一類分數(shù)階微分方程系統(tǒng)邊值問題正解的存在性

申騰飛，宋文耀

（中國礦業(yè)大學理學院，江蘇徐州 221008）

一類分數(shù)階微分方程系統(tǒng)邊值問題正解的存在性

申騰飛，宋文耀

（中國礦業(yè)大學理學院，江蘇徐州 221008）

利用錐拉伸與壓縮不動點定理和Leray-Schauder非線性抉擇，討論了一類非線性的Riemann-Liouville分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題，得出邊值問題的正解存在的充分條件.

分數(shù)階微分方程；邊值問題；不動點定理；正解

近年來，分數(shù)階導數(shù)及分數(shù)階微分方程在科學、工程和數(shù)學等領域得到了重要應用，例如已成功應用于粘彈性材料、信號處理、控制、生物等領域[1].許多學者投入到分數(shù)階微分方程的研究，并取得了很多研究成果[2-12].

蘇新衛(wèi)用Schauder不動點定理研究一類分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題

正解的存在性[2]；白占兵，呂海深[3]研究了一類分數(shù)階微分方程兩點邊值問題，Bashir Ahmad[4]討論了一類三點的分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題.本文將采用錐拉伸與壓縮不動點定理和Leray-Schauder非線性抉擇研究下面的一類分數(shù)階微分方程耦合邊值問題.

本文主要討論以下分數(shù)階3＜α,β≤4的微分方程系統(tǒng)的邊值問題

正解的存在性，其中

f,g:[0,1]×R+×R→R+連續(xù)函數(shù)，利用Leray-Schauder非線性抉擇，錐上不動點定理，給出該問題的至少存在正解的充分條件.

1 預備知識

定義1[3]函數(shù)y:(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數(shù)階積分為

其中，α＞0，Γ(?)為gamma函數(shù).

定義2[3]連續(xù)函數(shù)(0,+∞)→R的α階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)為

其中，α＞0，Γ(?)為gamma函數(shù)，n=[α]+1.

引理1[3]若α＞0，u∈C(0,1)?L(0,1),則分數(shù)階微分方程u(t)=0有唯一解

其中N為大于或等于α的最小整數(shù).

引理2[3]若α＞0，u∈C(0,1)?L(0,1)，u∈C(0,1)?L(0,1)，則存在ci∈R,i=1,2???,N，使得

其中N為大于或等于α的最小整數(shù).

引理3若y(t)∈C[0,1]且3＜α≤4,則分數(shù)階微分方程

證明由引理2，存在ci∈R,i=1,2,3,4,使得分數(shù)階微分方程的解等價于

其中c1,c2,c3,c4是待定常數(shù),

即

由邊值條件u(0)=0可得c4=0.

所以

由u'(0)=0可得c3=0.

所以

引理4G1α(t,s)有下面的性質(zhì)：

故G(t,s)≥0.

當t≤s時，顯然G(t,s)≥0.

（2）根據(jù)G(t,s)的定義式，對于給定s∈(0,1)，G(t,s)在定義區(qū)間上關于t是增函數(shù)，則G(t,s)≤G(1,s).

當s≤t時，

引理5G1α(t,s)有下面的性質(zhì)：

證明證明過程類似引理4，在此省略.

考慮積分方程系統(tǒng)

引理6[2]若f,g:I×R+×R→R+連續(xù)函數(shù)，則(u,v)是系統(tǒng)（1）的解當且僅當它是系統(tǒng)（2）的解.

引理7[12]設X是Banach空間，P?X是X中的錐，設Ω1,Ω2為X中的有界開集且為一全連續(xù)算子，若滿足下列條件之一：

引理8[12]（Leray-Schauder非線性抉擇）設K是Banach空間X的閉凸集，Ω為K中的相對開集，0∈Ω且T)是有界的，T:→K全連續(xù)，則

（2）存在一個點u∈?Ω和λ∈(0,1)，使得u=λTu.

2 主要結果

下面證T(P)?P是一致有界的.

設Ω是P的有界集，則存在A1,A2＞0，使得‖v‖vX≤A1，‖u‖X≤A2，對于?v,u∈Ω，

令

故‖T1vX‖是一致有界的.

再證T是等度連續(xù)的.

故T1是等度連續(xù)的，同理可證T2是等度連續(xù)的，因此T是等度連續(xù)的，由Arzela-A sc oli定理知T(P)是相對列緊的，故T是全連續(xù)的.

為了敘述方便，我們定義如下常數(shù)：

定理1設f,g:I×R+×R→R+上的連續(xù)函數(shù)，若存在兩個正常數(shù)l2＞l1＞0，使得

則問題（1）存在一個正解.

證明令Ω1={(u,v):‖u‖＜l1,‖v‖＜l1}，則0＜u(t),v(t)＜l1，?t∈I.

因此，當v∈P?Ω1時有‖T1v‖≥‖v‖.

同理可得：當u∈P?Ω1時‖T2u‖≥‖u‖.故‖T(u,v)‖≥l1=‖(u,v)‖.

另一方面，令Ω2={(u,v):‖u‖＜l2,‖v‖＜l2}，則0＜u(t),v(t)＜l2，?t∈I.

當(u,v)∈P?Ω2，且u,v∈?Ω2，‖u‖=l2，‖v‖=l2，有

則方程（1）有一個正解.

由已知條件，對于?t∈[0,1]，我們有

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[12]葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京：科學出版社，2007.

Existence of Positive Solutions for Boundary Value Problem of a Coupled System of Nonlinear Fractional Differential Equations

SHEN Teng-fei,SONG Wen-yao
(College of Science,China University of Mining&Technology,Xuzhou 221008,China)

In this paper,the existence of positive solutions for boundary value problem of a coupled system of non?linear fractional differential equations was discussed.By using the fixed-point theorems,some results were ob?tained.

fractional differential equation;boundary value problem;fixed point theorem;positive solution

O175.8

A

1008-2794（2012）04-0028-07

2012-03-31

申騰飛（1987—），男，安徽蚌埠人，中國礦業(yè)大學應用數(shù)學專業(yè)研究生，研究方向：微分方程.