基于圖形的黑體輻射三大基本定律關(guān)系闡述

徐代升 王元樟

（廈門理工學(xué)院數(shù)理系；廈門理工學(xué)院光電工程技術(shù)研究中心，福建 廈門 361024）

某一溫度目標的光譜輻射出射度分布曲線、給定波段輻射出射度、總輻射出射度、給定波段輻射出射度與總輻射出射度比、指定波長輻射出射度、峰值輻射波長及峰值輻射出射度等這些光電探測系統(tǒng)設(shè)計過程中，對探測對象——目標熱輻射特性的分析計算所必須知曉的參數(shù)，是光電探測系統(tǒng)設(shè)計中首先要涉及的技術(shù)問題.黑體輻射的三大基本定律，即普朗克輻射公式、維恩位移定律和斯忒藩－玻爾茲曼定律，是分析光源輻射特性的理論基礎(chǔ).因此在光電技術(shù)、光輻射測量原理與技術(shù)、光學(xué)傳感與測量、照明工程等許多課程中都會涉及三大基本定律的教學(xué).但是，近年出版的許多教材［1～3］，在論述上述三大定律時，篇幅都比較少，大多直接給出結(jié)論，沒有充分闡明每一個定律的物理含義及它們之間的相互關(guān)系.如果教師在教學(xué)時照本宣科，那么學(xué)生掌握黑體輻射三大基本定律的效果肯定不佳，更談不上在處理光電工程問題時，靈活應(yīng)用這三個基本定律了.筆者應(yīng)用相關(guān)課題研究成果，在有關(guān)課程中講述三大定律時，從普朗克輻射公式作圖出發(fā)，結(jié)合圖形闡述三大定律的物理含義、彼此間的相互關(guān)系以及在工程實踐中靈活應(yīng)用的問題.

1 普朗克輻射公式及其作圖

現(xiàn)在的教材在講述普朗克輻射公式時，基于課時和學(xué)生基礎(chǔ)不夠的緣由，一般都不對其作推導(dǎo)（如采用經(jīng)典量子統(tǒng)計方法），而是直接給出公式的表達式.普朗克輻射公式所表達的是黑體的光譜輻射出射度，其表達式為

其中，Mbλ為黑體的光譜輻射出射度（W·m－2·μm－1）；λ 為波長（μm）；T 為溫度（開爾文溫度、K）；k為玻爾茲曼常數(shù)（k＝1.380662×10－23J·K－2）；c1為第一輻射常數(shù)（c1＝3.741832×10－16W·m2）；c2為第二輻射常數(shù)（c2＝1.438786×10－2m·K）.

教學(xué)時若只是對著式（1）來解釋普朗克輻射公式，一般來說學(xué)生會聽得“云里霧里”.為了真正讓學(xué)生了解普朗克輻射公式，下面通過編程作圖來闡明.前面已說明普朗克輻射公式所表達的是黑體的光譜輻射出射度，為此以波長λ為橫坐標，Mbλ為縱坐標，輻射溫度T 為變量，用Matlab［4］編程給出的Mbλ、λ、T 三者的關(guān)系圖.

程序代碼如下［5］：

圖1是上述Matlab代碼編譯后給出的Mbλ、λ、T 三者的關(guān)系圖，圖中所有的標注、連線都是由程序給出的.

圖1 各種溫度下的黑體光譜輻射出射度曲線

從圖1中的曲線可以明顯地看出黑體輻射的一些特性，并由此建立普朗克輻射公式與維恩位移定律和斯忒藩－玻爾茲曼定律的關(guān)系.

2 維恩位移定律

由圖1可知，黑體光譜輻射出射度Mbλ隨波長λ 連續(xù)變化，某一輻射溫度下對應(yīng)的一條曲線有一個極大值，即該輻射溫度下黑體的峰值輻射出射度，峰值所對應(yīng)的波長叫峰值波長λm.對于連續(xù)曲線，由數(shù)學(xué)知識可知，對其求導(dǎo)并令其為零，可求出曲線的極值點.因此用普朗克公式對波長求導(dǎo)，并令其為零，可推導(dǎo)出峰值波長λm與黑體絕對溫度T 的關(guān)系表達式

此式即維恩位移定律.圖1中的點劃線就是峰值波長的連線.從峰值波長的連線可以看出，隨著溫度的升高，峰值波長減小，即隨溫度升高，黑體輻射中包含的短波部分所占的比例增加.

在光電探測系統(tǒng)中，可利用維恩位移定律計算出輻射源（目標）某一溫度下的峰值波長，從而確定選用的紅外探測器響應(yīng)的峰值波長，實現(xiàn)所謂“光譜匹配”.從圖1中還可以看出，峰值波長左右兩邊一定波長范圍內(nèi)，是給定溫度下黑體或近似黑體物體輻射出射度最多的波段，因此，維恩位移定律還有助于選用探測器實現(xiàn)所謂“波段匹配”.通常把地面目標看成輻射溫度為300K 的灰體，則其峰值輻射波長為9.6593μm，所以通常選用在波長范圍為8～12μm（也考慮了大氣窗口因素）響應(yīng)度較高的探測器，如MCT，作為其探測裝置的優(yōu)選傳感器.關(guān)于這點，下面論述波段輻射出射度如何計算時還將進一步說明.

