遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈中制導(dǎo)策略的分析和評(píng)估

王煬，唐碩

(西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，陜西西安 710072)

引言

現(xiàn)有文獻(xiàn)中關(guān)于遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈中制導(dǎo)策略的分析和評(píng)估工作主要存在3個(gè)問題:(1)中制導(dǎo)策略難以在縱向和側(cè)向平面內(nèi)同時(shí)具有較好的飛行性能［1-5］;(2)目標(biāo)在導(dǎo)彈中制導(dǎo)階段的逃逸效果不佳，使評(píng)估結(jié)果的可信性受到很大影響［3］;(3)只比較中制導(dǎo)段的飛行時(shí)間、末端速度或交班精度，不能全面地反映制導(dǎo)性能的優(yōu)劣［4］。

本文首先在側(cè)向平面內(nèi)選擇顯式制導(dǎo)方案，在縱向平面內(nèi)利用奇異攝動(dòng)理論對(duì)導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，再利用最優(yōu)控制理論分別優(yōu)化設(shè)計(jì)了兩個(gè)平面內(nèi)的制導(dǎo)方案，可以使遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈的中制導(dǎo)段在縱向和側(cè)向平面內(nèi)都具有較好的飛行性能。然后，通過分析目標(biāo)速度偏角與導(dǎo)彈攻擊脫靶量的關(guān)系，得到目標(biāo)飛行的最大脫靶量方向，也即目標(biāo)的最有效逃逸方向，改善目標(biāo)在導(dǎo)彈中制導(dǎo)階段的逃逸效果，提高評(píng)估結(jié)果的可信性。最后，對(duì)靜止目標(biāo)計(jì)算中制導(dǎo)策略對(duì)應(yīng)的射程范圍以及范圍內(nèi)目標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的中制導(dǎo)段的飛行時(shí)間和末端能量，分析中制導(dǎo)策略的飛行性能，對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)求解導(dǎo)彈的最大攻擊區(qū)，評(píng)價(jià)中制導(dǎo)策略的攻擊能力，從而比較全面地反映中制導(dǎo)策略的綜合性能。

1 中制導(dǎo)策略的評(píng)估模型

1.1 遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈和目標(biāo)的模型

用于評(píng)估中制導(dǎo)策略的是某型以火箭發(fā)動(dòng)機(jī)為動(dòng)力的遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈，初始高度10 km，初始速度Ma=0.8，最大射程100 km，最大飛行高度25 km，最大飛行速度1 000 m/s，最大法向過載40。

遠(yuǎn)程空戰(zhàn)主要打擊敵方預(yù)警機(jī)、電子干擾機(jī)、轟炸機(jī)等高價(jià)值目標(biāo)，目標(biāo)飛行空域較廣，飛行速度不高，機(jī)動(dòng)性能不強(qiáng)。不失一般性地選擇目標(biāo)的飛行高度為5～20 km，飛行速度Ma=0.8，最大法向過載3。導(dǎo)彈和目標(biāo)機(jī)在水平面內(nèi)的位置關(guān)系可以通過水平相對(duì)距離R、目標(biāo)相對(duì)導(dǎo)彈的方位角λm以及導(dǎo)彈相對(duì)目標(biāo)的方位角λt來描述，相關(guān)定義可以參考文獻(xiàn)［6］。

1.2 遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈的混合中制導(dǎo)策略

1.2.1 側(cè)向平面的制導(dǎo)策略

根據(jù)顯示制導(dǎo)律，可以確定導(dǎo)彈在水平面內(nèi)一種可行的加速度變化過程為:

式中，ah，Vh和rh分別為水平面內(nèi)的導(dǎo)彈加速度、速度和位置矢量;K1和K2為制導(dǎo)系數(shù);tg為剩余飛行時(shí)間;角標(biāo)0和f分別為初始時(shí)刻和終端時(shí)刻的狀態(tài)。

然后選擇水平方向末端速度的最大值為性能指標(biāo)，取控制量為水平飛行軌跡的曲率κ，它和加速度矢量ah的近似關(guān)系為:

