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    相依網(wǎng)絡(luò)在不同攻擊策略下的魯棒性

    2012-03-26 09:30:12劉潤然賈春曉章劍林汪秉宏
    上海理工大學(xué)學(xué)報 2012年3期
    關(guān)鍵詞:相依級聯(lián)魯棒性

    劉潤然, 賈春曉, 章劍林, 汪秉宏

    (1.杭州師范大學(xué)阿里巴巴商學(xué)院,杭州 310036;2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院,合肥 230026;3.上海理工大學(xué)復(fù)雜系統(tǒng)科學(xué)研究中心,上海 200093)

    1 相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性研究進(jìn)展

    隨著科學(xué)與技術(shù)的迅猛發(fā)展,各類基礎(chǔ)設(shè)施之間的耦合和依賴變得越來越強(qiáng)烈,如城市的供水系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、燃?xì)庀到y(tǒng)、交通系統(tǒng),以及通信系統(tǒng)之間都有著非常強(qiáng)的依賴關(guān)系[1-2].具體的例子有:電力系統(tǒng)與通信系統(tǒng)之間的相互依賴關(guān)系,電力系統(tǒng)需要電信系統(tǒng)進(jìn)行通信和調(diào)度,而通信系統(tǒng)又需要電力系統(tǒng)提供電力支持;類似的情況還有電力系統(tǒng)和鐵路交通系統(tǒng),鐵路交通系統(tǒng)需要電力系統(tǒng)提供電力支持,而一些火電廠又需要鐵路交通系統(tǒng)輸送能源與物資.一個系統(tǒng)受到一點(diǎn)點(diǎn)的擾動,可能會觸發(fā)其它系統(tǒng)的失效,進(jìn)而又會影響到自身,從而會給整個社會帶來災(zāi)難性的后果.例如,2003年9月23日的意大利大停電事件,就是由一個電力站的失效導(dǎo)致很多電力節(jié)點(diǎn)與整個電網(wǎng)的脫離,接著又導(dǎo)致很多互聯(lián)網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的失效,最終導(dǎo)致調(diào)度系統(tǒng)無法對整個電力網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行有效的調(diào)控,從而誘發(fā)了更大規(guī)模的電力節(jié)點(diǎn)的失效[1].另外一個國內(nèi)實(shí)例是在2008年春季,中國南方的雪災(zāi)導(dǎo)致電力網(wǎng)絡(luò)的失效,從而誘發(fā)了鐵路交通網(wǎng)絡(luò)的不暢,而鐵路運(yùn)輸?shù)牟粫秤謱?dǎo)致了部分電廠無法得到能源的補(bǔ)給,從而使電力系統(tǒng)和鐵路交通系統(tǒng)都難以恢復(fù)暢通,最終給華南的廣大地區(qū)帶來了非常嚴(yán)重的災(zāi)害.因此,對這類相依系統(tǒng)魯棒性的研究有著非常強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義[1-5].

    復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是研究復(fù)雜系統(tǒng)的有力工具之一,研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的魯棒性不但對于理解復(fù)雜系統(tǒng)的組織形式與功能之間的關(guān)系有著深刻的科學(xué)意義,而且為網(wǎng)絡(luò)的攻擊和保護(hù)提供了有效的理論依據(jù)[5-7].目前有關(guān)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)魯棒性的工作包括:基于滲流理論研究網(wǎng)絡(luò)在刪除部分節(jié)點(diǎn)后的連通性[8-11];基于過載節(jié)點(diǎn)失效過程的網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的耦合[12-19].然而,這些工作主要是關(guān)于單一網(wǎng)絡(luò)的,有關(guān)相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性的研究還比較少.2010年,Buldyrev等[1]在《Nature》雜志上首次發(fā)表了研究相依網(wǎng)絡(luò)魯棒性的著名論文,受到了極為廣泛的關(guān)注.該文提出了一個簡單的相依網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的模型,不但刻畫了相依網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的過程,而且發(fā)現(xiàn)相依網(wǎng)絡(luò)從連通態(tài)(有序)到破碎態(tài)(無序)是一個非連續(xù)相變過程,這與通常的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)座逾滲模型的連續(xù)相變有著很大不同.隨后的研究還發(fā)現(xiàn)降低相依網(wǎng)絡(luò)之間耦合還可以使相變現(xiàn)象從一級相變變成二級相變,這類似于水在發(fā)生氣液相變時的臨界現(xiàn)象[3].Huang等[4]研究了相依網(wǎng)絡(luò)在單側(cè)節(jié)點(diǎn)受到蓄意攻擊下的魯棒性,而董高高[20]研究了雙側(cè)節(jié)點(diǎn)受到蓄意攻擊下的魯棒性.然而,當(dāng)前有關(guān)同時考慮相依節(jié)點(diǎn)對權(quán)重的攻擊策略的研究還相對較少.本文研究了相依網(wǎng)絡(luò)在幾種攻擊策略下的魯棒性,并找出了最有效的攻擊策略,從而發(fā)現(xiàn)了相依網(wǎng)絡(luò)中最為脆弱的節(jié)點(diǎn).

