基于概率有限元法機(jī)床主軸可靠性分析

徐化文，楊林建

（四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 德陽(yáng) 618000）

對(duì)機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析研究時(shí)，考慮到機(jī)械系統(tǒng)的“應(yīng)力-強(qiáng)度”模型中輸入、輸出參數(shù)的不確定性，將概率分析和有限元分析結(jié)合起來(lái)，采用概率有限元法進(jìn)行分析并確定主軸的可靠度。

不確定因素，是自然界中各事物的固有特性。在機(jī)械系統(tǒng)中，有許多的不確定性因素，如模糊性和隨機(jī)性等。可靠性分析的根本原因。在于分析基本變量的不確定性：物理量的不確定性，統(tǒng)計(jì)方法的不確定性與分析模型的不確定性等等。

有限元分析法，是一種求解工程問(wèn)題近似解的數(shù)值方法，廣泛地應(yīng)用于可靠性工程中。在有限元分析中，輸入的參數(shù)常常是確定性的，如分析的結(jié)構(gòu)形狀和尺寸是確定的，施加的載荷是確定的，材料屬性參數(shù)也是確定的，最后計(jì)算得出的結(jié)果（如應(yīng)力、變形等）也是確定的。

然而，實(shí)際上所輸入的參數(shù)，都存在著不確定性。輸入?yún)?shù)的統(tǒng)計(jì)隨機(jī)性，必然會(huì)對(duì)輸出參數(shù)產(chǎn)生影響。研究表明，采用隨機(jī)有限元法或概率有限元法，能很好地解決常規(guī)解決方式所帶來(lái)的問(wèn)題，主要為不確定性的輸入?yún)?shù)對(duì)最終輸出結(jié)果參數(shù)的影響方式和影響程度，而且不僅可以對(duì)現(xiàn)有的機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析，確定其可靠度，而且可以對(duì)新設(shè)計(jì)的產(chǎn)品模型的可靠度進(jìn)行驗(yàn)證分析，保證新產(chǎn)品滿(mǎn)足一定的可靠度要求。

1 可靠性分析的基本過(guò)程

在進(jìn)行可靠性分析中，其基本過(guò)程為：

結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)由功能函數(shù)Z=g(x)來(lái)表達(dá)，其中隨即變量X=(X1,X2,…，Xn)表征各參數(shù)的不確定性。當(dāng)g(x)>0，結(jié)構(gòu)處于安全狀態(tài)；當(dāng)g(x)=0，表示結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)；而當(dāng)g(x)<0，則表示結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)。

失效概率可表示為

式中，f(x)表示隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，但是建立f(x)表達(dá)式對(duì)于較大部分的結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)是比較困難的。

隨著以數(shù)值模擬技術(shù)為基礎(chǔ)的有限元理論和技術(shù)的發(fā)展，結(jié)合有限元法的概率有限元法或隨機(jī)有限元法，能有效的用來(lái)進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析和參數(shù)不確定性分析。在ANSYS中，主要采用響應(yīng)面法和蒙特卡洛法來(lái)分析可靠性概率。

2 蒙特卡洛模擬法

蒙特卡洛模擬法是一種數(shù)值方法[3]，主要通過(guò)隨機(jī)變量的隨機(jī)模擬或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，來(lái)求解物理、數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的問(wèn)題近似解，因此也常被稱(chēng)為隨機(jī)模擬法或統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法。

隨著科技的發(fā)展，采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法或物理試驗(yàn)進(jìn)行常規(guī)的計(jì)算處理，眾多復(fù)雜的問(wèn)題有時(shí)難以解決，而蒙特卡洛法則是解決這些難題的有效手段。

蒙特卡洛模擬的一般過(guò)程：

首先，構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單適用的隨機(jī)模型或概率模型，使問(wèn)題的解和其中的隨機(jī)變量的均值、概率、方差等某些特征相對(duì)應(yīng)。

其次，根據(jù)概率模型的特點(diǎn)，使用適當(dāng)?shù)募铀偈諗糠椒?，以提高其模擬精度。

再根據(jù)模型中隨機(jī)變量的分布，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，實(shí)現(xiàn)一次隨機(jī)模擬過(guò)程需要足夠數(shù)量的隨機(jī)數(shù)。

最后對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，給出問(wèn)題的解和解的精度。

設(shè)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)Z=g(X1,…，Xn)，式中Xi為具有任意分布的隨機(jī)變量。對(duì)Xi(i=1,…，N)進(jìn)行N次隨機(jī)抽查，得到N組值(j=1,…，N)。將第j組(j=1,…，N)的值代入功能函數(shù)，得到N個(gè)Zj值(j=1,…，N)。設(shè)在N個(gè)Zj值中存在Nf個(gè)Zj<0，則結(jié)構(gòu)的失效概率可以表示為

隨著數(shù)值模擬技術(shù)的不斷發(fā)展和完善，采用蒙特卡洛法與有限元法相結(jié)合的方式，能有效地解決與隨機(jī)變量有關(guān)的工程實(shí)際問(wèn)題。

對(duì)隨機(jī)變量的數(shù)值模擬可概括如下：從整體中抽取簡(jiǎn)單樣本做抽樣試驗(yàn)。設(shè)X1,X2,…,Xn是n個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，來(lái)自同一個(gè)整體，假設(shè)他們分布的情況相同，且具有相同的有限均值和方差，用參數(shù)μ和σ2表示，則對(duì)于任意ε>0則有