式中，φ為速度偏角;δ為水平速度矢量相對(duì)于水平目標(biāo)視線的前置角。最后，利用最優(yōu)控制理論，得到

式(1)中的制導(dǎo)系數(shù)為:

式中，F(xiàn)為與導(dǎo)彈氣動(dòng)力、推力和狀態(tài)量相關(guān)的制導(dǎo)參數(shù)［5］。

1.2.2 縱向平面的制導(dǎo)策略

利用奇異攝動(dòng)理論，可以把導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)按4個(gè)時(shí)間尺度進(jìn)行分類，如表1所示。

表1 狀態(tài)變量的時(shí)間常數(shù)和時(shí)間尺度分類

表中，X，Y，E，H，φ 和 γ 分別表示導(dǎo)彈的縱向位置、側(cè)向位置、比能、高度、速度偏角和速度傾角;L和D分別表示升力和阻力;m表示質(zhì)量;g表示重力加速度常量;Rmax，Vmax，Hmax和Lmax都是與任務(wù)相關(guān)的特征參數(shù)，分別表示導(dǎo)彈的最大射程、最大飛行速度、最大飛行高度以及最大升力。

在最慢的時(shí)間尺度上忽略快變量H，φ和γ的動(dòng)態(tài)過程，將H作為控制量，利用最優(yōu)控制理論得到最優(yōu)的飛行高度H1滿足:

最后，在快變時(shí)間尺度上以L作為控制量，利用最優(yōu)控制理論得到平衡重力以外的升力部分為:

式中，D1為升力與重力相等時(shí)對(duì)應(yīng)的阻力大小;V1為H1對(duì)應(yīng)的導(dǎo)彈速度;mav為導(dǎo)彈的平均質(zhì)量。

然后，在慢變時(shí)間尺度上忽略快變量φ和γ的動(dòng)態(tài)過程，把γ作為控制量，利用最優(yōu)控制理論得到最優(yōu)的速度傾角γ2為:

式中，S為氣動(dòng)參考面積;Q為動(dòng)壓;K為氣動(dòng)特性參數(shù)［3］。

1.3 導(dǎo)彈和目標(biāo)的作戰(zhàn)仿真系統(tǒng)

遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈和目標(biāo)的作戰(zhàn)仿真主要有兩個(gè)方面的工作:第一是尋找滿足中制導(dǎo)段交班約束條件的可行初始攻擊條件，包括各種彈目初始相對(duì)位置和相對(duì)速度關(guān)系;第二是記錄這些可行初始條件下的中制導(dǎo)段末端飛行參數(shù)，包括飛行時(shí)間和比能。仿真流程如圖1所示。

在仿真過程中，取導(dǎo)彈中制導(dǎo)段的交班條件為:彈目相對(duì)距離R＜5 km，彈目相對(duì)速度Vr＞100 m/s，導(dǎo)彈速度矢量相對(duì)目標(biāo)視線的前置角δ＜2°。

取仿真終止條件為以下3種情況之一:

(1)彈上電源關(guān)閉之前，始終滿足R＞5 km;

(2)R=5 km之前，存在Vr＜100 m/s的狀態(tài);

(3)R=5 km時(shí)，Vr≥100 m/s之前始終滿足δ＞2°。

分析和評(píng)估工作中把混合中制導(dǎo)策略(Hybrid)與彈道形成法(TS)和過重力補(bǔ)償比例導(dǎo)引法(CPN)進(jìn)行比較。另外，由于遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈主要考慮前向攻擊的情況，并且評(píng)估結(jié)果在水平方向上具有一定的對(duì)稱性，所以下文的分析過程中，針對(duì)彈目初始相對(duì)位置關(guān)系只給出了λm在0°～90°，以及λt在0°～180°范圍內(nèi)的分析結(jié)果。

2 中制導(dǎo)策略的性能分析

由于實(shí)際的評(píng)估工作不能夠取所有初始條件下的仿真結(jié)果進(jìn)行分析，因此需要建立一種可行的分析方法，使得所利用的仿真數(shù)據(jù)盡可能少，所反映的制導(dǎo)策略性能盡可能全面，同時(shí)可以得出一些規(guī)律性的結(jié)論。

