雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

邱清盈，舒勤業(yè)，馮培恩，朱肖虎，曹磊

(浙江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)系，浙江杭州310027)

環(huán)面蝸桿副傳動相對于普通圓柱蝸桿傳動，具有同時嚙合齒數(shù)多、嚙合時呈雙線接觸、接觸點的法向速度大、綜合曲率半徑大、接觸應(yīng)力小、易形成油膜等優(yōu)點，因此具有更高的傳動效率和承載能力，更長的使用壽命.環(huán)面蝸桿副傳動在冶金、采礦、軍工、化工、造船等領(lǐng)域已得到了廣泛的應(yīng)用.環(huán)面蝸桿按產(chǎn)型面的不同可分為直廓環(huán)面蝸桿、平面包絡(luò)環(huán)面蝸桿、錐面包絡(luò)環(huán)面蝸桿以及雙錐面包絡(luò)環(huán)面蝸桿，根據(jù)是否以一次包絡(luò)所得的滾刀產(chǎn)型面來加工蝸輪又可分為一次和二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動.

國內(nèi)外學(xué)者針對各種類型的蝸桿傳動副，在模型建立、嚙合性能分析、加工修型、優(yōu)化設(shè)計等各方面開展了長期的研究［1-4］.在環(huán)面蝸桿副的優(yōu)化設(shè)計方面，學(xué)者也做了相關(guān)的研究［5-9］，建立了各種不同類型，不同優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計模型.

雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動不僅具有環(huán)面蝸桿副的承載能力大、傳動效率高及使用壽命長的優(yōu)點，而且不易引起蝸桿邊齒頂變尖和根切等加工問題.在加工時，由于其左右側(cè)齒面同時進(jìn)行磨削，在生產(chǎn)效率方面也有很大的優(yōu)勢.但國內(nèi)外針對雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副的研究卻較少.本文以雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿作為研究對象，結(jié)合自主研發(fā)的加工和檢測設(shè)備，對該種環(huán)面蝸桿傳動進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，以期獲得一種比較通用的設(shè)計方法，使雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副達(dá)到更優(yōu)的性能.

1 雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副模型

選擇如圖1所示的坐標(biāo)系，建立蝸桿副的數(shù)學(xué)模型.其中σo1(O1;io1，jo1，ko1)為蝸桿靜坐標(biāo)系，σo2(O2;io2，jo2，ko2)為蝸輪靜坐標(biāo)系，σod(Od;iod，jod，kod)為刀座靜坐標(biāo)系.σo1、σo2、σod均與機(jī)架固連.σ1(O1;i1，j1，k1)、σ2(O2;i2，j2，k2)、σd(Od;id，jd，kd)分別與蝸桿、蝸輪、刀座固連.k1=ko1，k2=ko2，kd= kod.蝸桿轉(zhuǎn)角為φ1，蝸輪轉(zhuǎn)角為φ2，φ2=i21φ1，i21為蝸輪蝸桿的傳動比，初始位置φ1=φ2=0°，σ1與σo1重合，σ2與σo2重合.刀座轉(zhuǎn)角為φd，蝸桿毛坯轉(zhuǎn)角為φ，φd=id1φ，id1為刀座與蝸桿毛坯的速比，初始位置φ=φd=0°，σd與σod重合.

圖1 雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副的坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate system for dual-cone double enveloping hourglass worm gear pair

如圖2所示，砂輪的齒形角為αd，齒頂寬為sa.取坐標(biāo)系σa(Oa;ia，ja，ka)與砂輪固連.產(chǎn)形雙錐面Σd在σa里的方程為

式中:xa=－ucosαdcos θ+rdcos θ，ya=－ucosαdsin θ+ rdsin θ，za=±(usinαd+0.5sa).

式中:za取正，表示砂輪右側(cè);za取負(fù)，表示砂輪左側(cè).

