多品種期貨組合的套期保值模型

姚寶鑫，杜子平

（天津科技大學 經濟與管理學院，天津 300222）

0 引言

在套期保值中，不管是一種期貨對應一種現貨的單品種期貨套期保值還是多種期貨對應一種現貨的多品種期貨套期保值，在模型的計算和估計中，都會用到資產價格或是資產收益率的協方差或是相關系數，在傳統的期貨套期保值模型中，大多數會用到線性相關系數；我們知道，金融時間序列數據有時候是厚尾的，并不是線性相關的，如此以來，用線性相關系數得到了結果往往并不是理想的結果，會有很大的偏差。

從現有的研究來看，一是大多數研究者采用一種期貨對一種現貨的套期保值，但這種保值方法不能很好的分散基差風險；二是雖然有學者用多元GARCH模型研究多品種套期保值[1]，但由于多元GARCH模型的參數本身估計缺陷，使模型的有效性較差；三是大多數的研究者用Copula理論研究期貨套期保值，基本局限在二元Copula的單品種期貨套期保值[2]，對于高維（多元）Copula函數在多品種套期保值研究較少。本文提出了藤結構[3]Copula—GARCH模型一方面將套期保值模型的研究從單品種套期保值過度到多品種套期保值模型上，即多元Copula理論的多品種套期保值模型研究；另一方面利用藤結構Copula—GARCH理論克服多元GARCH模型中的組合序列分布必須符合一個確定的橢圓分布和多元GARCH模型的相依關系局限于線性相關等缺陷問題，同時藤結構的應用比較好的解決高維（多元）Copula函數描述尾部相關性只有一個參數，沒有考慮維數的影響問題，也很好的解決了兩兩資產之間的相關關系，得到了很好的套期保值效果。

1 藤結構Copula的構建

在處理高維Copula模型的過程中，為了方便、準確的估計多維變量之間的兩兩相關關系，我們將圖形建模工具中的“藤”的思想[7]用于解決高維Copula的相關關系；在藤結構中比較常用的是Canonical藤和D藤。本文是研究兩種期貨對一種現貨的套期保值，即是三維空間變量的兩兩特征；由于Canonical“藤”和D“藤”在描述三維空間變量的圖形變化是一樣的，所以，可以用Canonical“藤”和D“藤”的任何一種，本文選用Canonical“藤”進行建模。Canonical“藤”結構如圖1、圖2和圖3所示(以四維為例)：

圖1

圖2

圖3

2 多品種最小方差套期保值模型的構建

2.1 多品種期貨套期保值最小方差模型的建立

設多品種期貨套期保值的綜合收益率函數如下：

其中Rh是期貨和現貨的總收益率，Rs是現貨收益率，Rf是套期保值中不同期貨收益率組合成的收益率向量，H就是不同的期貨合約需要對用現貨套期保值比率所組成的向量H=(h1,h2,...,hn)。根據最小方差的原理，分別對（3）式兩邊同時取方差，得到以下結果：

其中Cov(Rfi,Rfj)為不同期貨之間的協方差，Cov(Rs,Rf)為期貨和現貨的協方差。對（4）式的向量H分別求一階導數和二階導數可知，二階導數是恒大于0的，故（4）式有最小值，即令一階導數為0，得到最小方差的套期保值比率如下：

對于本文考慮的是兩種期貨對應一種現貨的的套期保值，可以將（5）式寫成如下形式：

其中var(Rf1)和var(Rf2)表示兩種期貨收益率的方差；cov(Rf1,Rf2)表示兩種期貨的協方差；cov(Rf1,Rs)和cov(Rf2,Rs)表示兩種期貨分別和一種現貨的協方差。將（6）式變成如下形式：

圖4

圖5

2.2 Copula—GARCH模型的構建

2.2.1 GARCH（p，q）模型定義如下：

2.2.2 Copula—GARCH模型定義如下

根據Copula理論和（8）中的GARCH模型，可知由一個Copula函數鏈接的各個變量的邊緣分布可以是任意的一個一元分布，因此可以將正態(tài)邊緣分布假設下的Copula—GARCH、Copula—GARCH-t和 Copula—GARCH-GED 模型結合起來，擴展到N元Copula-GARCH模型的一般形式，若{y1t},{y2t},...{ynt}用GARCH過程來描述金融時間序列，結合Copula理論和GARCH模型可以得到N元Copula—GARCH模型如下：

其中Ct(*,...,*)表示任意一個N元的Copula的函數，F1(*),F2(*),...Fn(*)或是表示標準正態(tài)分布或是均值為0，方差為1的正規(guī)化t-分布或是正規(guī)化GED分布中的任意一種分布函數。即(ξ1t,ξ2t,...ξnt)或是服從標準正態(tài)分布或是服從均值為0、方差為1的正規(guī)化t-分布或是服從正規(guī)化GED分布中的任意一種分布。