2.1 飛行性能的分析

2.1.1 射程范圍

設(shè)導(dǎo)彈初始位置在坐標(biāo)原點(diǎn)上空，初始速度沿x軸正方向，對(duì)水平距離20～150 km、高度5～20 km范圍內(nèi)的靜止目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行搜索，分析滿足中制導(dǎo)交班約束條件的導(dǎo)彈射程范圍。圖2～圖4為不同情況的射程范圍。

圖2 H=10 km時(shí)水平面內(nèi)的射程范圍

圖3 λm=0°時(shí)鉛垂面內(nèi)的射程范圍

圖4 λm=90°時(shí)鉛垂面內(nèi)的射程范圍

圖2～圖4綜合起來可以表達(dá)三維空間內(nèi)中制導(dǎo)方法對(duì)應(yīng)的導(dǎo)彈射程范圍，從中可以得出以下兩點(diǎn)規(guī)律性的結(jié)論:(1)給定λm，可到達(dá)的高度范圍隨水平相對(duì)距離的增大而減小，當(dāng)彈目初始高度相同時(shí)，導(dǎo)彈具有最大的水平射程;(2)由于側(cè)向機(jī)動(dòng)的消耗，隨著λm從0°～90°變化，最大水平射程和導(dǎo)彈可到達(dá)的高度范圍都在減小。

通過對(duì)3種中制導(dǎo)方法對(duì)應(yīng)射程范圍的比較，可以發(fā)現(xiàn)以下兩點(diǎn)區(qū)別:(1)除了導(dǎo)彈初始位置前下方的某一小部分區(qū)域以外，Hybrid策略具有更大的水平射程范圍和可到達(dá)的高度范圍;(2)隨著λm從0°～90°增加，Hybrid方法最大水平射程損失不到3%，遠(yuǎn)小于TS方法的9%和CPN方法的20%，并且Hybrid策略可到達(dá)的高度范圍損失也最小，說明Hybrid策略具有更好的側(cè)向機(jī)動(dòng)能力。

因?yàn)樵趶椖烤哂邢嗤跏几叨鹊那闆r下，各種中制導(dǎo)方法都具有最大的水平射程，以下針對(duì)這種具有優(yōu)勢(shì)的攻擊情況進(jìn)行具體的分析研究。

2.1.2 中制導(dǎo)段的末端參數(shù)

在TS方法對(duì)應(yīng)的10 km高度水平射程范圍內(nèi)，計(jì)算每個(gè)目標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的中制導(dǎo)段末端能量和飛行時(shí)間，對(duì)不同方法進(jìn)行比較。圖5給出了Hybrid和TS兩種方法中制導(dǎo)末端比能的差值分布，等值線上數(shù)值的單位為J。圖6給出了Hybrid與CPN兩種方法中制導(dǎo)段飛行時(shí)間的差值分布，等值線上數(shù)值的單位為s。

圖5 中制導(dǎo)末端Hybrid與TS方法的比能差值

圖6 Hybrid與CPN方法的中制導(dǎo)段飛行時(shí)間差值

從中可以得出以下兩點(diǎn)結(jié)論:

(1)對(duì)相同的目標(biāo)點(diǎn)，Hybrid策略具有更大的末端能量，這使得遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈在末制導(dǎo)段具有更大的機(jī)動(dòng)能力。

(2)對(duì)相同的目標(biāo)點(diǎn)，Hybrid策略具有更短的飛行時(shí)間，并且隨著目標(biāo)距離的增加以及方位角的增大，這種時(shí)間優(yōu)勢(shì)變得更明顯，這使得載機(jī)在中制導(dǎo)結(jié)束時(shí)相對(duì)目標(biāo)機(jī)的距離更遠(yuǎn)，安全性更高，并且再次證明Hybrid策略具有更好的側(cè)向機(jī)動(dòng)能力。

類似地，從Hybrid和CPN兩種方法中制導(dǎo)末端比能的差值分布以及Hybrid和TS兩種方法中制導(dǎo)段飛行時(shí)間的差值分布中可以得出相同的結(jié)論，此處不再詳細(xì)列舉。