在Σd任一點Q處的切平面上建立活動坐標(biāo)系σd(Q;αξ，aη，n).對式(1)進(jìn)行σa→σd坐標(biāo)變換，可得到產(chǎn)形雙錐面Σd在σd里的方程:

式中:R［id，－(90°－β)］的意義是表示矢量繞id轉(zhuǎn)過－(90°－β)角度的回轉(zhuǎn)矩陣.

式(2)通過σd→σod→σo1→σ1的轉(zhuǎn)換，最終可將產(chǎn)形面上的嚙合點在刀座動坐標(biāo)系中的位置表達(dá)，轉(zhuǎn)換到蝸桿動坐標(biāo)系:

一次包絡(luò)共軛條件方程為

根據(jù)式(4)，可求出砂輪上的嚙合點，將求得的嚙合點參數(shù)代入式(3)，即可得到在σ1里蝸桿上的各個接觸點.這些接觸點就組成了在σ1里的蝸桿螺旋面Σ1.

圖2 雙錐面砂輪在坐標(biāo)系中的位置Fig.2 The position of dual-cone grinding wheel at the coordinate system

雙錐面二次包絡(luò)蝸輪的加工過程，是以滾刀齒面作為成型面，進(jìn)行二次包絡(luò)對蝸輪齒面的成形.因此，建立蝸輪齒面模型即為求解二次包絡(luò)過程中產(chǎn)出的蝸輪齒面嚙合點.

通過σ1→σo1→σo2→σ2的轉(zhuǎn)換，可獲得嚙合點在蝸輪動坐標(biāo)系中的位置表達(dá):

蝸桿副二次包絡(luò)共軛條件方程為

根據(jù)式(6)，可求出滾刀上的嚙合點，將求得的嚙合點的參數(shù)代入式(5)中，即可得在σ2里蝸輪上的各個接觸點.而所有的接觸點就構(gòu)成了在σ2里蝸輪齒面Σ2.

2 優(yōu)化模型的建立

2.1 優(yōu)化參數(shù)的選擇

設(shè)計開發(fā)一套新的蝸輪蝸桿減速器，首先應(yīng)提出中心距a和傳動比i這2個基本條件.蝸桿的頭數(shù)z1和蝸輪的齒數(shù)z2根據(jù)傳動比i的要求進(jìn)行選擇.此外，針對雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動，還需要確定其他3個重要的參數(shù)，分別是蝸桿分度圓直徑系數(shù)k1、主基圓直徑系數(shù)k2和產(chǎn)型面傾角β.如表1所示，這3個參數(shù)又影響到蝸桿副其他的幾何參數(shù)，從而影響蝸輪蝸桿減速器的綜合性能.常規(guī)設(shè)計時，k1、k2和β都是根據(jù)經(jīng)驗在推薦的一定的范圍內(nèi)選取的，為此，本文選擇這3個參數(shù)作為所建立的優(yōu)化模型的優(yōu)化參數(shù)，即:

表1 雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副部分幾何參數(shù)Table 1 The geometric parameters of the dual-cone double enveloping hourglass worm gear pair

由第1節(jié)可知，蝸輪蝸桿副的齒面模型，與參數(shù)αd、sa、a0、β、a、rd有關(guān).其中a根據(jù)設(shè)計要求確定，rd根據(jù)加工的條件決定，均可設(shè)為一定值;αd、sa與蝸桿副中的主基圓直徑db、蝸桿分度圓壓力角α等密切相關(guān)，受優(yōu)化參數(shù)k2的影響;a0=a－0.5df1－rd，受優(yōu)化參數(shù)k1的影響;而β即為優(yōu)化參數(shù)之一.可見，蝸桿分度圓直徑系數(shù)k1、主基圓直徑系數(shù)k2和產(chǎn)型面傾角β這3個參數(shù)的選擇，對蝸桿副的齒面模型有著直接的影響.

