正交面齒輪傳動非線性振動特性分析

林騰蛟，冉雄濤

（重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400030）

面齒輪傳動是一種圓柱齒輪與面齒輪相嚙合的傳動形式，用于實現傳遞軸與被傳遞軸存在一定角度的運動。作為一種新型傳動形式，面齒輪傳動具有結構簡單、重量輕、傳動重合度大、振動噪聲小等諸多優(yōu)點，在直升機減速器等重要航空傳動裝置中具有廣闊的應用前景。鑒于面齒輪傳動的諸多優(yōu)點，國內外學者自上世紀90年代以來相繼開展了面齒輪的相關研究工作，包括齒面生成原理、嚙合特性、強度分析、加工方法及裝備、面齒輪傳動試驗等［1－8］。目前對于非線性振動特性研究，主要集中在圓柱齒輪、行星齒輪及螺旋錐齒輪傳動等［9－12］，對面齒輪傳動振動特性分析還較少見。2009年，靳廣虎等［13］建立了正交面齒輪傳動系統的彎－扭－擺耦合振動模型，分析了傳動誤差對系統動載系數的影響；陳廣艷等［14］建立了含面齒輪的直升機主減速器傳動系統動力學模型，對前飛和懸停飛行狀態(tài)下面齒輪動態(tài)響應特性進行分析。但兩篇文獻均未考慮齒側間隙、齒面摩擦、軸承間隙等強非線性因素對系統非線性振動特性的影響。

本文在已有研究的基礎上，采用集中參數法，建立包含時變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒面誤差、齒面摩擦、齒側間隙、軸承間隙等多種因素的正交面齒輪傳動系統的彎－扭耦合非線性動力學模型，利用4～5階變步長Runge-Kutta法求解系統的動力學微分方程組，得出系統的非線性振動特性以及各參數對系統動態(tài)特性的影響。

1 非線性動力學模型

1.1 動力學模型及參數

根據集中參數理論，建立如圖1所示的正交面齒輪傳動系統動力學模型，支承軸承采用彈簧模擬，模型中不考慮齒輪繞各坐標軸的擺振。面齒輪傳動的主要參數如表1所示。

圖1 正交面齒輪傳動系統動力學模型Fig.1 Dynamic model of face-gear drive system

表1 面齒輪傳動系統參數Tab.1 Parameters of face－gear drive system

1.2 時變嚙合剛度及綜合誤差

由于面齒輪副嚙合的重合度大于1，即在一個嚙合周期內，齒輪副均存在雙齒嚙合和單齒嚙合區(qū)。在單雙齒嚙合區(qū)的交界處，齒輪副的綜合嚙合剛度會發(fā)生階躍性突變。因此，實際的面齒輪副的綜合嚙合剛度是一個以嚙合周期為周期的周期函數，可將其處理為一個不變的平均值加上一個周期波動值，表達式為：

式中，Km為嚙合剛度的平均值，Kr為嚙合剛度的波動幅值，ωh為齒輪副的嚙合頻率，φr為初始相位角。

由于齒輪加工誤差和安裝誤差的存在，必然會引起齒輪瞬時傳動比發(fā)生變化，造成輪齒之間碰撞和沖擊。對于靜態(tài)傳遞綜合誤差，可以采用簡諧函數對其進行模擬，一般將其表示為：

式中，e0和er分別為齒輪副法向靜態(tài)傳遞綜合誤差的常值和變量幅值，φr為初始相位角。

1.3 動力學微分方程

在圖1所示的模型中，以主動輪1和從動輪2的軸線交點為原點建立直角坐標系。兩齒輪用集中質量和轉動慣量模擬，且齒輪軸被視為剛性，軸兩端的支承被等效處理為作用在兩齒輪軸線方向的中心點沿x，z方向的剛度和阻尼。由于小齒輪為直齒圓柱齒輪，齒輪上無軸向作用力，因此可以只考慮兩齒輪分別沿x，z的平移振動自由度及輪體繞各自軸線方向的轉動自由度。故整個傳動系統共有6個自由度，表示為：

齒輪副在嚙合點處因振動位移和誤差產生的沿嚙合點法線方向的相對位移δn為：

式中：rp為圓柱齒輪分度圓半徑，rg為面齒輪的名義半徑，rg=mz2/2［14］，θp，θg分別為圓柱齒輪和面齒輪扭轉角位移，αn為圓柱齒輪和面齒輪的法面壓力角。

