基于模態(tài)參數(shù)的模型縮減及結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析＊

（武漢理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院 武漢 430063）

隨著彈性結(jié)構(gòu)幾何形狀的復(fù)雜化，體積大型化，各種復(fù)雜的邊界條件以及受力狀態(tài)以及較高的求解精度的要求（如船舶柴油機結(jié)構(gòu)），對結(jié)構(gòu)進行有限元動力學(xué)分析時，往往需要精細的單元劃分，使得彈性結(jié)構(gòu)的自由度達到幾十到幾百萬個．這樣的現(xiàn)實作為一種推動因素，一方面促進了計算機容量的增加和計算機計算能力的加強，另一方面促進了各種模型縮減技術(shù)的發(fā)展［1－4］．

在眾多的模型縮減技術(shù)中，本文主要研究在單點激勵－單點響應(yīng)（SISO）的情況下，由彈性結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)（固有頻率和振型）所表達的模型縮減技術(shù)，及其在結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中的應(yīng)用．本文以一懸臂梁為例，演示了模態(tài)參數(shù)模型縮減技術(shù)的過程，然后，對于縮減后的模型分別在頻域和時域?qū)Y(jié)構(gòu)進行了動力學(xué)分析，計算結(jié)果與有限元分析的結(jié)果進行了對比，驗證了模態(tài)參數(shù)模型縮減技術(shù)的正確性和有效性．

1 基本理論

對于具有n個自由度的結(jié)構(gòu)，其基本的動力學(xué)方程為

式中：M，K，C分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣，其中阻尼矩陣C為瑞利阻尼，滿足：C＝αM＋βK；X為結(jié)構(gòu)的自由度向量，X＝［X1，X2，…，Xn］T；F 為外力向量，F(xiàn)＝ ［F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n］T．

為了得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，即固有頻率和振型參數(shù)，令式（1）中的F＝0和C＝0，得到式（1）的齊次方程．則該齊次方程的解可以表示為：X＝φejωt，其2階導(dǎo)數(shù)為：¨X＝－ω2ejωt．將 X 和¨X 代入式（1）的齊次方程中，有

通過求解方程（2），可以得到結(jié)構(gòu)的n個固有頻率和振型，其固有頻率矩陣Ω和振型矩陣Φ表示如下：

式中：ωi為第i階固有頻率；φi為ωi所對應(yīng)的第i階振型．

當(dāng)將方程（1）展開為n個獨立的方程時，在自由度之間存在耦合，使得方程（1）求解困難，為此可以利用振型向量之間的正交性，對方程（1）中的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣進行解耦，使矩陣成為標(biāo)準(zhǔn)的對角矩陣形式．為了使用模態(tài)參數(shù)來表示解耦后的對角矩陣，需要對振型矩陣Φ進行歸一化處理，這里采用的歸一化處理方法為加權(quán)振型法［5］．令Φ為經(jīng)過處理后的加權(quán)振型，則加權(quán)振型Φ使得方程（1）中的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣具有如下形式．

則此時，瑞利阻尼矩陣為

為了將方程（1）從物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成模態(tài)坐標(biāo)來表示，令X＝ΦY，并對方程中每一項前面乘以ΦT，則此時式（1）為

式（8）展開后的非耦合方程的一般形式為

對式（8）進行拉氏變換，并令初始條件為0．則有

因為只是研究單點激勵－單點相應(yīng)（SISO）的情況，故只研究單個輸入的情況，則對任意施加的單個外力Fi：

將上式除以Fi，則可以得到由Ewins所提出的著名由模態(tài)參數(shù)縮減模型所表達的傳遞函數(shù)公式：

式（15）表明：對于具有n個自由度的復(fù)雜有限元模型，在單點激勵－單點響應(yīng)（SISO）的情況下，只要得到結(jié)構(gòu)的n階固有頻率和模態(tài)振型矩陣中激勵點和響應(yīng)點所對應(yīng)的自由度的行向量，就可以建立激勵點和響應(yīng)點之間的傳遞函數(shù)表達式，實現(xiàn)模型的縮減．

2 算 例

以一懸臂梁結(jié)構(gòu)為例來表示方程（13）在結(jié)構(gòu)自由度縮減以及動力學(xué)分析的過程．懸臂梁結(jié)構(gòu)的幾何尺寸以及有限元模型的節(jié)點排列如圖1所示，梁單位的材料屬性如表1所列．

圖1 懸臂梁的幾何尺寸和有限元模型節(jié)點排列

在圖1中，·表示建立的梁單元有限元模型的節(jié)點，節(jié)點均勻分布，固定端的節(jié)點編號為1，自由端的節(jié)點編號為11，中間節(jié)點按照從左到右，從小到大依次排列．

表1 梁單元的材料屬性

2.1 模態(tài)參數(shù)傳遞函數(shù)的計算

對圖1所示的懸臂梁結(jié)構(gòu)進行有限元模態(tài)計算，取前10階模態(tài)．計算中將各節(jié)點的y方向的自由度設(shè)置成主自由度，結(jié)構(gòu)的阻尼對結(jié)構(gòu)的響應(yīng)有很大的影響［6］，將各階振型的阻尼比設(shè)置成相同值，令ξi＝0．01．為了應(yīng)用式（15），只提取所關(guān)心節(jié)點的模態(tài)振型向量，分2種情況：（1）激勵點和響應(yīng)點為同一節(jié)點，如節(jié)點11；（2）激勵點和響應(yīng)點為不同的節(jié)點，如節(jié)點11和節(jié)點5．則模態(tài)計算后所得到的固有頻率和振型使用向量表示為：

