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      分類討論思想在數學解題中的應用

      2012-04-29 16:19:35皇甫琴
      考試周刊 2012年65期
      關鍵詞:子項球類實數

      皇甫琴

      摘要: 在解數學問題時,應用分類討論思想,通過正確分類,可以使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.分類討論的思想在解決某些數學問題時,其解決過程包括多種情形,需要根據所研究的對象存在的差別,按一定標準把原問題分為幾個不同的種類,并對每一類逐一加以分析和討論,再把每一類結果和結論進行匯總,最終使得整個問題在總體上得到解決.

      關鍵詞: 分類討論思想中學數學教學應用

      一、分類討論思想

      針對研究問題過程中出現的不同情況進行分類研究的思想,稱之為分類討論思想,其實質是一種邏輯劃分的思想,是一種“化整為零,各個擊破,再積零為整”的數學策略.

      分類討論思想,是一種重要的數學思想,也是一種邏輯方法,同時又是一種重要的解題策略.分類討論思想具有較高的邏輯性及很強的綜合性,有利于提高學生對數學學習的興趣,培養(yǎng)學生思維的條理性、縝密性、科學性,所以在數學解題中占有重要的位置.

      二、分類討論的要求、原則及其意義

      分類討論的要求:正確應用分類討論思想,是完整解題的基礎.應用分類討論思想解決問題,必須保證分類科學、統(tǒng)一,不重復,不遺漏,在此基礎上減少分類,簡化分類討論過程.

      為了分類的正確性,分類討論必須遵循一定的原則,在中學階段,經常運用以下四大原則.

      (一)同一性原則

      分類應按同一標準進行,即每次分類不能同時使用幾個不同的另類根據.

      如:把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形是滿足要求的.但是銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等邊三角形、等腰三角形,這種分類就不正確,此種分類同時用了按邊、按角兩種分類標準.

      (二)互斥性原則

      分類后的每個子項應當互不相容,即做到各子項相互排斥,也就是分類后不能有一些事物既屬于這個子項,又屬于另一子項.

      如:某班有9個同學參加球類和田徑兩項比賽,其中有6人參加球類比賽,5人參加田徑比賽,如把這9個人分成參加球類比賽和參加田徑比賽兩類,這就犯了子項相容的邏輯錯誤.因為必須有2人既參加球類比賽,又參加田徑比賽.

      (三)相稱性原則

      分類應當相稱,即劃分后子項外延的總和,應當與母項的外延相等.

      如:某人把有理數分為正有理數和負有理數兩類,這個分類是不相稱的,因為子項的外延總和小于母項的外延.事實上有理數中還包括零.

      (四)層次性原則

      分類有一次分類和多次分類之分,一次分類是對被討論對象只分類一次;多次分類是把分類后的所有的子項作為母項,再次進行分類,直到滿足需要為止.

      如:對數進行劃分,最大層次是實數,實數又分為有理數與無理數,有理數可以分為正有理數、負有理數和零,無理數可以分為正無理數和負無理數,當然,還可以繼續(xù)深化.

      (五)意義

      分類討論的意義:在解決數學問題時,對于因為存在一些不確定因素無法解答或者結論不能給予統(tǒng)一表述的數學問題,我們往往將問題按某個標準劃分為若干類或若干個局部問題來解決,通過正確的分類,能夠克服思維的片面性,使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.

      三、分類討論思想在中學數學中的應用(以初中數學為例)

      (一)分類討論思想在不等式中的應用

      例如:解方程|x+2|+|3-x|=5

      解析:對于絕對值問題,往往要將絕對值符號內的對象區(qū)分為正數、負數、零三種,在此方程中出現兩個數的絕對值;即|x+2|和|3-x|,對于|x+2|應分為x=-2,x<-2,x>-2;對|3-x|應分為x=3,x<3,x>3,把上述范圍畫在數軸上,可見對這一問題應劃分為三種情形:①x>-2,②-2≤x≤3,③x>3,得解如下:

      ①當x<-2時,化簡-(x+2)+3-x=5得x=-2,這與x<-2矛盾,故x<-2時方程無解.

      ②當-2≤x≤3時,原方程x+2+3-x=5恒成立,故滿足-2≤x≤3的一切實數x都是方程的解.

      ③當x>3時,化為x+2-(3-x)=5,得x=3,這與x>3矛盾,故x>3時無解.

      綜上所述,原方程的解為在-2≤x≤3范圍內的任意實數.

      (二)分類討論思想在函數中的應用

      例如:已知函救y=(m-1)x+(m-2)x-1(m是實數).如果函數的圖像和x軸只有一個交點,求m的值.

      分析:這里從函數分類的角度討論,分m-1=0和m-1≠0兩種情況來研究解決問題.

      解:當m=l時,函數就是一個一次函數y=-x-1,它與x軸只有一個交點(-1,0).

      當m-1≠0時,函數就是一個二次函數y=(m-1)x+(m-2)x-1.

      由△=(m-2)+4(m-1)=0,得m=0.

      拋物線y=-x-2x-1的頂點(-1,0)在x軸上.

      (三)分類討論思想在幾何中的應用

      如:直線和圓根據直線與圓的交點個數可分為:直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交.

      又例如:已知直角三角形兩條邊長為3和4,則第三邊長為?搖 ?搖.

      分析:分類討論:當4為直角邊時,則另外一直角邊為3,則第三邊長為5;當4為斜邊時,則另一直角邊為3,那么第三邊長為.

      (四)分類討論思想在實際問題中的應用

      近幾年來,考試命題從知識轉向能力測試,出現了大量有鮮活背景的實際應用題,這種應用題,往往需要有分類討論的思想才能順利解決.其解題思路是:用數學的語言加以表達和交流,敏捷地接受試題所提供的信息,并和所學的有關知識相結合,確定適當的分類標準,把一個復雜的應用題分解成幾個較簡單的問題,從而使問題獲解.

      四、結論

      通過探討分類討論思想在初中數學中的不等式,函數,幾何圖形,以及實際生活中的應用,我們可以知道應該使用正確的分類討論思想,對不同情況進行分類研究,使問題化整為零,各個擊破,再積零為整,從而使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解答.

      分類討論的思想方法在解決某些數學問題時,其解決過程包括多種情形,不可一概而論,難以用統(tǒng)一的形式或同一種方法進行處理.需要根據研究對象所存在的差別,按一定標準把原問題分為幾個不同的種類,并對每一類逐一地加以分析和討論,再把每一類結果和結論進行匯總,最終使得問題在總體上得到解決.

      參考文獻:

      [1]曹軍.數學開放題及其教學研究[M].南京師范大學出版社,2001.

      [2]劉曉玟,張國棟.九年級數學下冊[M].北京師范大學出版社,2011.

      [3]劉文武.中學數學中重要的數學思想——分類討論思想[M].科學出版社,2003.11.4.

      [4]張紹春.名師視點(初中數學——不等式)[M].東北師范大學出版社,2007.3.1.

      [5]北京天利考試信息網.中考真題隨時練——數學(天利38套).西藏人民出版社,2009.7.1.

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