變邊界條件下的電磁場邊值問題解析研究

黨曉強，劉 念，張 力，劉繼春

(1.上海交通大學電子信息與電氣工程學院，上海 200240;2.四川大學電氣信息學院，四川成都 610065;3.西華大學電氣信息學院，四川成都 610039)

0 前言

在“電磁場”課程的電磁場分析中，那些具有最簡單邊界條件和場域幾何形狀規(guī)則的問題才有解析解，多數(shù)問題的求解必須用數(shù)值計算的方法，其場域分布的解析計算內(nèi)容是學習難點。但解析法的主要缺點是缺乏普遍性，而且為了求得場的解答需要花費很多的精力，如尋求特殊的算法和技巧［1-3］。

本文針對一道具體習題，利用對應系數(shù)必須合理相等的思想求解變邊界條件的電磁場邊值問題。實例所給場域的約束條件如圖1所示。

本題的數(shù)學模型條件為

圖1 場域的約束條件

可知這是一道拉氏方程的變邊界條件場域求解問題，可采用分離變量解析解法求解，現(xiàn)設(shè)

將它代入數(shù)模中的拉普拉斯方程中，則有

由于等式兩邊分別為x，y的函數(shù)，故等式只能等于一個常數(shù)。

下面討論該常數(shù)采用不同取值的情況。

可知上面等式無解，故常數(shù)不可以取正。

2 常數(shù)為－時的情況

同樣，聯(lián)系式(1)邊界條件1可知

由解法可知，二次邊界條件自動滿足。

3 常數(shù)為kn=0時的情況

因其明顯不滿足邊界條件，故棄之。

4 結(jié)語

由式(17)可知，該題解析解為

將解析解答案代回原題目進行驗證，可見滿足約束條件。用類似的步驟對定邊界條件題目進行求解，也可以得到響應清晰的解題過程和完善答案。

分離變量法是電磁場理論中重要的解析求解方法。文中題目的具體求解中運用到復數(shù)對應相等，實數(shù)指數(shù)對應相等，弦函數(shù)與其復變數(shù)間的切換等方法，可以為用分離變量法求邊值問題的解析解做出很好的詮釋。尤其在如何運用對應系數(shù)相等這一條件時，如用到復數(shù)對應相等和實數(shù)指數(shù)對應相等，完整的體現(xiàn)出了具體應用。在通常涉及到電磁場求解的教材中，幾乎都缺乏類似的例證。筆者針對文獻［4］中給出的相關(guān)例題用前述分離變量法和對應系數(shù)相等進行了求解，推導也不復雜，且條理更清晰。用類似的步驟和解法對定邊界條件題目也可以進行求解，可以得到清晰的解題過程和完善的答案。

［1］胡之光.電機電磁場的分析和計算［M］.北京:機械工業(yè)出版社，1982

［2］張榴晨，徐松.有限元在電磁場計算中的應用［M］.北京:中國鐵道出版社，1996

［3］Bhag Sing Gurn，Hiziroglu著，周克定，張肅文，董天臨，辜成林譯.電磁場與電磁波［M］.北京:機械工業(yè)出版社，2000

［4］馮慈章.電磁場(第二版)［M］.北京:高等教育出版社，1983