多調(diào)制源信號的循環(huán)平穩(wěn)分析及仿真

王小卉，楊潔明

（1.湛江師范學(xué)院 機電工程系，廣東 湛江 524048；2.太原理工大學(xué) 機電研究所，山西 太原 030024）

在通信、遙測、雷達和旋轉(zhuǎn)機械等系統(tǒng)中，經(jīng)常會遇到很多隨機信號，其非平穩(wěn)特性表現(xiàn)為一定的周期性，這類信號統(tǒng)稱為“循環(huán)平穩(wěn)信號”。此類信號的統(tǒng)計特征參量雖然是時變的，但由于其自身獨特的周期平穩(wěn)性，使其單次采集到的記錄，具有周期遍歷特性，這種“循環(huán)平穩(wěn)性能”，使得這類隨機信號的分析處理得以實現(xiàn)。

傳統(tǒng)統(tǒng)計信號處理方法在處理循環(huán)平穩(wěn)信號時，都假定信號是平穩(wěn)的，忽略了信號的循環(huán)平穩(wěn)性，不能實現(xiàn)對循環(huán)平穩(wěn)信號的最佳處理。因此，人們開始探索充分利用信號循環(huán)平穩(wěn)特征的新的信號處理方法，廣泛地應(yīng)用于通信、語音處理、故障診斷等多種領(lǐng)域[1]。

由于機械故障信號一般都是復(fù)雜的多調(diào)制源調(diào)制調(diào)幅信號，本文就以多調(diào)制源信號為例，研究二階循環(huán)平穩(wěn)分析的解調(diào)性能，改進分析方法總結(jié)規(guī)律，為更好地分析實際故障信號奠定理論基礎(chǔ)。

1 循環(huán)平穩(wěn)信號特性[2]

通常情況下，隨機信號統(tǒng)計特征，呈周期或多周期（各周期不能通約）變化。對循環(huán)平穩(wěn)信號，假設(shè)某一信號為x（t），式（1）就是循環(huán)統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)表達式。

其中，cx（t,τ）k是 x（t）的 k 階時變統(tǒng)計量。

最常用的統(tǒng)計量為均值（一階統(tǒng)計量）、相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)（二階統(tǒng)計量）。一階循環(huán)平穩(wěn)信號，是指此信號的一階循環(huán)統(tǒng)計量（信號的均值）是時間的周期函數(shù)的信號。

由一階循環(huán)平穩(wěn)推廣，可得K階循環(huán)平穩(wěn)信號的定義：若隨機過程x（t）從一階到K階的各階時變統(tǒng)計量都存在，并且它們都是時間的周期函數(shù)（其中每階的循環(huán)周期可能有多個，且各階循環(huán)周期一般不同），則稱該隨機過程為K階循環(huán)平穩(wěn)信號。

因此，當(dāng)K=1時，對應(yīng)著一階循環(huán)平穩(wěn)信號；當(dāng)K=2時，對應(yīng)著二階循環(huán)平穩(wěn)信號。典型的二階循環(huán)平穩(wěn)信號，是正弦波信號被一個有限帶寬的隨機信號調(diào)制后所得的信號。

本文研究多調(diào)制源的調(diào)制調(diào)幅信號，也是一個二階循環(huán)平穩(wěn)信號，其數(shù)學(xué)模型為

其中，

A、B、C為幅值；

ft1指調(diào)制頻率1；

ft2指調(diào)制頻率2；

fz1指載波頻率1；

fz2指載波頻率2。

2 循環(huán)平穩(wěn)分析相關(guān)概念

對二階循環(huán)信號x（t）以T為周期進行采樣，時變自相關(guān)函數(shù)為

R（t,τ）=E{x（t+τ/2）x*（t-τ/2）}，

進行時間平均后寫成傅里葉級數(shù)形式為

其中，

Rα（τ）就是循環(huán)自相關(guān)函數(shù)（Cyclic Autocorrelation Function，簡稱 CAF），表示為

信號x（t）循環(huán)自相關(guān)函數(shù)的Fourier變化，得到

Sα（ f）就是信號的循環(huán)譜（也稱為譜相關(guān)密度函數(shù) Cyclic Spectrum Density，簡稱 CSD）。

4 信號仿真

本文采用的信號數(shù)學(xué)模型如式（2），設(shè)此仿真信號中

A=1；B=1；C=2；

調(diào)制頻率 1，ft1=6 Hz；

調(diào)制頻率 2，ft2=12 Hz；

載波頻率 1，fz1=60 Hz；

載波頻率 2，fz2=200 Hz。

從公式上來說，此信號可以看做是一個單純調(diào)幅信號和一個單純調(diào)頻信號的疊加，即

調(diào)幅信號

調(diào)頻信號

第一步：計算信號的循環(huán)自相關(guān)函數(shù)，做其三維譜圖可勉強觀察到ft1、2 ft1、fz1以及fz2，但是信息冗余，交叉干擾嚴(yán)重。循環(huán)頻率α（Hz）。

