(chǔ)，把生活中的形與數(shù)相結(jié)合遷移到數(shù)學中來。在教學中進行數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數(shù)與數(shù)軸，一對有序?qū)崝?shù)與平面直角坐標系，一元一次不等式的解集與一次函數(shù)的圖像，二元一次方程組的解與一次函數(shù)圖像之間的關(guān)系等，都是滲透數(shù)形結(jié)合思想的很好機會。

2.培養(yǎng)學生發(fā)掘數(shù)學的美感。數(shù)學家哈代曾說：“數(shù)學就像畫家的顏色或者詩人的文字一樣，一定會和諧地組合在一起。美感是首要的試金石，丑陋的數(shù)學在世界上是站不住腳的?！睌?shù)學美感在生活和情感等方面的體現(xiàn)，如果在數(shù)學教學中揭示數(shù)形結(jié)合思想同時也能夠使學生享受到美感，就能激發(fā)學生學習和運用數(shù)形結(jié)合思想的興趣，從而大大地增強他們的學習效果。如黃金分割在生活中的運用，舉世聞名的完美建筑古希臘帕提依神廟，建筑師們發(fā)現(xiàn)由于高和寬的比是0.618，按照這樣的比例進行建筑設(shè)計，建筑物會更加壯觀。教師在教學中引導(dǎo)學生體會數(shù)形結(jié)合的美感，增強他們對數(shù)形結(jié)合思想的興趣，從而更加積極地學習和運用數(shù)形結(jié)合思想。

3.通過典型例題讓學生感受和分析數(shù)形結(jié)合思想，并反復(fù)滲透，強化數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合思想，使學生逐步形成數(shù)學學習中的數(shù)形結(jié)合的意識。并引導(dǎo)學生在運用數(shù)形結(jié)合思想的時候注意一些基本原則，如是知形確定數(shù)還是知數(shù)確定形，在探索規(guī)律的過程中應(yīng)該遵循由特殊到一般的思路進行，從而歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論。另外，加強相應(yīng)練習，讓學生在數(shù)學學習過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對數(shù)形結(jié)合思想的主動運用。

四、結(jié)論

數(shù)學家喬治·波利亞曾說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路?！睌?shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學思想方法中重要的一員，具有重要的地位和作用。教師可以利用現(xiàn)有教材，在教學中著意滲透并力求幫助學生初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，結(jié)合其他數(shù)學思想方法的學習，注意幾種思想方法的綜合運用，給學生提供足夠的材料和時間，啟發(fā)學生積極思維，相信這會使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學成效。