    2 相依網(wǎng)絡(luò)的蓄意攻擊策略以及魯棒性

    2.1 相依網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)失效過程

    相依網(wǎng)絡(luò)可以形象地描述為相互依賴的系統(tǒng),由兩個網(wǎng)絡(luò)A和B組成.每個網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)由連接邊(connectivity links)連在一起,表示網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系.跨網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)由相依邊(dependency links)連在一起,表示網(wǎng)絡(luò)之間節(jié)點(diǎn)的相依關(guān)系[1,21].當(dāng)相依網(wǎng)絡(luò)中A或B網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)受到攻擊而失效的時候,網(wǎng)絡(luò)A或B會破碎成幾個碎片.該模型假定只有屬于網(wǎng)絡(luò)A或網(wǎng)絡(luò)B極大簇(giant component)的節(jié)點(diǎn)能夠保持功能,而屬于其它碎片的節(jié)點(diǎn)會失去功能.假定網(wǎng)絡(luò)A中部分節(jié)點(diǎn)受到初始攻擊而失效,網(wǎng)絡(luò)A會破碎為若干碎片,不屬于A網(wǎng)絡(luò)極大簇的節(jié)點(diǎn)也會失效.A網(wǎng)絡(luò)中的失效節(jié)點(diǎn)也會導(dǎo)致B網(wǎng)絡(luò)中相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)失效,從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)B的破碎,不屬于網(wǎng)絡(luò)B極大簇的節(jié)點(diǎn)也因此失效.再進(jìn)一步,B網(wǎng)絡(luò)中的失效節(jié)點(diǎn)也會導(dǎo)致A網(wǎng)絡(luò)中相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)失效,從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)A再次發(fā)生破碎.如此反復(fù)進(jìn)行下去,經(jīng)歷一定步數(shù)的迭代后(NOI),系統(tǒng)會達(dá)到穩(wěn)定.當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時,只有屬于互聯(lián)極大簇(網(wǎng)絡(luò)A中極大簇的節(jié)點(diǎn)和網(wǎng)絡(luò)B中極大簇的節(jié)點(diǎn)完全是由相依邊連在一起的)的節(jié)點(diǎn)才能保持功能.整個級聯(lián)失效的過程,如圖1所示[1].圖中,aij,bij(i,j=1,2,…,n)分別表示網(wǎng)絡(luò)A,B的節(jié)點(diǎn).在初始的情況下,A網(wǎng)絡(luò)的一個節(jié)點(diǎn)因受到攻擊而失效;在階段1,與該失效節(jié)點(diǎn)相連的邊被刪去,同時與之相依的B網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)也因此失效,與之相連的邊也被刪除,不屬于A網(wǎng)絡(luò)極大簇的節(jié)點(diǎn)a11,a12失效;在階段2,b21,b22因與失效節(jié)點(diǎn)a11,a12相依而失效,不屬于B網(wǎng)絡(luò)極大簇的節(jié)點(diǎn)b23失效;在階段3,B網(wǎng)絡(luò)中失效的節(jié)點(diǎn)b23又導(dǎo)致了A網(wǎng)絡(luò)的a33節(jié)點(diǎn)失效,整個系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài).

    圖1 相依網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的迭代過程Fig.1 Iterative process of a cascade of failures

    相依網(wǎng)絡(luò)中互聯(lián)極大簇是衡量相依網(wǎng)絡(luò)在受到攻擊后維持自身功能的重要指標(biāo),類似于滲流理論中的序參量極大簇,本文將互聯(lián)極大簇標(biāo)記為S.在接下來的部分,將重點(diǎn)研究相依隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)在不同攻擊策略下互聯(lián)極大簇隨著攻擊強(qiáng)度的變化而變化的規(guī)律.