2.2 作戰(zhàn)性能的分析

設(shè)目標(biāo)的初始高度為10 km，在水平面內(nèi)飛行，計(jì)算以導(dǎo)彈為中心和以目標(biāo)為中心的導(dǎo)彈最大攻擊區(qū);前者可以表示針對(duì)所有目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向的導(dǎo)彈攻擊范圍，特別地，可以反映出導(dǎo)彈的橫向機(jī)動(dòng)能力;后者表示了導(dǎo)彈初始速度指向目標(biāo)時(shí)的攻擊范圍，這種情況在遠(yuǎn)程空戰(zhàn)中比較普遍。

2.2.1 目標(biāo)逃逸策略的分析

設(shè)導(dǎo)彈位于坐標(biāo)原點(diǎn)上空，初始速度沿x軸正方向，針對(duì)目標(biāo)所有的速度偏角ΨT，選取不同的初始彈目方位角λm和初始彈目水平距離R計(jì)算導(dǎo)彈攻擊的脫靶量ΔR，導(dǎo)彈末制導(dǎo)律采用增廣比例導(dǎo)引法。

圖7描述了初始彈目方位角λm=30°時(shí)Hybrid中制導(dǎo)策略對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果，其中每條曲線上標(biāo)示的數(shù)字表示初始彈目水平距離R的大小，其他初始λm情況下得到的曲線具有類似的特征，此處不再詳細(xì)列舉。從中可以發(fā)現(xiàn):在指定的初始方位角和相對(duì)距離的條件下，目標(biāo)速度指向?qū)棾跏嘉恢脮r(shí)，導(dǎo)彈攻擊的脫靶量最小，反之脫靶量最大。其他兩種中制導(dǎo)方法可以得到相同的結(jié)論。

圖7 Hybrid方法導(dǎo)彈攻擊的脫靶量

由于目標(biāo)最有效的逃逸方式是時(shí)刻沿著導(dǎo)彈脫靶量最大的方向運(yùn)動(dòng)，所以在導(dǎo)彈中制導(dǎo)階段，目標(biāo)應(yīng)該盡快使導(dǎo)彈相對(duì)自身形成并保持尾追，即逃逸制導(dǎo)策略為:

式中，at為目標(biāo)的逃逸加速度矢量;atmax為目標(biāo)的最大法向加速度;nz為高度方向的單位矢量。

2.2.2 以導(dǎo)彈為中心的最大攻擊區(qū)

設(shè)導(dǎo)彈位于坐標(biāo)原點(diǎn)上空，初始速度沿x軸正方向。通過目標(biāo)的逃逸策略可知，以導(dǎo)彈為中心的最大攻擊區(qū)外邊界由速度指向?qū)棾跏嘉恢玫哪繕?biāo)位置范圍決定，進(jìn)而，可以得到3種中制導(dǎo)方法對(duì)應(yīng)的分析結(jié)果，如圖8所示。

圖8 以導(dǎo)彈為中心的允許發(fā)射區(qū)外邊界

從圖中可以看出，Hybrid中制導(dǎo)策略具有更大的最大攻擊區(qū)，其最大攻擊距離相比其他兩種方法均提高了一倍以上。3種方法的最大攻擊距離隨著目標(biāo)方位角的增大而減小，其中Hybrid策略的最大攻擊距離損失最小。以上這兩點(diǎn)特征與導(dǎo)彈水平射程范圍的分析結(jié)果是類似的。

2.2.3 以目標(biāo)機(jī)為中心的最大攻擊區(qū)

當(dāng)目標(biāo)進(jìn)入導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)后，因?yàn)橄鄬?duì)距離較遠(yuǎn)，載機(jī)通?？梢韵劝阉俣仁噶恐赶蚰繕?biāo)再發(fā)射導(dǎo)彈，以便在中制導(dǎo)段對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤探測(cè)。以目標(biāo)為中心的導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)中，導(dǎo)彈的初始速度矢量均指向目標(biāo)，并假設(shè)目標(biāo)初始位置在坐標(biāo)原點(diǎn)正上空，初始速度沿x軸正方向。

