引領(lǐng)學(xué)生養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣

衛(wèi)憲濤

一、反思解題本身運(yùn)用知識(shí)是否正確，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力

每一道數(shù)學(xué)題都包含若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)，在解數(shù)學(xué)題時(shí)，學(xué)生產(chǎn)生運(yùn)算錯(cuò)誤是經(jīng)常的，而學(xué)生犯錯(cuò)誤的原因也是多方面的。其中一個(gè)重要原因就是運(yùn)用的定義、公式、法則、定理以及算理出現(xiàn)了偏差。對(duì)于教師，如何減少學(xué)生解題錯(cuò)誤，應(yīng)當(dāng)是一項(xiàng)重要任務(wù)，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生反思解題本身運(yùn)用知識(shí)是否準(zhǔn)確，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析題目的結(jié)構(gòu)特征，養(yǎng)成“瞻前顧后”的習(xí)慣，引導(dǎo)他們養(yǎng)成“回頭看”，力求以最合理的方式，用最直接、最簡(jiǎn)單的方法達(dá)到解題的目的。

例1：計(jì)算：-12÷■（-■）2

錯(cuò)解：原式=1×■×■=■

反思：對(duì)乘方有關(guān)概念理解不好，混淆了（-1）2和-12，出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)論。

例2：已知：AB=AC，∠ABD=∠ACD。

求證：BD=CD。

錯(cuò)解：∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，AD=AD

∴△ABD≌△ACD

∴BD=CD

反思：判定三角形需要三個(gè)條件，本案例也羅列了三個(gè)條件，但它們卻是“SSA”，這個(gè)組合不一定能判定三角形全等，運(yùn)用的定理出現(xiàn)錯(cuò)誤。

對(duì)于這樣知識(shí)性錯(cuò)誤，教師就要充分體現(xiàn)其主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生暴露錯(cuò)誤，師生共同分析出錯(cuò)的原因，學(xué)生從反面吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，迅速?gòu)腻e(cuò)誤中走出來(lái)，從而增強(qiáng)辨別錯(cuò)誤的能力，同時(shí)提高了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。因此，要想少出錯(cuò)，教學(xué)中教師就應(yīng)該以積極主動(dòng)的態(tài)度對(duì)待錯(cuò)誤和失敗，備課時(shí)可適當(dāng)從學(xué)生易錯(cuò)的思路去構(gòu)思，課堂上應(yīng)加強(qiáng)對(duì)典型思路的分析，讓學(xué)生充分暴露錯(cuò)誤的思維過(guò)程，使學(xué)生在糾正錯(cuò)誤的過(guò)程中掌握正確的思維方法，培養(yǎng)學(xué)生反思習(xí)慣，提高自己糾錯(cuò)能力。

二、反思分類問(wèn)題是否漏解或多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性

每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用的范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問(wèn)題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問(wèn)題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會(huì)影響問(wèn)題的解決，由上述幾類問(wèn)題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決。分類討論的原則是不重復(fù)、不遺漏。討論的方法是逐類進(jìn)行，還必須要注意綜合討論的結(jié)果，以使解題步驟完整。分類思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要思想，學(xué)生在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。

例3：在Rt△ABC中，a=3，b=4。求c的值。

錯(cuò)解：c=5

反思：因?yàn)槭芩季S定勢(shì)的影響，學(xué)生不假思索地由3、4，給出答案5，而這個(gè)問(wèn)題的答案應(yīng)當(dāng)是兩個(gè)，出現(xiàn)分類原因是沒(méi)有具體給出哪個(gè)角是直角，∠B、∠C都有可能是直角。

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)密的學(xué)科，而思維的嚴(yán)密性則正是數(shù)學(xué)美之所在，分類討論題能否合理地利用分類討論是思維嚴(yán)密性的很好體現(xiàn)，所以讓學(xué)生解完題之后，反思是否遺漏解或多解，養(yǎng)成解題嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)素養(yǎng)。

三、反思隱含條件是否忽視，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)態(tài)度

數(shù)學(xué)中的某些定義、公式、法則、概念等都有其成立的前提條件。在具體數(shù)學(xué)問(wèn)題中，這些條件或已給出但不明顯，或沒(méi)有給出卻滲透題意中，稱之為隱含條件。隱含條件具有隱蔽性，解題過(guò)程中易于被學(xué)生忽略，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。要正確解答此類問(wèn)題，除要掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)外，還需要不斷總結(jié)其運(yùn)用的一些規(guī)律，做到防而有備，提高解題能力。如，二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不等于零、二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不等于零、函數(shù)一般式中字母系數(shù)的隱含條件等，我們?cè)诮忸}時(shí)不得不細(xì)心考察，小心掉入陷阱。

例4：已知：x2-3x=3=（x2+2x-3）0，則x=________.

