復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法教學(xué)教法探討

【摘要】本文就復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的教學(xué)教法進(jìn)行探討，首先通過復(fù)習(xí)基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)的概念，然后通過一個引例啟發(fā)思維，引入復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，接著對該法則進(jìn)行證明和舉例運用，并總結(jié)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的關(guān)鍵是：分清復(fù)合函數(shù)的函數(shù)層次結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)。

【關(guān)鍵詞】復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)方法 教學(xué)教法

【中圖分類號】G71 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）07-0099-01

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法是一種重要的函數(shù)求導(dǎo)方法，也是微積分學(xué)里的重要內(nèi)容，它是繼學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的四則運算和一些基本的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式后學(xué)習(xí)的重點，也是學(xué)習(xí)后續(xù)的微分和積分的基礎(chǔ)。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法既是導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)的重點，也是學(xué)習(xí)難點。本文就結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗，對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法的教學(xué)教法進(jìn)行探討。

在進(jìn)行新課學(xué)習(xí)之前，可以先對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法中需要用到的兩個知識點加以復(fù)習(xí)，第一點是基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，第二點是復(fù)合函數(shù)的概念，即設(shè)y=f(u)，其中，u=φ(x)，且φ(x)的值全部或部分落在f(u)的定義域內(nèi)，則稱y=f[φ(x)]為x的復(fù)合函數(shù)，而u為中間變量，例如y=(2x+1)2，y=sinx2都是復(fù)合函數(shù)。初等函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的研究對象，它由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復(fù)合步驟所構(gòu)成，且可用一個解析式表示的函數(shù)。因此，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不可缺少的工具。

在具體的教學(xué)過程中，可以通過一個具體的引例，讓學(xué)生對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有一個初步的、直觀的了解。

引例 求函數(shù)y=(2x+3)2的導(dǎo)數(shù)。

方法一y′x=[(2x+3)2]′=(4x2+12x+9)′=8x+12

方法二將復(fù)合函數(shù)y=(2x+3)2看作由基本初等函數(shù)y=u2和函數(shù)u=2x+3復(fù)合而成，分別求出其對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即y′u=(u2)′=2u， u′x=(2x+3)′=2，將兩個導(dǎo)數(shù)相乘，即y′u·u′x=2u·2=2(2x+3)·2=8x+12，從而得到y(tǒng)′x=y′u·u′x的結(jié)論，該結(jié)論并不是偶然，對于一般的復(fù)合函數(shù)而言，該結(jié)論也成立，然后就引入復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，加以證明和運用。

1.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

如果函數(shù)u=φ(x)在點x處可導(dǎo)，而函數(shù)y=f(u)在對應(yīng)點u=φ(x)處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點x處可導(dǎo)，且有y′x=y′u ·u′x或f′x[φ(x)]=f′(u)φ′(x)。

證明：設(shè)自變量x有增量△x，相應(yīng)的變量u有增量△u，從而變量y有增量△y，由于u=φ(x)可導(dǎo)，所以△x→0時，△u→0，于是，當(dāng)△u≠0時，

■■=■■·■=■■·■■=■■·■■=y′u·u′x，即y′x=y′u·u′x （當(dāng)△u=0時，也成立），該公式表明，復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。

2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法基本步驟

根據(jù)公式y(tǒng)′x=y′u·u′x，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法的基本步驟可以分為：（1）將復(fù)合函數(shù)分解為若干個簡單函數(shù)；（2）對簡單函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)；（3）將簡單函數(shù)的求導(dǎo)結(jié)果相乘；（4）將中間變量函數(shù)回代、整理，即“分解——求導(dǎo)——相乘——回代”。

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法舉例

例1 求函數(shù)y=(3x+1)6的導(dǎo)數(shù)。

解： 設(shè)y=u6，u=3x+1，則y′u=(u6)′=6u5， u′x=(3x+1)′=3，所以y′x=y′u·u′x=(u6)′·(3x+1)′=6u5·3=6(3x+1)5·3=18(3x+1)5.

例2 求函數(shù)y=cosex的導(dǎo)數(shù)。

解： 設(shè)y=cosu，u=ex，則y′u=(cosu)′=-sinu，u′x=(ex)′=ex，所以y′x=y′u·u′x=(cosu)′·(ex)′=-sinu·ex=-sinex·ex=-exsinex.

從以上例子可以看出，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)鍵在于能夠把復(fù)合函數(shù)分解為若干簡單的函數(shù)。在熟練以后，中間可以不必寫出來，而直接寫出函數(shù)對于中間變量求導(dǎo)的結(jié)果，即分清復(fù)合函數(shù)的函數(shù)層次結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)。

例3 求函數(shù)y=sinx3的導(dǎo)數(shù)。

解： 首先分清復(fù)合函數(shù)y=sinx3的函數(shù)層次結(jié)構(gòu)，該函數(shù)由外向內(nèi)的函數(shù)層次依次為sin()，()3，其中()內(nèi)為中間變量函數(shù)，所以由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)可得y′=(sinx3)′=cosx3·(x3)′=cosx3·3x2=3x2cosx3。

例4 求函數(shù)y=ln tan■的導(dǎo)數(shù)。

解： 首先分清復(fù)合函數(shù)y=ln tan■的函數(shù)層次結(jié)構(gòu)，該函數(shù)由外向內(nèi)的函數(shù)層次依次為ln()，tan()，■，其中()內(nèi)為中間變量函數(shù)，所以由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)可得

y′=(ln tan■)′=■·(tan■)′=■·sex2■·(■)′=■·sex2■·■=■·■·■=■=■.

從以上例子可以看出，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法的關(guān)鍵是分清復(fù)合函數(shù)的函數(shù)層次結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)。最后需要說明的是，當(dāng)一個初等函數(shù)的構(gòu)成是既有四則運算，又有復(fù)合函數(shù)，要求出它的導(dǎo)數(shù)就需要綜合運用到四則運算求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)。

例5 求函數(shù)y=exsin(2x+1)2的導(dǎo)數(shù)。

解： 首先分清函數(shù)y=exsin(2x+1)2的層次結(jié)構(gòu)，該函數(shù)由函數(shù)ex和復(fù)合函數(shù)sin(2x+1)2相乘而成，因此求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，應(yīng)先使用乘積運算的求導(dǎo)法則，在求復(fù)合函數(shù)sin(2x+1)2的時候又利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，所以有

y′=[exsin(2x+1)2]′=(ex)·sin(2x+1)2+ex·[sin(2x+1)2]′

=exsin(2x+1)2+ex·cos(2x+1)2·[(2x+1)2]′

=exsin(2x+1)2+ex·cos(2x+1)2·2(2x+1)·(2x+1)′

=exsin(2x+1)2+ex·cos(2x+1)2·2(2x+1)·2

=exsin(2x+1)2+4ex(2x+1)cos(2x+1)2

參考文獻(xiàn)：

[1]李海英.淺談復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究.2011（23）.

[2]盛光進(jìn).高等數(shù)學(xué)[M].長沙.湖南教育出版社.2007.

作者簡介：

農(nóng)建誠，男，出生于1979年3月，廣西德保人，大學(xué)本科學(xué)歷，助教，現(xiàn)任教于廣西現(xiàn)代職業(yè)技術(shù)學(xué)院，主要研究方向：數(shù)學(xué)教育及應(yīng)用數(shù)學(xué)。