圖9給出了3種中制導(dǎo)方法對(duì)應(yīng)的分析結(jié)果。從中可以看出，遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈在迎頭攻擊時(shí)具有更大的最大攻擊區(qū)，隨著導(dǎo)彈相對(duì)目標(biāo)方位角的減小，攻擊區(qū)的范圍也在縮小。這個(gè)攻擊區(qū)的范圍比以導(dǎo)彈為中心的攻擊區(qū)范圍更小、更有針對(duì)性，載機(jī)的火控系統(tǒng)可以根據(jù)這個(gè)結(jié)果更具體地分析在當(dāng)前速度方向指向目標(biāo)時(shí)，目標(biāo)是否處于導(dǎo)彈的有效攻擊范圍之內(nèi)。

圖9 以目標(biāo)為中心的發(fā)射區(qū)外邊界

3 中制導(dǎo)策略的評(píng)估結(jié)論

結(jié)合以上分析，可以得到如下4點(diǎn)分析和評(píng)估結(jié)論:(1)Hybrid中制導(dǎo)策略比CPN和TS策略具有更大的理論射程范圍和導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)，并且具有更好的側(cè)向機(jī)動(dòng)能力、更大的末端攻擊能量和更短的飛行時(shí)間，是一種綜合性能最優(yōu)的制導(dǎo)策略;(2)遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈在與目標(biāo)處于相同初始高度并且迎頭攻擊時(shí)具有更大的最大攻擊區(qū)，是一種較好的初始發(fā)射條件;(3)中制導(dǎo)階段目標(biāo)的最佳逃逸策略是盡快使導(dǎo)彈相對(duì)自身形成并保持尾追;(4)載機(jī)火控系統(tǒng)可以先通過以導(dǎo)彈為中心的最大攻擊區(qū)結(jié)果分析目標(biāo)是否處于可攻擊范圍之內(nèi)，再把速度方向指向目標(biāo)，通過以目標(biāo)為中心的導(dǎo)彈最大攻擊區(qū)分析是否發(fā)射導(dǎo)彈。

4 結(jié)論

本文的主要貢獻(xiàn)有以下3點(diǎn):(1)給出了一種兼顧追蹤精度和軌跡優(yōu)化能力、在縱向和側(cè)向制導(dǎo)平面內(nèi)都具有較好飛行性能的混合制導(dǎo)策略。相比于其他中制導(dǎo)方法，在最小能量消耗、最小飛行時(shí)間、射程范圍和最大攻擊區(qū)4個(gè)方面都具有明顯的優(yōu)勢(shì)。(2)通過分析，得出了目標(biāo)在導(dǎo)彈中制導(dǎo)階段最有效的逃逸策略。在此基礎(chǔ)上，求解了導(dǎo)彈的最大攻擊區(qū)，提高了分析和評(píng)估結(jié)果的可信性。(3)提出了一種中制導(dǎo)性能的分析和評(píng)估方法，綜合考慮了導(dǎo)彈和目標(biāo)的各種可能的初始運(yùn)動(dòng)條件，以及導(dǎo)彈和目標(biāo)的制導(dǎo)策略，與其他方法相比，結(jié)果和結(jié)論更為全面。

［1］ 黃漢橋，周軍，郭建國(guó).具有角度和時(shí)間約束的導(dǎo)彈最優(yōu)全彈道設(shè)計(jì)［J］.西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，28(2):165-170.

［2］ 富立，范耀祖，寧文如.一種簡(jiǎn)單的中遠(yuǎn)程空空導(dǎo)彈中制導(dǎo)律研究［J］.航空學(xué)報(bào)，1998，19(7):92-95.

［3］ Cheng V H L，Gupta N K.Advanced midcourse guidance for air-to-air missiles［J］.Journal of Guidance，1986，9(2):135-142.

［4］ 董朝陽，周雨.一種交班時(shí)刻性能最優(yōu)的中制導(dǎo)律設(shè)計(jì)與仿真［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2009，21(24):7873-7882.

［5］ Lin C F，Tsai L L.Analytical solution of optimal trajectory-shaping guidance［J］.Journal of Guidance，1987，10(1):61-66.

［6］ Bonanni P.The art of the kill［M］.Alameda，California:Spectrum HoloByte，1993.