一類正負(fù)相間分式序列封閉形和式

及萬會(huì)，張來萍

（銀川能源學(xué)院基礎(chǔ)部，銀川 永寧750105）

若νk＝f（k）＋f（k＋1），則。計(jì)算出正負(fù)相間反正切函數(shù)序列封閉形和式；再用微分法得到正負(fù)相間分式序列封閉形和式，最后給出一些正負(fù)相間反正切級(jí)數(shù)與分式級(jí)數(shù)恒等式。

命題1 設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，則正負(fù)相間反正切序列封閉形和式為

證明 對(duì) （2）式，依次對(duì)b，微分得到 （6）式，（2）式對(duì)c，d微分并兩端乘以－1，得到（7），（8）式。

（

3）式對(duì)a微分，得到 （9）式，（3）式對(duì)c，d微分并兩端乘以－1，得到 （10），（11）式。

（4）式對(duì)a b微分，得到 （12），（13）式；（4）式對(duì)c微分，并兩端乘以－1，得到 （14）式。

（5）式對(duì)a b微分，得到 （15），（16）式，（5）式對(duì)d微分，并兩端乘以－1，得到 （17）式。

在 （1）令a＝1，b＝2，c＝2，d＝1；在（2）令b＝2，c＝1，d＝1；在（3）令a＝2，c＝1，d＝1；

在 （4）令a＝1，b＝1，c＝2；（5）式令a＝1，b＝1，d＝2，得到

例1 下列正負(fù)相間反正切序列封閉形和式成立

在 （6）令b＝1，c＝1，d＝0；在（7）令b＝1，c＝1，d＝1；在（8）令b＝1，c＝1，d＝1；在（9）式令a＝1，c＝1，d＝1；在（10）令a＝1，c＝1，d＝0；（11）令a＝1，c＝1，d＝1；在（12）令a＝1，c＝1，d＝1；在（13）令a＝1，b＝1，c＝1；在（14）令a＝0，b＝1，c＝1；在（15）令a＝1，b＝1，d＝1；在（16）令a＝1，b＝1，d＝1；在（17）令a＝1，b＝0，d＝1；得到

例2 下列正負(fù)相間分式序列封閉形和式成立

［1］ Wheelon AD．On the summation of infinite series in closed form ［J］．J Appl Phys，1954，25：113－118．

［2］ 及萬會(huì)，顧銀魯．一類Lucas數(shù)與三角函數(shù)乘積的封閉形和式 ［J］．重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，27（03）：16－18．

［3］ 及萬會(huì)，郭明普．含有三角函數(shù)的切貝雪夫多項(xiàng)式的封閉性和式 ［J］．新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，25（04）：10－12．

［4］ 及萬會(huì)，李忠寧．兩個(gè)三角函數(shù)積的和的封閉形和式 ［J］．河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26（04）：8－10．

［5］ 及萬會(huì)，馬東娟．一類分式封閉形和式 ［J］．河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，28（02）：9－12．