第二步：作循環(huán)自相關(guān)τ=0處的單切片圖如圖1。

可在低頻處看出兩個頻率：調(diào)幅信號的ft1，調(diào)頻信號的調(diào)制頻率ft2。

圖1 循環(huán)自相關(guān)單切片分析τ=0

高頻處有不易分辨有用頻率信息：譜線在120 Hz左右最密。

這是由60 Hz的載波頻率引起的，反映了調(diào)幅部分的載波及調(diào)制頻率[60 Hz及其一倍邊頻（60±6）Hz]的信息。

如果忽略這一簇譜線，則可清楚地發(fā)現(xiàn)：在100～200 Hz范圍內(nèi)，譜線的排列和200～300 Hz范圍內(nèi)的譜線排列是一樣的，并且關(guān)于200 Hz對稱。而且在400 Hz處，有不受混頻干擾的載波信號及其關(guān)于調(diào)頻頻率的多個邊頻。反映了調(diào)頻部分的載波及調(diào)制頻率[200 Hz及其多個邊頻（200 ±12）Hz、（200 ± 24）Hz、（200±36）Hz等]的信息。

第三步：做信號調(diào)制頻率處的循環(huán)自相關(guān)與譜相關(guān)切片譜圖，如圖2所示。

圖2 特征頻率處切片集合圖

分析此圖，總結(jié)如下：

（1）α=6 Hz的譜相關(guān)切片圖，是相當(dāng)于是對其循環(huán)自相關(guān)的FFT變換。在此循環(huán)自相關(guān)切片圖中，可以看到信號在時延域中呈循環(huán)特性，而相應(yīng)的譜相關(guān)圖中則可清楚地發(fā)現(xiàn)ft1、2 ft1、2 fz1及其邊頻2 fz1±n ft1、4 fz1及其變頻 4 fz1±n ft1、6 fz1及其邊頻 6 fz1±n ft1等有的能量峰值出現(xiàn)（n 取 1，2，3，…，取值越大，峰值越?。?。

為了便于比較，又做調(diào)頻信號

在特征頻率α=6 Hz時的循環(huán)譜相關(guān)切片圖，發(fā)現(xiàn)兩者的的切片圖表達的信息一致。即α取信號調(diào)制頻率時，可以調(diào)解提取出該調(diào)幅信號的調(diào)制頻率與載波頻率。

（2）α=12 Hz的譜相關(guān)切片具有調(diào)頻信號的特征。主要反映的是ft2及其倍頻n ft2、2 fz2及其倍頻2 fz2±n ft2（n取1，2，3，…，取值越大，幅值越?。c調(diào)頻信號

在α=12 Hz的信息差不多，不同的是此圖在f=240 Hz及其一倍邊頻處（240±6）Hz多出現(xiàn)了能量較低的一小組峰值，反映了調(diào)幅信號x1的調(diào)制與載波頻率。

（3）從圖中還可以清楚地發(fā)現(xiàn)，調(diào)幅信號與調(diào)頻信號切片圖的異同：在α取調(diào)制頻率頻率時，它們低頻處出現(xiàn)的能量峰值的，都是是調(diào)制頻率及其倍頻；而高頻處則都是載波及其邊頻，但調(diào)幅信號的這種切片圖中，有載波頻率的倍頻，載波頻率附近的邊頻也比較少（通常只有一倍邊頻），而調(diào)頻信號中沒有載波頻率的倍頻，且此載波頻率附近會出現(xiàn)多組邊頻。

基于譜相關(guān)的這種調(diào)解特性，可以判別信號以及頻率的類型。

3 結(jié)束語

本文闡明了循環(huán)平穩(wěn)信號的特征及其適用信號處理方法。在此基礎(chǔ)上，以較為復(fù)雜的調(diào)制調(diào)幅信號為仿真對象，分別分析了它的三維二階循環(huán)自相關(guān)譜圖，τ=0處的循環(huán)自相關(guān)單切片圖，結(jié)果表明三維圖運算量大，所得的信息冗余且頻率之間干擾嚴(yán)重，取其切片圖中也同樣存在交叉干擾。

為更清楚地調(diào)解出復(fù)雜信號中的信息，本文提出了調(diào)制頻率處的循環(huán)自相關(guān)與譜相關(guān)切片分析法。多調(diào)制源調(diào)幅信號、多頻率成分相加信號的循環(huán)相關(guān)解調(diào)分析表明，循環(huán)相關(guān)解調(diào)分析可以排除交叉因素，有效分離出復(fù)雜信號中蘊涵的各調(diào)制源和載波源，為更好地分析實際故障信號奠定理論基礎(chǔ)。

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