齒輪副嚙合時的法向動載荷及其沿各個坐標軸上的分量為：

式中，ch為嚙合阻尼，f（δn）為具有分段線性特征的間隙非線性函數，其表達式為：

式中，bh為齒側間隙之半。

設主動輪上的輸入轉矩為Tp，從動輪上的負載轉矩為Tg。考慮到支承齒輪軸的軸承存在一定的間隙，同樣用間隙非線性函數來表示。設軸承沿x、z方向的間隙為bIj（I=X，Z，j=p，g），則軸承各方向的支承力可表示為：

根據牛頓第二定律，得到圖1所示的正交面齒輪傳動系統的動力學微分方程為：

式中，mp、mg、Jp、Jg分別為兩齒輪的質量和轉動慣量，μ為滑動摩擦系數，lp為時變摩擦力矩，η為摩擦力方向函數。

已知齒輪副重合度ε，小齒輪轉速為ω1、基圓半徑rb1、齒頂圓半徑ra1、基圓齒距Pb1，則摩擦力臂及摩擦力方向函數可表示為：

以齒面嚙合點間的法向相對位移δn為新的自由度，對式（6）中的兩輪扭轉振動方程進行合并處理可得：

式中，me為齒輪副等效質量，me=JpJg/（r2pJg+r2gJp）；

將上述振動方程進行量綱一化處理后，得到：

式中：

以上各式中，I=X，Z；i=x，z；j=p，g；d=1，2。

2 非線性動力學特性分析

方程（8）是一個強非線性變參數動力學微分方程組，本文采用4－5階變步長自適應龍格庫塔法對其進行求解，求解中積分步長取為Tm/300（Tm=2π/Ω，為量綱一化后的嚙合周期），積分時間取為500Tm。舍棄前面的數百周期，取后面部分做系統響應的時間歷程圖、相圖、Poincaré映射及FFT頻譜圖。

2.1 嚙合頻率對系統非線性動力學特性的影響

圖2 位移－頻率分岔圖Fig.2 Displacement-frequency bifurcation diagram

取滑動摩擦系數μ=0.02，齒輪副無量綱嚙合頻率Ω在0～2范圍內變化，得到系統的相對位移響應隨嚙合頻率變化的分岔圖，如圖2所示。由圖可知，系統響應呈現出復雜的運動狀態(tài)，響應出現多次跳躍現象，而且在多數跳躍點處系統的運動狀態(tài)也隨之發(fā)生改變。總體看來，系統響應狀態(tài)經歷了擬周期－混沌－周期－混沌的運動狀態(tài)，混沌區(qū)域與周期窗口交錯出現，有些周期窗口比較狹窄，但有些則范圍比較大，在實際運轉中可以通過調節(jié)輸入轉速，使系統運動狀態(tài)處在位移較小的周期窗口中，能夠有效地降低系統的振動。

當無量綱頻率Ω＜0.4時，系統一直處于擬周期響應，0.4＜Ω＜0.433時出現了一個比較狹窄的單周期窗口，如圖3所示。從時間歷程圖可看出響應是周期為T（T=2π/Ω）的周期運動，相圖為非圓閉合曲線，Poincaré截面上為單個離散點，FFT頻譜圖在iΩ（i為正整數）處有幅值分量，表明系統響應存在超諧成分。

圖3 單周期非諧響應（Ω=0.42）Fig.3 Single period non-harmonic response

圖4 擬周期響應（Ω=0.433）Fig.4 Quasi periodicity response

當Ω=0.433時系統又呈現擬周期響應，如圖4所示。擬周期響應是由兩個或以上的不可通約的頻率成分組合而成的，從時間歷程圖上能夠看出響應存在周期成分，相圖為具有一定寬度的閉合曲線帶，Poincaré截面為封閉曲線，FFT頻譜圖的譜線離散地分布在組合頻率的點上。

當Ω=0.55時系統呈現2周期次諧波響應。Ω增大到0.586時系統進入混沌響應，如圖5所示。從時間歷程圖上看不出任何周期特性，相圖為充滿空間某一部分且既不重復又不封閉的曲線，在Poincaré截面上，起始時相點雖然隨機地分布著，但在計算足夠長的時間以后，一種由相點描繪的內部結構逐步地顯露出來，而FFT頻譜圖則表現為一定范圍內的連續(xù)譜。

圖5 混沌響應（Ω=0.586）Fig.5 Chaotic response

圖6 8周期次諧波響應（Ω=1.4）Fig.6 Eight-period sub-harmonic response

當Ω在0.594～1.165的范圍時，系統處于復雜的周期運動狀態(tài)，并且存在跳躍現象，而且每個跳躍點都伴隨著周期的改變。在Ω處于0.594～0.94時系統為單周期響應，當Ω繼續(xù)增大時系統響應發(fā)生跳躍，變?yōu)?周期運動。隨后倍周期分岔為6周期運動，之后又回到3周期運動，在Ω=1.09處又發(fā)生跳躍，變?yōu)閱沃芷谶\動。