另外，假設(shè)隨機(jī)事件A發(fā)生的概率用P(A)來(lái)表示，且在n次獨(dú)立測(cè)試中，隨機(jī)事件A發(fā)生次數(shù)為m，則頻率用W(A)=m/n表示，則對(duì)于任意ε>0有

以上分析過(guò)程可總結(jié)為：有限元技術(shù)結(jié)合蒙特卡洛法來(lái)分析可靠性，就是進(jìn)行N個(gè)循環(huán)，每進(jìn)行一次循環(huán)，即將多一個(gè)隨機(jī)變量在各自的分布函數(shù)范圍內(nèi)隨機(jī)取值，將所得到的這些數(shù)值按有限元分析的步驟，即建模、網(wǎng)格劃分并求解計(jì)算，其結(jié)果是變量的數(shù)值。然后對(duì)各個(gè)變量重復(fù)地進(jìn)行隨機(jī)取值，得到結(jié)果變量的N個(gè)數(shù)值，最后對(duì)隨機(jī)變量和輸出變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，確定其分布函數(shù)，敏感性等參數(shù)，進(jìn)行可靠性分析。

蒙特卡洛法應(yīng)用范圍較廣，其計(jì)算結(jié)果認(rèn)為是可信的，前提條件是只要建模準(zhǔn)確，模擬次數(shù)足夠多。由于其他各種分析方法要求諸多假設(shè)，可能引入系統(tǒng)誤差，而且在數(shù)學(xué)上實(shí)現(xiàn)很困難，所以，目前蒙特卡洛法是進(jìn)行可靠性分析且檢驗(yàn)結(jié)果較正確的唯一手段。

3 機(jī)床主軸實(shí)例分析[4~6]

機(jī)床主軸的力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 機(jī)床主軸力學(xué)模型

相關(guān)數(shù)據(jù)列舉如下：

F1=2 000±20 N；

F2=1 000±10N；

L=400 mm；

A=200 mm；

軸外徑D1=80 mm，內(nèi)徑D2=40 mm；

軸端面的許用撓度Y=(0.000 1 0.000 2)L。

3.1 獲得主軸各變量的分布函數(shù)

對(duì)于 F1、F2，按照“3σ”原則，

F1取μ=2 000 N，σ =20/3 N；

F2取μ=1 000 N，σ =10/3 N。

F1(μ1σ1)=(2 000,20/3)N，

F2(μ2σ2)=(1 000,10/3)N。

考慮加工誤差和安裝誤差引起的相對(duì)位置誤差，取L和A的變異因素為0.005，

L(μLσL)=(400,2)mm，

A(μAσA)=(200,1)mm。

軸材料的彈性模量也為隨機(jī)變量，

E(μEσE)=(2.06×105，0.062×105)MPa。

3.2 建立仿真循環(huán)文件

在ANSYS10.0環(huán)境下，利用交互式界面或APDL語(yǔ)言進(jìn)行仿真循環(huán)文件的建立。該文件的內(nèi)容有：尺寸、載荷參數(shù)的確定，材料屬性的確定，單元類(lèi)型的確定，有限元幾何模型的創(chuàng)建，單元網(wǎng)格的劃分，施加載荷和邊界條件進(jìn)入求解器執(zhí)行求解，進(jìn)入通用后處理器作結(jié)果后處理，最終得到的變形圖如圖2所示，獲得最大應(yīng)力變形值UY_MAX，定義極限狀態(tài)方程Z=Y-UY_MAX，定義概率分析文件名zhuzhoufenxi4.txt。

圖2 主軸變形分析結(jié)果

3.3 進(jìn)入概率分析模塊執(zhí)行PDS求解

在PDS中輸入載荷、主軸尺寸、彈性模量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，定義Z和UY_MAX為隨機(jī)輸出變量，選擇分析方法為蒙特卡洛模擬方法中的拉丁超立法，定義抽樣次數(shù)500次，執(zhí)行概率分析。

3.4 結(jié)果與分析

圖3 UY_MAX樣本趨勢(shì)圖表明曲線(xiàn)走勢(shì)平穩(wěn)，則說(shuō)明仿真次數(shù)足夠多。

圖3 UY_MAX樣本趨勢(shì)圖

圖4 為Z<0的可靠度計(jì)算結(jié)果。

圖4 Z<0的可靠度計(jì)算結(jié)果

從圖4可以看出，Z>0的概率是97.16%。由此可知該主軸的的最大撓度的可靠度為97.16%。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要將概率分析與有限元分析相結(jié)合，采用概率有限元方法進(jìn)行可靠性分析。由以上的分析結(jié)果得出，只要能夠準(zhǔn)確地獲得機(jī)械模型變量的分布函數(shù)，就能夠利用概率有限元的方法獲得機(jī)械系統(tǒng)的可靠度。此方法方便快捷，有助于工程技術(shù)人員進(jìn)行機(jī)械系統(tǒng)的可靠性設(shè)計(jì)、分析和預(yù)測(cè)。

[1]朱文予.機(jī)械概率設(shè)計(jì)與模糊設(shè)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]金偉婭，張康達(dá).可靠性工程[M].北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2005.

[3]杜 比，衛(wèi)軍明.蒙特卡洛方法在系統(tǒng)工程中的應(yīng)用[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2007.

[4]葉 勇，郝艷華，張昌漢.基于ANSYS的結(jié)構(gòu)可靠性分析[J].機(jī)械工程與自動(dòng)化，2004（6）:63-65.

[5]張勝民.基于有限元軟件ANSYS7.0的結(jié)構(gòu)分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.

[6]巫少龍.機(jī)械模糊可靠性?xún)?yōu)化設(shè)計(jì)研究[D].杭州：浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，2004.