節(jié)點5和節(jié)點11的模態(tài)振型向量分別為：

1）激勵－響應(yīng)均在節(jié)點11時，將模態(tài)頻率ω、阻尼比ξi＝0．01，以及振型向量X11代入式（15），得到節(jié)點11處的傳遞函數(shù)公式，以sys01表示（略）．

2）激勵－響應(yīng)在節(jié)點11和節(jié)點5時，將模態(tài)頻率ω、阻尼比ξi＝0．01，以及振型向量X11和X5代入式（15），得到節(jié)點11和節(jié)點5之間的傳遞函數(shù)公式，以sys02表示（略）．

2.2 運用模態(tài)參數(shù)模型進行動力學(xué)分析

在得到由懸臂梁的模態(tài)參數(shù)表示的激勵點與響應(yīng)點之間的傳遞函數(shù)表達式后，就能夠?qū)冶哿航Y(jié)構(gòu)進行動力學(xué)分析，分別在頻域和時域進行分析．為了驗證分析的結(jié)果，將傳遞函數(shù)分析的結(jié)果與有限元分析的結(jié)果進行對比．在動力學(xué)分析中，均是在節(jié)點11對結(jié)構(gòu)在y方向上進行激勵，得到節(jié)點11和節(jié)點5上的響應(yīng)．

1）頻域分析 在懸臂梁的節(jié)點11處施加激勵，做諧響應(yīng)分析，分別獲取節(jié)點11和節(jié)點5處的幅頻特性得到FRF．對于由模態(tài)參數(shù)表示的傳遞函數(shù)sys01和sys02，采用MATLAB的Bode函數(shù)［7］繪制傳遞函數(shù)的幅頻特性得到FRF．兩種方法得到的FRF見圖2．

圖2 有限元分析和由模態(tài)參數(shù)表示的FRF之間的比較

2）時域分析 在懸臂梁的節(jié)點11處施加y方向向下的半正弦的激勵，該激勵幅值為100N，作用時間為0．001s，分別獲取節(jié)點11和節(jié)點5上的y方向的位移響應(yīng)歷程，位移響應(yīng)結(jié)束時間為0．03s．同樣的半正弦激勵也施加于傳遞函數(shù)sys01和sys02．半正弦激勵的時間歷程如圖3所示，兩種方法得到的時間響應(yīng)歷程見圖4．

圖3 半正弦激勵的時間歷程

3 分析與結(jié)論

通過前一節(jié)對于基于模態(tài)參數(shù)傳遞函數(shù)模型以及有限元模型在時域和頻域計算結(jié)果的分析，可以得到如下結(jié)論：在單點激勵－單點響應(yīng)（SISO）情況下：（1）兩種方法在時域和頻率中的計算結(jié)果具有非常好一致性，表明了模態(tài)參數(shù)傳遞函數(shù)模型的正確性；（2）模態(tài)參數(shù)傳遞函數(shù)模型能夠給出結(jié)構(gòu)激勵與響應(yīng)之間的具有緊湊形式的表達式，這是通過有限元分析計算無法達到的；（3）與有限元模型相比較，模態(tài)參數(shù)傳遞函數(shù)模型能夠通過數(shù)值計算軟件（如MATLAB）對結(jié)構(gòu)進行后續(xù)各種動力學(xué)分析，而且計算結(jié)果具有很高的精度．

本文在SISO的前提下，研究基于模態(tài)參數(shù)的模型縮減技術(shù)縮減模型的自由度以及進行動力學(xué)分析的方法，是以簡單的懸臂梁結(jié)構(gòu)，且在單一方向上為例進行說明．而對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，節(jié)點個數(shù)和自由度較多的彈性結(jié)構(gòu)，因為每個節(jié)點在空間都具有6個自由度，在運用模態(tài)參數(shù)縮減技術(shù)時，對于每個節(jié)點各個方向上的自由度，只要根據(jù)式（1）中的自由度向量的X表達式，合理的對自由度進行組合形成列向量，后面的數(shù)據(jù)處理方法和本文所演示的方法完全一樣．模態(tài)參數(shù)模型縮減技術(shù)的進一步研究包括如何縮減模型的模態(tài)階數(shù)，以及多點激勵－多點響應(yīng)（MIMO）下的應(yīng)用．

圖4 有限元分析和由模態(tài)參數(shù)所得到的傳遞函數(shù)所計算蝗位移時間歷程之間的比較

［1］王文亮，杜作潤．結(jié)構(gòu)振動與動態(tài)子結(jié)構(gòu)方法［M］．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1985：275－399．

［2］EWINS D J．Modal testing：theory and practice［M］．UK：Research Studies Press，1984．

［3］KOUTSOVASILIS P，BEITELSCHMIDT M．Comparison of model reduction techniques for large mechanical systems［J］．Multibody Syst Dyn．，2008，20：111－128．

［4］ZDEGAN A H，ZILOUCHIAN A．Model reduction of large－scale discrete plants with specified frequency domain balanced structure［J］．Journal of Dynamics Systems，Measurement and Control ASME，2005，127：486－498．

［5］THOMSON W T，DAHLEH M D．Theory of vibration with applications（fifth edition）［M］．Pearson Education，Ins，2005：178－180．

［6］張開銀，劉亞軍．結(jié)構(gòu)動力學(xué)應(yīng)用中若干基本概念的探討［J］．武漢理工大學(xué)學(xué)報：交通科學(xué)與工程版，2010，34（6）：1124－1128．

［7］BISHOP R H．Modern control systems analysis and design using MATLAB［M］．Addison－Wesley Pbulishing Company，Inc，1993．