2.2 優(yōu)化目標(biāo)

在現(xiàn)有的平面環(huán)面蝸桿優(yōu)化研究中，一般以提高潤滑性能和減小傳動副體積為優(yōu)化目標(biāo)，但只是以環(huán)面蝸桿的一次接觸性能為基礎(chǔ)進(jìn)行分析，沒有將環(huán)面蝸桿雙線接觸的傳動特性進(jìn)行綜合分析，而且也沒有考慮二次接觸線的分布位置.

本文對雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿優(yōu)化設(shè)計的研究，基于優(yōu)先提高性能的考慮，追求更高的傳動效率和更優(yōu)的承載能力2個方面性能.傳動效率主要取決于潤滑條件，可以蝸桿副傳動時的油膜厚度為參考因素，承載能力則受接觸線分布情況影響較大，因此選擇油膜厚度最厚、一次和二次接觸線分布范圍最廣作為優(yōu)化目標(biāo).

2.2.1 油膜厚度的幾何系數(shù)

根據(jù)彈性流體動壓潤滑理論，蝸桿副接觸齒面間油膜厚度，可按道森(Dowson)公式進(jìn)行計算:

式中:κ12N表示蝸桿副沿瞬時接觸線法向的誘導(dǎo)法曲率;W表示作用在單位齒寬上的載荷;Ch表示與潤滑油的運動粘度、壓粘系數(shù)及蝸桿蝸輪材料的彈性模量和泊松比有關(guān)的系數(shù);vn表示相對卷吸速度.

蝸桿副沿αξ和αη方向的誘導(dǎo)法曲率為

式中:Nξ和Nη為蝸桿副瞬時接觸線上任一點處的法矢量N沿αξ和αη方向的分量，Ψ為蝸桿副二次包絡(luò)曲率干涉界限函數(shù).

根據(jù)式(9)、(10)，可求出蝸桿副沿瞬時接觸線法向的誘導(dǎo)法曲率為

計算蝸桿副齒面間油膜厚度時，還需要求相對卷吸速度，即

式中:v1和v2分別為蝸桿副嚙合點處的蝸桿和蝸輪的線速度

在不考慮潤滑油和蝸輪蝸桿材料性質(zhì)，以及具體載荷的情況下，可選擇油膜厚度的幾何系數(shù)作為油膜厚度的評定參數(shù)［5］:

在蝸桿副不同的嚙合角度和蝸桿齒面不同的嚙合位置，油膜厚度的幾何系數(shù)各不相同.為了獲得最優(yōu)的潤滑條件，需要使接觸面間的最小油膜厚度最大.由于蝸桿副嚙入端蝸桿齒根處的油膜厚度最小，因此，以該位置處的油膜厚度幾何系數(shù)建立優(yōu)化目標(biāo)模型，即

2.2.2 接觸線分布

雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿具有雙線接觸的特性，包括一次接觸線和二次接觸線，其中一次接觸線是產(chǎn)型面上接觸線在蝸輪齒面上的再現(xiàn)，二次接觸線是滾刀加工蝸輪的過程中產(chǎn)生的新接觸線，傳動過程中2類接觸線同時作用.從工作起始角處開始，一次和二次接觸線由蝸輪兩側(cè)面逐漸向蝸輪中心對稱面附近移動.雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副的一次和二次接觸線在蝸輪齒面上的分布，不能過寬，也不能過窄.分布過寬時，工作起始角處的接觸線在蝸輪齒面的外側(cè)，這表示從工作起始角處開始的一定角度內(nèi)，蝸輪外側(cè)齒面未參與嚙合，這將減少參與嚙合的蝸輪齒數(shù)，從而降低了蝸桿副的承載能力.反之，當(dāng)接觸線在蝸輪齒面分布過窄時，接觸線會集中于蝸輪齒面的中心對稱面處，從而降低齒面強(qiáng)度，縮短了蝸桿副的使用壽命.

