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    復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法教學(xué)教法探討

    2012-04-29 16:20:11農(nóng)建誠
    課程教育研究 2012年7期

    【摘要】本文就復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的教學(xué)教法進(jìn)行探討,首先通過復(fù)習(xí)基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)的概念,然后通過一個引例啟發(fā)思維,引入復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,接著對該法則進(jìn)行證明和舉例運用,并總結(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的關(guān)鍵是:分清復(fù)合函數(shù)的函數(shù)層次結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)。

    【關(guān)鍵詞】復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)方法 教學(xué)教法

    【中圖分類號】G71 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089(2012)07-0099-01

    復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法是一種重要的函數(shù)求導(dǎo)方法,也是微積分學(xué)里的重要內(nèi)容,它是繼學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的四則運算和一些基本的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式后學(xué)習(xí)的重點,也是學(xué)習(xí)后續(xù)的微分和積分的基礎(chǔ)。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法既是導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的重點,也是學(xué)習(xí)難點。本文就結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗,對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法的教學(xué)教法進(jìn)行探討。

    在進(jìn)行新課學(xué)習(xí)之前,可以先對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法中需要用到的兩個知識點加以復(fù)習(xí),第一點是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,第二點是復(fù)合函數(shù)的概念,即設(shè)y=f(u),其中,u=φ(x),且φ(x)的值全部或部分落在f(u)的定義域內(nèi),則稱y=f[φ(x)]為x的復(fù)合函數(shù),而u為中間變量,例如y=(2x+1)2,y=sinx2都是復(fù)合函數(shù)。初等函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的研究對象,它由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成,且可用一個解析式表示的函數(shù)。因此,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不可缺少的工具。

    在具體的教學(xué)過程中,可以通過一個具體的引例,讓學(xué)生對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有一個初步的、直觀的了解。

    引例 求函數(shù)y=(2x+3)2的導(dǎo)數(shù)。

    方法一y′x=[(2x+3)2]′=(4x2+12x+9)′=8x+12

    方法二將復(fù)合函數(shù)y=(2x+3)2看作由基本初等函數(shù)y=u2和函數(shù)u=2x+3復(fù)合而成,分別求出其對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即y′u=(u2)′=2u, u′x=(2x+3)′=2,將兩個導(dǎo)數(shù)相乘,即y′u·u′x=2u·2=2(2x+3)·2=8x+12,從而得到y(tǒng)′x=y′u·u′x的結(jié)論,該結(jié)論并不是偶然,對于一般的復(fù)合函數(shù)而言,該結(jié)論也成立,然后就引入復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,加以證明和運用。

    1.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

    如果函數(shù)u=φ(x)在點x處可導(dǎo),而函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)點u=φ(x)處也可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點x處可導(dǎo),且有y′x=y′u ·u′x或f′x[φ(x)]=f′(u)φ′(x)。

    證明:設(shè)自變量x有增量△x,相應(yīng)的變量u有增量△u,從而變量y有增量△y,由于u=φ(x)可導(dǎo),所以△x→0時,△u→0,于是,當(dāng)△u≠0時,

    ■■=■■·■=■■·■■=■■·■■=y′u·u′x,即y′x=y′u·u′x (當(dāng)△u=0時,也成立),該公式表明,復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。

    2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法基本步驟

    根據(jù)公式y(tǒng)′x=y′u·u′x,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法的基本步驟可以分為:(1)將復(fù)合函數(shù)分解為若干個簡單函數(shù);(2)對簡單函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo);(3)將簡單函數(shù)的求導(dǎo)結(jié)果相乘;(4)將中間變量函數(shù)回代、整理,即“分解——求導(dǎo)——相乘——回代”。

    3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法舉例

    例1 求函數(shù)y=(3x+1)6的導(dǎo)數(shù)。

    解: 設(shè)y=u6,u=3x+1,則y′u=(u6)′=6u5, u′x=(3x+1)′=3,所以y′x=y′u·u′x=(u6)′·(3x+1)′=6u5·3=6(3x+1)5·3=18(3x+1)5.

    例2 求函數(shù)y=cosex的導(dǎo)數(shù)。

    解: 設(shè)y=cosu,u=ex,則y′u=(cosu)′=-sinu,u′x=(ex)′=ex,所以y′x=y′u·u′x=(cosu)′·(ex)′=-sinu·ex=-sinex·ex=-exsinex.

    從以上例子可以看出,求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)鍵在于能夠把復(fù)合函數(shù)分解為若干簡單的函數(shù)。在熟練以后,中間可以不必寫出來,而直接寫出函數(shù)對于中間變量求導(dǎo)的結(jié)果,即分清復(fù)合函數(shù)的函數(shù)層次結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)。

    例3 求函數(shù)y=sinx3的導(dǎo)數(shù)。

    解: 首先分清復(fù)合函數(shù)y=sinx3的函數(shù)層次結(jié)構(gòu),該函數(shù)由外向內(nèi)的函數(shù)層次依次為sin(),()3,其中()內(nèi)為中間變量函數(shù),所以由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)可得y′=(sinx3)′=cosx3·(x3)′=cosx3·3x2=3x2cosx3。

    例4 求函數(shù)y=ln tan■的導(dǎo)數(shù)。

    解: 首先分清復(fù)合函數(shù)y=ln tan■的函數(shù)層次結(jié)構(gòu),該函數(shù)由外向內(nèi)的函數(shù)層次依次為ln(),tan(),■,其中()內(nèi)為中間變量函數(shù),所以由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)可得

    y′=(ln tan■)′=■·(tan■)′=■·sex2■·(■)′=■·sex2■·■=■·■·■=■=■.

    從以上例子可以看出,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法的關(guān)鍵是分清復(fù)合函數(shù)的函數(shù)層次結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)。最后需要說明的是,當(dāng)一個初等函數(shù)的構(gòu)成是既有四則運算,又有復(fù)合函數(shù),要求出它的導(dǎo)數(shù)就需要綜合運用到四則運算求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。

    例5 求函數(shù)y=exsin(2x+1)2的導(dǎo)數(shù)。

    解: 首先分清函數(shù)y=exsin(2x+1)2的層次結(jié)構(gòu),該函數(shù)由函數(shù)ex和復(fù)合函數(shù)sin(2x+1)2相乘而成,因此求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù),應(yīng)先使用乘積運算的求導(dǎo)法則,在求復(fù)合函數(shù)sin(2x+1)2的時候又利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo),所以有

    y′=[exsin(2x+1)2]′=(ex)·sin(2x+1)2+ex·[sin(2x+1)2]′

    =exsin(2x+1)2+ex·cos(2x+1)2·[(2x+1)2]′

    =exsin(2x+1)2+ex·cos(2x+1)2·2(2x+1)·(2x+1)′

    =exsin(2x+1)2+ex·cos(2x+1)2·2(2x+1)·2

    =exsin(2x+1)2+4ex(2x+1)cos(2x+1)2

    參考文獻(xiàn):

    [1]李海英.淺談復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2011(23).

    [2]盛光進(jìn).高等數(shù)學(xué)[M].長沙.湖南教育出版社.2007.

    作者簡介:

    農(nóng)建誠,男,出生于1979年3月,廣西德保人,大學(xué)本科學(xué)歷,助教,現(xiàn)任教于廣西現(xiàn)代職業(yè)技術(shù)學(xué)院,主要研究方向:數(shù)學(xué)教育及應(yīng)用數(shù)學(xué)。

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