    2.2 相依網(wǎng)絡(luò)的蓄意攻擊策略

    相依網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊策略下的魯棒性已經(jīng)有較為深入的理論研究,然而在相依網(wǎng)絡(luò)中,一個節(jié)點(diǎn)的失效會導(dǎo)致與之相依節(jié)點(diǎn)的失效.因此,一個節(jié)點(diǎn)對于維持整個網(wǎng)絡(luò)連通性的能力不僅與自身有關(guān),而且與它相依的節(jié)點(diǎn)有關(guān).本文對相依網(wǎng)絡(luò)中相依節(jié)點(diǎn)對進(jìn)行加權(quán),這里的權(quán)重假定就是這對節(jié)點(diǎn)對于維持相依網(wǎng)絡(luò)功能的重要性,然后依據(jù)它們的權(quán)重大小進(jìn)行攻擊.

    攻擊策略I:對A網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度進(jìn)行降序排列,攻擊排序靠前的比例為1-p的節(jié)點(diǎn),因此剩下比例為p的節(jié)點(diǎn)保留了下來.該策略僅僅考慮了單側(cè)節(jié)點(diǎn)的度.

    攻擊策略Ⅱ:對網(wǎng)絡(luò)A,B中相依邊兩端的相依節(jié)點(diǎn)對進(jìn)行加權(quán),第n對節(jié)點(diǎn)的權(quán)重是:Wn=其中表示A網(wǎng)絡(luò)中第n個節(jié)點(diǎn)的度表示B網(wǎng)絡(luò)中第n個節(jié)點(diǎn)的度.然后依據(jù)權(quán)重對這些節(jié)點(diǎn)對進(jìn)行排序,攻擊排序靠前且比例為1-p的節(jié)點(diǎn),保留比例為p的部分節(jié)點(diǎn).該策略同時考慮了相依節(jié)點(diǎn)度的特性.

    在這里,通過參數(shù)p可以調(diào)節(jié)對相依網(wǎng)絡(luò)的攻擊強(qiáng)度.在接下來的部分將展示網(wǎng)絡(luò)的互聯(lián)極大簇S隨參數(shù)p的變化規(guī)律.這里研究的相依網(wǎng)絡(luò)是由兩個ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)random networks)組成,兩個網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的相依關(guān)系是隨機(jī)建立的,也就是說網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)之間相依節(jié)點(diǎn)度的相關(guān)性等于0.

    2.3 相依網(wǎng)絡(luò)在不同攻擊策略下的魯棒性

    相依網(wǎng)絡(luò)在隨機(jī)攻擊下,互聯(lián)極大簇隨攻擊強(qiáng)度1-p的變化呈現(xiàn)一級(非連續(xù))相變的行為,這與經(jīng)典隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的座逾滲的二級(連續(xù))相變有著很大的不同.文中圖2~5的圖(a)展示了相依網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時的序參量S和參數(shù)p之間的關(guān)系;圖2~5的圖(b)展示了NOI與參數(shù)p的關(guān)系,圖(b)中的插圖展示了NOI在相變點(diǎn)處與網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N的關(guān)系.相依網(wǎng)絡(luò)中兩個網(wǎng)絡(luò)的平均度都為〈k〉=4,每條曲線都來自1 000次平均的結(jié)果.從圖2(a)可以發(fā)現(xiàn)在不同的系統(tǒng)規(guī)模下,所有的曲線可以相交于一點(diǎn).當(dāng)系統(tǒng)的規(guī)模N趨向于無窮大的時候,可以認(rèn)為互聯(lián)極大簇S可以從此點(diǎn)跳到0,此點(diǎn)可以近似于一級相變的相變點(diǎn).圖2(b)展示了相依網(wǎng)絡(luò)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時所經(jīng)歷的迭代步數(shù)(NOI).NOI在相變點(diǎn)附近有一個峰值,當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模達(dá)到無窮大時,NOI所對應(yīng)的p值就是一級相變的相變點(diǎn).另外,還可以發(fā)現(xiàn),NOI與網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N呈現(xiàn)冪函數(shù)的關(guān)系,也就是當(dāng)N趨近于無窮大時,NOI也趨向于無窮大.對于相依的兩個隨機(jī)網(wǎng)絡(luò),網(wǎng)絡(luò)破碎臨界值的理論結(jié)果為pc=2.455 407/〈k〉[1,22],因此對于平均度為4的相依網(wǎng)絡(luò),其發(fā)生破碎的臨界點(diǎn)pc=0.613 8,通過模擬可以驗(yàn)證這一結(jié)果.