為了獲得較好的分布區(qū)域，即接觸線分布范圍和蝸輪齒面的重合度更高，需要使工作起始角處的接觸線，即最外側(cè)的接觸線，與蝸輪側(cè)面的距離越小越好.為了具有代表性，選擇該接觸線位于蝸輪分度圓處的接觸點為參考點建立目標(biāo)模型，即

式中:zj表示接觸線的位置方程，j=1表示一次接觸線，j=2表示二次接觸線，其計算見式(5);B表示蝸輪齒寬.

2.3 約束條件

如2.1節(jié)所述，與蝸桿分度圓直徑系數(shù)k1、主基圓直徑系數(shù)k2和產(chǎn)型面傾角β相關(guān)的約束主要考慮避免環(huán)面蝸桿根切和蝸桿齒頂變尖.

2.3.1 避免環(huán)面蝸桿根切

為了在加工環(huán)面蝸桿的過程中避免發(fā)生根切，需要保證一次包絡(luò)的曲率干涉界線Ψd在蝸桿齒根環(huán)面之內(nèi).為建模方便，只需要保證根切曲線與蝸桿齒根環(huán)面之間的最小徑向距離處不發(fā)生根切即可.經(jīng)計算分析，可得一次包絡(luò)曲率干涉界限在蝸輪齒面內(nèi)的變化，如圖3所示.

圖3 一次包絡(luò)曲率干涉界線Fig.3 Once-enveloping curvature interference limit line

曲率干涉界限徑向距離變化趨勢，如圖4所示.可見，在工作起始角處，對應(yīng)根切曲線的最右側(cè)位置，其徑向距離最小.所以選擇約束條件:

式中:L表示根切曲線與蝸桿齒根環(huán)面之間的最小徑向距離.

圖4 L隨φd的變化趨勢Fig.4 The curve of L and φd

2.3.2 避免蝸桿齒頂變尖

環(huán)面蝸桿與普通圓柱蝸桿相比，成型面在蝸桿齒面上的嚙合點隨著刀座轉(zhuǎn)角的變動而變動，所以蝸桿的齒頂寬度隨著刀座轉(zhuǎn)角變化.利用蝸桿左右兩側(cè)的齒面方程對蝸桿齒頂寬進(jìn)行計算［10］，可知蝸桿邊齒頂寬最小.為了避免蝸桿齒頂變尖，則需要保證:

式中:ks表示邊齒頂寬度系數(shù);sb表示邊齒頂寬;mt表示蝸輪端面模數(shù).

2.4 模型的建立與求解

通過以上優(yōu)化模型建立各要素的討論，可確定雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副多目標(biāo)優(yōu)化模型:

利用浙江大學(xué)機(jī)械設(shè)計研究所開發(fā)的柔性優(yōu)化軟件FlxOpt，建立上述優(yōu)化模型.設(shè)定油膜厚度的幾何系數(shù)和接觸線分布的權(quán)重各為0.5，而在油膜厚度幾何系數(shù)和接觸線分布中，又分別設(shè)定一次接觸線二次接觸線的權(quán)重為0.5，如圖5所示.

圖5 柔性優(yōu)化軟件FlxOpt界面Fig.5 Interface of the flexible optimization designing software FlxOpt

3 雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副優(yōu)化設(shè)計實例

設(shè)計的雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿傳動的中心距為a=75 mm，傳動比i=40，采用單頭蝸桿，蝸輪齒數(shù)為40.加工時，取砂輪半徑rd=100 mm.取原始優(yōu)化參數(shù)X=［0.35，0.63，10°］，經(jīng)優(yōu)化之后所得參數(shù)為X=［0.37，0.62，10.5°］.模型目標(biāo)經(jīng)優(yōu)化后結(jié)果如表2所示.