3 實證研究與分析

本文的多種期貨對一種現貨的套期保值是采用豆油期貨和豆粨期貨對大豆現貨進行套期保值，數據采用大連商品交易所2010年1月5日至2010年9月14日171個交易日的豆油期貨和豆粨期貨結算價數據，大豆的現貨價格數據來自于中華糧網。豆粨的期貨合約是m1009，豆油的期貨合約是y1009。由于期貨市場和現貨市場的資產價格變化比較快，對信息也比較敏感，對一個要求較長時期的套期保值者來說，靜態(tài)套期保值比率已經不能很好的反應市場的變化，所以本文用動態(tài)套期保值的方法來完成套期保值比率的估計。Chen S S[4]證明了套期保值比率一周變化一次是比較理想的。本文以60天的數據為步長（一周的交易日是5天），計算第61天的套期保值比率的方法對2010年4月6日至2010年9月14日的大豆現貨進行動態(tài)套期保值。本文的實證中以第一周的套期保值比率估計為例（同樣的方法可以求出未來每一周的套期保值比率）。

3.1 期貨與現貨的數據整理

為了解決連續(xù)復利條件下的連續(xù)加減問題，將期貨和現貨資產的結算價轉化成收益率時間序列：期貨收益率時間序列如（10）式所示，現貨收益率時間序列如（11）式所示。

所以期貨和現貨的價格和收益率如表1所示：

3.2 GARCH模型及其收益率分布的選擇

3.2.1 基本統計量的描述

金融時間序列的一個顯著特征是存在條件異方差，Engle（1982）[5]提出ARCH模型來刻畫時間序列的條件二階矩性質，刻畫了波動的時變性和集群性；Bollerslev（1986）[6]提出GARCH模型能更好的描述金融時間序列的異方差特性。期貨和現貨的基本統計量如表2。

表1

表2

從表2的基本統計量可以看出，偏度值都是負數，所以是左偏的，從值的大小可以看出豆粨的偏度比豆油和大豆的偏度要??；表中的峰度值都是大于3，并且豆油和大豆的峰度大于豆粨的峰度值，說明大豆和豆油更呈現出尖峰厚尾的的特征，而豆粨的峰度較正態(tài)分布凸起不是很明顯；最后根據JB（Jarque-Bera）統計量和其相伴概率檢驗序列的觀測值是否符合正態(tài)分布，從表中的JB統計量的相伴概率可以看出，對于豆粨數據序列接受在1%顯著性水平的零假設，即序列服從正態(tài)分布，而對于豆油和大豆數據序列是拒絕在1%顯著性水平的零假設，即序列不服從正態(tài)分布的。

3.2.2 不同分布的GARCH模型的比較

根據（8）式中的GARCH模型設置金融時間序列符合不同的分布情況可以得到豆粨、豆油和大豆的三種不同分布的GARCH模型，整理如表3、表4和表5（下面的結果由Eviews6.0軟件產生）：

表3

表4

表5

從表3、表4和表5的ARCH檢驗可以看出，豆粨、豆油和大豆的數據存在異方差，故用GARCH（1，1）模型對三種數據建模是合適的，同時根據對數極大似然率的選優(yōu)標準和表3、表4和表5的數據，可以對豆粨數據時間序列用GARCH正態(tài)分布模型，豆油數據序列選用GARCH—GED模型，大豆數據序列選用GARCH—t模型。與此同時可以給出三種模型的均值方程和方差方程如表6所示。

根據豆粨期貨、豆油期貨和大豆現貨三個品種的GARCH模型，由Eviews6.0可以估計出豆粨期貨、豆油期貨和大豆現貨對應的標準差回歸預測值分別為0.008962、0.008213、0.009086以及豆粨期貨、豆油期貨收益率的方差分別為0.00008183和0.00006986。即：

表6

3.3 藤結構Copula函數的參數的估計

為了方便計算和估計藤結構Copula函數的參數，本文使用阿基米德Copula函數族的Gumbel Copula函數。N元Gumbel Copula函數的表達式如（14）式所示。

其中Fi(xi)表示期貨和現貨序列的邊緣分布，cf1s、cf2s和cf1f2|s是Copula密度函數（可以根據（1）式求出），其余參數的含義與上文相同。根據藤結構分解的Copula估計方法和步驟[7],，并將表六中的豆粨期貨、豆油期貨以及大豆現貨的GARCH模型的參數估計值帶入到（15）式，令對數似然函數值最大化后就可以得到參數估計的終值，本文用Matlab2010軟件工具編寫完成。參數估計的終值如（16）式所示。