錯(cuò)解：2或1.

這是一本教輔圖書(shū)上的一個(gè)問(wèn)題以及給出的答案，解題時(shí)沒(méi)有注意a0≠0，這個(gè)法則是有條件限制的，那就是a≠0。當(dāng)x=1時(shí)，x2+2x-3不符合條件，所以需要舍去。

解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)對(duì)隱含條件的挖掘，是防止發(fā)生漏解、多解、錯(cuò)解的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，所以反思題目中的隱含條件也是非常關(guān)鍵的，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。

四、反思有無(wú)其他方法，即一題多解，培養(yǎng)學(xué)生聚合思維

一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以用不同的方法和途徑來(lái)解決，一題多解有利于溝通各知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵和外延，深化知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)造思維，形成分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，讓不同的人在數(shù)學(xué)中得到不同的發(fā)展。

在解決數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題的過(guò)程時(shí)，教師應(yīng)適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從不同的方法、角度、思維方式去觀察、聯(lián)想、分析，根據(jù)問(wèn)題的特定條件探索出一系列的解題思路。激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，這對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。通過(guò)一題多解，讓學(xué)生優(yōu)化解題方法和過(guò)程，形成正確的數(shù)學(xué)價(jià)值觀，為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)有利于“創(chuàng)生”的具有自我生長(zhǎng)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境。

五、反思題目能否變換引申，即“一題多變”，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞形象指出：“好問(wèn)題同種蘑菇類似，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有幾個(gè)。”因此，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題不能僅僅就題論題，孤立解題，而應(yīng)當(dāng)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋闶?，把一道封閉的習(xí)題從不同角度、不同層次、不同角度出發(fā)，變化為一道動(dòng)態(tài)的、開(kāi)放的題目。

例題5：原題：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD中點(diǎn)，求證：CE⊥BE.

變式1：在梯形ABCD中，AB∥CD，CE⊥BE，E是AD中點(diǎn)。

求證： BC=AB+CD。

變式2：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD， CE⊥BE.判斷E是AD中點(diǎn)嗎？為什么？

變換3：在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，以BC為直徑的圓與BD的位置關(guān)系是什么？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決是學(xué)生思維的重要素材，通過(guò)問(wèn)題的變式教學(xué)形成數(shù)學(xué)的基本思想、方法和態(tài)度所構(gòu)成的認(rèn)知體系以及學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式去考慮問(wèn)題、處理問(wèn)題的自覺(jué)意識(shí)或思維習(xí)慣是學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心內(nèi)容，即要學(xué)生有效從“形變”到“質(zhì)變”。通過(guò)題后反思，有效、合理地變換問(wèn)題，既培養(yǎng)思維的發(fā)散性，也培養(yǎng)思維的收斂性。如果把一題多變堅(jiān)持下去，讓學(xué)生形成一種習(xí)慣，一定能更好地培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力。

六、反思解題方法和數(shù)學(xué)思想，總結(jié)規(guī)律，形成思維遷移

學(xué)生做題往往是為做題而做題，有一些同學(xué)是被動(dòng)做題，缺少積極性主動(dòng)性，沒(méi)有進(jìn)行題后反思習(xí)慣，更沒(méi)有認(rèn)真分析解題后的知識(shí)的遷移。而學(xué)生在對(duì)題目進(jìn)行反思引伸、拓展，會(huì)更進(jìn)一步激發(fā)自身的求知欲望，培養(yǎng)自己自覺(jué)探究的良好習(xí)慣，享受成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力。

例6：?jiǎn)栴}1：線段AB上有n-2個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)一共有多少條線段？

問(wèn)題2；∠AOB內(nèi)有n-2條射線，請(qǐng)你數(shù)一數(shù)一共有多少個(gè)角？

問(wèn)題3：n邊形有多少條對(duì)角線？

問(wèn)題4：參加會(huì)議的人每?jī)扇宋找淮问郑绻衝名參加會(huì)議，那么共握手多少次呢？

問(wèn)題5：某班有n名同學(xué)，新年每人互送賀卡一張，那么一共送賀卡多少?gòu)垼?/p>

反思：上面幾個(gè)問(wèn)題的背景不同，好像沒(méi)有關(guān)系，實(shí)際它們分析問(wèn)題解決問(wèn)題的方法相同，都是先選取一個(gè)對(duì)象，看和剩下對(duì)象能形成多少個(gè)研究對(duì)象，在乘以n，有重復(fù)的除以2，沒(méi)有重復(fù)的不用除。通過(guò)反思解題方法和數(shù)學(xué)思想，總結(jié)規(guī)律，通過(guò)達(dá)到對(duì)知識(shí)的遷移，并能得出如上奇妙而有趣的結(jié)果，享受了做數(shù)學(xué)題的成功。