表2 優(yōu)化結(jié)果對照表Table 2 Comparison of optimization results

根據(jù)雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副的數(shù)學(xué)模型，選取u=0的位置，即蝸輪齒根處，對其油膜厚度幾何系數(shù)kh進(jìn)行計算分析，結(jié)果如圖6.對雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副的接觸線進(jìn)行計算分析，結(jié)果如圖7、8.

圖7中，線1及1'為工作起始角處(φ2=－17.7°)的一次接觸線和二次接觸線，線2～9和線2'～8'對應(yīng)的φ2從－14°以4°的增量遞增，最后線10為工作結(jié)束角處(φ2=17.7°)的一次接觸線.

圖8中表示了蝸桿副的雙線接觸性能.經(jīng)計算可知，優(yōu)化前當(dāng)φ2=－15.1°時，蝸輪齒面上開始出現(xiàn)二次接觸線，蝸桿副開始具有雙線接觸的性能，而當(dāng)φ2=13.2°時，齒面上的二次接觸線消失;而優(yōu)化后，當(dāng)φ2=－16.8°時，蝸輪齒面上開始出現(xiàn)二次接觸線，當(dāng)φ2=14.6°時，齒面上的二次接觸線消失.

由表2及圖6～8可見，經(jīng)過優(yōu)化后，雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副在約束的范圍內(nèi)，油膜厚度幾何系數(shù)有所提高，其接觸線分布范圍與蝸輪齒面的重合度也有所提高，并且還具有了更長的雙線接觸區(qū)域.

為了從實驗中對優(yōu)化模型的效用進(jìn)行分析，本文設(shè)計并搭建了用于實際數(shù)據(jù)測試的試驗平臺和數(shù)據(jù)處理系統(tǒng).其中試驗平臺設(shè)計方案如圖9所示.利用自主研制的雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副加工設(shè)備，根據(jù)優(yōu)化前后的設(shè)計參數(shù)，加工了2套用于對比實驗的環(huán)面蝸桿減速器.對這2套環(huán)面蝸桿減速器，采用相同的裝配和安裝方式，并且使用同種潤滑油.最后，利用搭建的蝸桿減速器試驗平臺對轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩和傳動效率進(jìn)行了測試.

經(jīng)過測試可以得到，雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副減速器在優(yōu)化前最高傳動效率為57.39%，而優(yōu)化后的最高傳動效率能夠達(dá)到62.56%.通過上述實驗數(shù)據(jù)可知，利用上述多目標(biāo)優(yōu)化模型，對雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副進(jìn)行優(yōu)化后，其傳動性能有了一定的提高，從而證明該優(yōu)化模型具有實際的效能.

圖6 優(yōu)化前后的油膜厚度幾何系數(shù)Fig.6 The geometrical coefficient of the oil film thickness before and after optimization

圖7 優(yōu)化前、后接觸線在齒面上的分布情況Fig.7 The distribution of the contact lines before and after optimization

圖8 優(yōu)化前、后蝸桿副雙線接觸性能分析Fig.8 Analysis of dual-line contact performance before and after optimization

圖9 試驗平臺設(shè)計方案Fig.9 Design of the test platform

4 結(jié)論

1)與普通圓柱蝸桿副相比，潤滑性能和雙線接觸體現(xiàn)了雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副優(yōu)越的傳動和承載性能，本文集中這2個方面的內(nèi)容為優(yōu)化目標(biāo)，建立了多目標(biāo)優(yōu)化模型.

2)在考慮潤滑性能這一優(yōu)化目標(biāo)時，選取油膜厚度的幾何系數(shù)作為油膜厚度的評定參數(shù).而在考慮承載能力這一優(yōu)化目標(biāo)時，不僅考慮了一次接觸線的分布，而且同時考慮了二次接觸線的分布情況.

3)通過理論分析和實驗測試對優(yōu)化前后的雙錐面二次包絡(luò)環(huán)面蝸桿副進(jìn)行了對比，驗證了該模型的有效性，為后續(xù)深入研究的開展提供了參考的方向.

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