3.4 套期保值比率的計算

將（12）式、（13）式和（16）式的數據帶入到（7）中，就可以得到套期保值比率如（17式）所示。

所以，2010年4月6日期貨套期保值比率向量為H=（0.6757，0.1678），即豆粨期貨對大豆現貨的套期保值比率為0.6757；豆油期貨對大豆現貨的套期保值比率為0.1678。同理,可以求未來每周的套期保值比率：第二周H=（0.3541，0.2104）；第三周H=（-0.5249，0.2016）；第四周H=（0.8237,-0.3356），其余每周的套期保值比率同理可以計算出來。

4 模型的可行性分析

本文是多種期貨對一種現貨的交叉套期保值，為了進行此模型的可行性分析，將此模型和一種期貨對應一種現貨的單品種交叉套期保值模型和傳統的基于多元GARCH模型的多品種期貨套期保值模型進行比較。套期保值的損益是每天期貨和現貨的損益和。其損益公式[8]如（20）式所示。為了減輕計算量，本文的可行性分析限定在前四周的套期保值情況。

4.1 縱向可行性分析

求出本文的豆粨期貨對應大豆現貨的套期保值比率和豆油期貨分別對應大豆現貨的單品種期貨套期保值比率。這種單品種的交叉套期保值的套期保值比率只是本文的一個特例，用二元Copula—GARCH模型就可以求出，不必要進行藤結構分解了；在這里求出的豆粨期貨對應大豆現貨的套期保值比率和豆油期貨對應大豆現貨的單品種交叉期貨套期保值比率分別為：0.5386和0.0983。

4.2 橫向可行性分析

對于多品種期貨交叉套期保值的傳統模型是用多元GARCH模型，將本文的模型和多元GARCH模型進行比較，根據多元GARCH多品種套期保值模型［4］估計出豆粨期貨、豆油期貨對大豆現貨的前四周套期保值比率分別為H=（0.7052，02011）、（0.4096，0.1988）、（-0.5106，0.2381）、（0.7955，-0.3621）。

將以上數據帶入到（20）式可以得到前四周的總損益如表7所示。

表7

從表七中可以看出，不進行套期保值是總損益為-117，損失是最大的，而進行套期保值的總損益均比不進行套期保值的損益較小，其中多元GARCH模型和本文模型能使總損益為正值，這兩種模型較好，但本模型更能好的分散基差風險，這也充分證明了本模型的有效性和可行性，取得了預期規(guī)避價格風險的效果。

5 結論

本模型的研究體現了多品種期貨套期保值分散基差的優(yōu)勢，并和傳統的單品中期貨套期保值模型以及基于多元GARCH模型的多品種期貨套期保值模型進行了比較研究，證明了本模型的可行性和有效性，其特征主要體現在以下幾個方面：

（1）提出了動態(tài)套期保值模型比率的計算方法，克服了靜態(tài)套期保值比率不能很好的適應市場變化的缺陷，使套期保值者能根據市場情況隨時調整期貨套頭比率，作出更加符合實際的套期保值操作，把價格風險控制在自己的風險承受能力之內。

（2）應用Copula理論進行多品種套期保值，解決了統一形式的多元GARCH模型中的組合序列分布必須符合一個確定的橢圓分布和多元GARCH模型的相依關系局限于線性相關等缺陷問題。本研究對兩種期貨和一種現貨分別用不同的分布描述其特征，很好的擬合了數據序列自身的特征，更加符合數據本身的特性。

（3）將Copula理論應用在多品種期貨套期保值模型中，更好的反應了期貨和現貨以及期貨和期貨之間的非線性特性，同時將Copula藤結構的分解方法用于多元Copula函數的分解中，這樣避免多元Copula描述多種資產非線性相關特性時只有一個相關參數且不能很好反應不同資產兩兩之間的尾部相關特征的特點，本文的通過藤結構的分解，得到了基于Copula理論的期貨與期貨、期貨與現貨之間的兩兩非線性相依關系，將Copula理論從二元Copula的單品種套期保值擴展到N元Copula函數的多品種套期保值，很好的擬合了期貨和現貨的非線性對沖和期貨與期貨之間的非線性疊加，提高了套期保值的準確度。

（4）本研究是采用最小方差套期保值的思想進行的多品種期貨套期保值研究，但在真實市場中投資者對風險的厭惡程度是不一樣的，以及是不是套期保值的期貨品種越多對套期保值者越有利呢，以及更多的（三種期貨以上的套期保值）期貨套期保值它們的相依關系如何處理等問題，這些都是今后需要進一步努力方向。

[1]遲國泰,王玉剛，楊萬武.多種期貨對一種現貨非線性組合套期保值模型[J].預測，2009，（6）.

[2]王寶森,王麗君.基于Copula函數的PTA期貨套期保值研究[J].科技信息,2011,（1）.

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[6]Bollerslev T.Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastici?ty[J].Journal of Economics,1986,(31).

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