基于粗糙性懲罰的變系數(shù)縱向數(shù)據(jù)模型的參數(shù)估計(jì)

郭海兵,李連慶

(1.淮海工學(xué)院 理學(xué)院，江蘇 連云港 222005；2.中國人民大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100872)

0 引言

傳統(tǒng)的線性模型

中，往往認(rèn)為回歸系數(shù)β是固定的，但是在一些問題中，這樣的假設(shè)很不合適。例如在縱向數(shù)據(jù)中，β表示某種藥品的邊際效用，顯然隨著時(shí)間的變化，單位藥品帶來的效用是在不斷的變化，甚至于病愈后這樣的效用是負(fù)的。Hastie(1993)通過很多的例子來揭示模型(1)的不足之處，并據(jù)此提出了變系數(shù)線性模型

1 參數(shù)估計(jì)及其性質(zhì)

2.1 一些符號標(biāo)記

其中:

這里假設(shè)所有的樣本信息都以提煉到模型之中了，誤差項(xiàng)只是一組白噪聲序列，也就是

1.2 參數(shù)估計(jì)

對于模型（5）中的變系數(shù)β() t的估計(jì)，通常使用非參數(shù)的方法。Fan(1999)和Xia(2004)等運(yùn)用局部線性多項(xiàng)式

將問題轉(zhuǎn)化成局部最小二乘估計(jì)，并且證實(shí)了具有很好的漸進(jìn)性質(zhì)，但是估計(jì)的過程中涉及到兩個(gè)量——帶寬（bandwidth）和權(quán)重（weight）的選擇和優(yōu)化是非常困難的事情。Hoover（1998）等人在使用了B樣條的方法進(jìn)行了估計(jì)，但是該法對節(jié)點(diǎn)t0的要求比較高，當(dāng)節(jié)點(diǎn)的間隔不等距的時(shí)候，計(jì)算過程帶來很大的困難。本文考慮如下基于粗糙性的懲罰似然函數(shù)的估計(jì)量

其中,q=n1+n2+…+nm,K1=…=Kp=K*,于是（7）式可以寫成

解之得

綜上，可以得到如下結(jié)論：

定理1變系數(shù)縱向數(shù)據(jù)模型(5)關(guān)于粗糙性懲罰似然函數(shù)（8）的估計(jì)量為:

其中:

1.3 估計(jì)量的數(shù)字特征

定理2定理1中的估計(jì)量的期望和協(xié)方差陣分別為:

證明：由于

而

帶入(10)式，可以得到(11)的前面部分。又因?yàn)?/p>

2 模擬計(jì)算

考慮模擬如下的模型：

圖1 光滑參數(shù)關(guān)于MSE的三維圖

圖2 三維等高線

圖1和圖2分別為光滑參數(shù)λ1,λ2關(guān)于MSE的三維圖和等高曲線圖。從中可以看出，MSE隨光滑參數(shù)λ1和λ2的增加逐漸減少，并且當(dāng)兩者接近于2時(shí)候，即接近于穩(wěn)定。因此，光滑參數(shù)的選擇上可以運(yùn)用網(wǎng)格搜索的方法來實(shí)現(xiàn)。

表1 均方誤差關(guān)于me的比較

表1給出了不同的光滑參數(shù)組合下，分別進(jìn)行30次、100次和200次模擬的得到MSE、MSE1和MSE2的平均值。從表1可以看出，隨著模擬次數(shù)的增加，誤差在逐漸的減少，隨著光滑系數(shù)的增加誤差也在減少；并且當(dāng)λ1,λ2很小的時(shí)候，不同的組合，對于誤差的影響較大；兩者取值較大時(shí)，不同組合影響在減小。

圖3 β1模擬結(jié)果

圖4 β2的模擬結(jié)果

圖3和圖4分別是β1和β2的模擬結(jié)果，從左到右依次為30次、100次和200次模擬的平均值。其中實(shí)線為真實(shí)值，虛線為估計(jì)值。

[1]Hastie,T.J.,Tibshriani,R.J.Varying-Coefficient Model[J]J.Roy.Statist. Soc.,1993,(B55).

[2]Hoover,D.R.,Rice,J.A.,Wu,C.O.,Etal.Noparametric Smoothing Estimates of Time-Varying Coefficient Models with Longitudinal Data[J]. Biometrika,1998,(85).

[3]Fan,J.Q.,Zhang,W.Y.Statistical Estimation In Varying Coefficient Models[J].Ann.Statist.,1999，(33).

[4]Xia,Y.,Zhang,W.,Tong,H.Efficient Estimation for Semivarying-Coefficient Models[J].Biometrika，2004,(91).

[5]Li,Z.X.,Xu,W.L.,Zhu,L.X.Influence Diagnostics and Outlier Tests for Varying Coefficient Mix Models[J].Journal of Multivariate Analysis，2009,(100).

[6]Green,P.J.,Silverman,B.W.Nonparametric Regression Generalied Linear Model[M].London:Chapman and Hall,1994.

[7]唐慶國,王金德.縱向變系數(shù)模型中的減元估計(jì)法[J].中國科學(xué)A輯,2008，(38).