    圖3中(見下頁),作者研究了相依網(wǎng)絡(luò)在攻擊策略I下的魯棒性,發(fā)現(xiàn)了與隨機(jī)攻擊類似的一級相變的現(xiàn)象,但是臨界點(diǎn)pc≈0.787,明顯超過隨機(jī)攻擊的臨界點(diǎn)pc=0.613 8,這說明相依網(wǎng)絡(luò)在蓄意攻擊策略下變得更加脆弱了.

    圖3 攻擊策略I下相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性Fig.3 Numerical simulations of interdependent networks under attack strategy I

    圖4研究了相依網(wǎng)絡(luò)在攻擊策略Ⅱ下的魯棒性,同樣發(fā)現(xiàn)了一級相變的現(xiàn)象.但是,臨界點(diǎn)pc≈0.816,明顯超過隨機(jī)攻擊與攻擊策略I的臨界點(diǎn),這說明相依網(wǎng)絡(luò)在此種攻擊策略下變得進(jìn)一步脆弱了.這個結(jié)果也證明了考慮相依節(jié)點(diǎn)對度之和的攻擊策略比考慮單側(cè)節(jié)點(diǎn)度大小的攻擊策略更有效.

    圖4 攻擊策略Ⅱ下相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性Fig.4 Numerical simulations of interdependent networks under attack strategyⅡ

    圖5研究了相依網(wǎng)絡(luò)在攻擊策略Ⅲ下的魯棒性,同樣發(fā)現(xiàn)了一級相變的現(xiàn)象,相變點(diǎn)pc≈0.818,與攻擊策略Ⅱ的pc≈0.816類似.這個結(jié)果進(jìn)一步證明了考慮相依節(jié)點(diǎn)對度特性的攻擊策略比考慮單側(cè)節(jié)點(diǎn)度大小的攻擊策略更有效.

    圖5 攻擊策略Ⅲ下相依網(wǎng)絡(luò)的魯棒性Fig.5 Numerical simulations of interdependent networks under attack strategyⅢ

    3 結(jié) 論

    本文比較了相依網(wǎng)絡(luò)在幾種攻擊策略下的魯棒性,發(fā)現(xiàn)了考慮相依節(jié)點(diǎn)對度特性的攻擊策略比考慮單側(cè)節(jié)點(diǎn)度特性的攻擊策略更有效.這項(xiàng)工作對于理解相依網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效的過程有著重要的作用,為找到相依網(wǎng)絡(luò)的弱點(diǎn)并進(jìn)行有效的保護(hù)和攻擊提供了有益的提示.但是,本文僅僅研究了相依隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性,其它復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)如無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)和小世界網(wǎng)絡(luò)的魯棒性還有待進(jìn)一步研究[5-7].此外,目前研究的是相依節(jié)點(diǎn)度不相關(guān)的網(wǎng)絡(luò),今后還將研究相依網(wǎng)絡(luò)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)的魯棒性[24].對于正相關(guān)的網(wǎng)絡(luò),度大的節(jié)點(diǎn)往往與度大的節(jié)點(diǎn)相依.在隨機(jī)攻擊下,這樣的網(wǎng)絡(luò)會更加穩(wěn)?。?5];在蓄意攻擊下,這樣的網(wǎng)絡(luò)顯然會更加脆弱.對于負(fù)相關(guān)的網(wǎng)絡(luò),相依節(jié)點(diǎn)對的度之和會變得更加均勻,這樣導(dǎo)致在蓄意攻擊下網(wǎng)絡(luò)是更加脆弱還是更加穩(wěn)健,這是一個值得研究的問題.還有需要注意的是,這里僅僅依據(jù)節(jié)點(diǎn)的度進(jìn)行加權(quán),是否有其它加權(quán)方法可以找到更加有效的攻擊手段,如節(jié)點(diǎn)的介數(shù),這又是一個非常值得研究的問題.

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