3 斯忒藩－玻爾茲曼定律

從圖1還可以看出，黑體的輻射特性只與黑體的絕對溫度有關(guān).圖1中各條曲線彼此不相交，溫度越高，在所有波長上的光譜輻射出射度也越大.反之亦然.由積分概念可知，圖1 中每條曲線下的面積代表黑體在給定溫度下總的輻射出射度.因此把普朗克公式對波長從0到∞積分，就可得出黑體總的輻射出射度與溫度的關(guān)系

其中，σ＝（5.67032±0.00071）×10－12（W·cm－2·K－4），是斯忒藩－玻爾茲曼常量.式（3）即斯忒藩－玻爾茲曼定律.該定律表明，黑體總的輻射出射度與溫度的四次方成正比，因此，當(dāng)溫度T 有很小的變化時，就會引起輻射出射度的很大變化.這一點從圖1每條曲線下的面積也可以看出，隨著溫度的升高，曲線下包圍的面積顯著增大，即意味著黑體總的輻射出射度隨溫度升高而迅速增大.

4 黑體目標波段輻射出射度計算

式（3）斯忒藩－玻爾茲曼定律給出的是黑體目標總的輻射出射度.實際工程應(yīng)用中，更關(guān)心的是得到某一溫度下某一波段λ1～λ2范圍內(nèi)的輻射出射度以及該波段內(nèi)的輻射功率占總輻射功率的百分比.從的本意來講，它應(yīng)為

但是上式的實際積分十分復(fù)雜，寫不出顯性表達式.為了計算這一參數(shù)，人們探索了許多巧妙的方法，甚至出版了厚達幾百頁的黑體輻射特性數(shù)據(jù)表這樣的書［6］，供設(shè)計者在工程實踐中查表使用.

數(shù)值積分方法可通過構(gòu)造函數(shù)調(diào)用所選程序設(shè)計語言中的相關(guān)函數(shù)來進行，這里在保證計算精度的要求下，通過設(shè)定積分步長選用矩形積分法進行，具體實現(xiàn)方法可參考筆者研究成果，參見文獻［7］.圖3是由文獻［7］所述熱輻射可視化計算軟件給出的4980K 黑體輻射目標、輻射波段為0.2～4.2μm 的波段輻射出射度的結(jié)果.對于4980K 黑體輻射目標，輻射波段為0.2～4.2μm時，其，占總輻射出射度的比例為98.69%.

在進行光電探測器選擇時，“光譜匹配”一般不可能完全滿足，這時就應(yīng)盡可能使選用的探測器響應(yīng)的波段范圍位于目標輻射體峰值輻射波長的兩側(cè)，響應(yīng)波段范圍內(nèi)的輻射出射度占總輻射出射度的比例盡可能多，即“波段匹配”.目前在聚光光伏太陽能系統(tǒng)中，正大力開發(fā)三界面InGaP/GaAs/Ge太陽能電池，來擴大對太陽光波長的吸收范圍（可吸收300～1500nm 波長）以提高太陽能電池的轉(zhuǎn)化效率，就是具體的應(yīng)用例子.

圖2 波段輻射出射度計算區(qū)域

圖3 4980K黑體目標輻射特性計算結(jié)果

5 結(jié)束語

黑體輻射三大定律及目標輻射體波段輻射出射度的計算問題解決，有助于光電探測系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計.文中從普朗克輻射公式出發(fā)，先運用可視化編程語言對公式作圖，然后對Mbλ、λ、T 三者的關(guān)系從圖像上進行深刻闡述，不僅較為直觀地建立了普朗克輻射公式和維恩位移定律、斯忒藩－玻爾茲曼定律之間的聯(lián)系，而且進一步加深了對三個定律物理意義的理解.特別是從圖形出發(fā)，運用數(shù)值計算方法，求解得到工程實踐中所關(guān)心的某一溫度下某一波段λ1～λ2范圍內(nèi)的輻射出射度Mλ1～λ2.將上述科研工作的思路在課堂教學(xué)時非常明白地告知學(xué)生，這對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、引導(dǎo)學(xué)生深刻領(lǐng)會所學(xué)知識、靈活在工程中運用所學(xué)知識，拓展學(xué)生的創(chuàng)新思維都是大有裨益的.

［1］金偉其，胡威捷.輻射度 光度與色度及其測量［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2009.36～39

［2］肖輝，汪鐳，金立軍等.電器照明技術(shù)［M］2版.北京：機械工業(yè)出版社，2010.28～30

［3］江文杰，曾學(xué)文，施建華.光電技術(shù)［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.51～54

［4］張兆禮，趙春暉，梅曉丹.現(xiàn)代圖像處理技術(shù)及Matlab實現(xiàn)［M］.北京：人民郵電出版社，2001

［5］徐代升，陶家友，陳松.基于Matlab的黑體輻射特性分析［J］.湖南理工學(xué)院學(xué)報，2008，21（4）：35～38

［6］朱煥文，劉賢詩，鄭親波等.黑體輻射數(shù)據(jù)表［M］.北京：科學(xué)出版社，1984

［7］徐代升，賈明，朱華杰等.目標熱輻射特性的可視化計算［J］.大氣與環(huán)境光學(xué)學(xué)報，2007，2（4）：284～289