當Ω繼續(xù)增大時，系統經倍周期分岔進入混沌。Ω=1.2時系統為單周期響應，Ω=1.22時系統為2周期響應，Ω=1.3時系統為4周期響應，Ω=1.4時系統為8周期響應，如圖6所示，Ω=1.44時進入混沌運動，如圖7所示。

圖7 混沌響應（Ω=1.44）Fig.7 Chaotic response

2.2 負載轉矩對系統非線性動力學特性的影響

定義載荷系數C=Tv/Tg，其中Tv為負載轉矩，Tg=1 727.3 N·m為額定輸出轉矩。取滑動摩擦系數μ=0.02，C在0～2之間變化，追蹤系統響應得到相對位移隨載荷系數變化的分岔圖，如圖8所示。

圖8 位移－載荷系數分岔圖Fig.8 Displacement-load factor bifurcation diagram

根據齒側間隙非線性函數可知，當無量綱位移δmax＞1且δmin＜－1時，齒輪副處于雙邊沖擊狀態(tài)，當δmax＜1且 δmin＞ －1時，齒輪副處于無沖擊狀態(tài)，當δmax＞1或 δmin＜ －1時，齒輪副處于單邊沖擊狀態(tài)。

當載荷系數C=0.15時系統為混沌響應，如圖9所示。由時間歷程圖可知齒輪副處于雙邊沖擊狀態(tài)。

圖9 混沌響應（C=0.15）Fig.9 Chaotic response

當載荷系數繼續(xù)增大，在混沌區(qū)域出現一個狹窄的周期窗口。取C=0.23時，系統為3周期次諧響應，如圖10所示。由時間歷程曲線可以看出此時齒輪副處于單邊沖擊狀態(tài)。

圖10 3周期次諧波響應（C=0.23）Fig.10 Three-period sub-harmonic response

當載荷系數增大到C=0.3時，系統又進入混沌響應，如圖11所示。由時間歷程曲線可以看出此時系統響應幅值繼續(xù)增大，齒輪副處于雙邊沖擊狀態(tài)。

在載荷系數C處于0.4～0.6之間變化時，系統響應均處于多周期運動狀態(tài)，且伴有倍周期倒分岔及跳躍現象，且在跳躍點處系統的周期運動狀態(tài)發(fā)生改變，如圖12～圖15所示。從各時間歷程曲線上可看出系統均處于單邊沖擊狀態(tài)。

當載荷系數增大到C=0.96時，系統處于單周期響應，如圖16所示。無量綱位移幅值顯著增大，δmin＞1，此時齒輪副始終保持接觸而不脫嚙，處于無沖擊狀態(tài)。

圖11 混沌響應（C=0.3）Fig.11 Chaotic response

圖12 4周期次諧波響應（C=0.4）Fig.12 Four-period sub-harmonic response

圖13 2周期次諧波響應（C=0.5）Fig.13 Two-period sub-harmonic response

圖14 8周期次諧波響應（C=0.56）Fig.14 Eight-period sub-harmonic response

圖15 2周期次諧波響應（C=0.6）Fig.15 Two-period sub-harmonic response

圖16 單周期非諧響應（C=0.96）Fig.16 Single period non-harmonic response

由以上分析可知，負載轉矩的大小對系統響應影響甚大，在負載轉矩逐漸由小增大的過程中，齒輪副的嚙合狀態(tài)也逐漸從雙邊沖擊、單邊沖擊進入到無沖擊狀態(tài)。每次嚙合狀態(tài)的變化均伴隨著系統響應特性的變化，或出現分岔，或出現跳躍。在負載轉矩較小時，齒輪副未能始終處于嚙合狀態(tài)，容易產生沖擊。當負載增大到一定數值時，齒輪副彈性接觸變形較大，始終保持嚙合狀態(tài)，無沖擊現象出現。

2.3 摩擦系數對系統非線性動力學特性的影響

取載荷系數為C=1，Ω=1.15，其它參數保持不變，μ在0～0.1范圍內逐漸增大時，得到如圖17所示的系統的相對位移響應隨摩擦系數變化的分岔圖。

圖17 位移－摩擦系數系數分岔圖Fig.17 Displacement-friction coefficient bifurcation diagram

當摩擦系數μ=0.02時，系統響應為單周期非諧響應，如圖18所示，時間歷程圖表現為單周期非簡諧波，龐加萊截面上為單個點。當摩擦系數增大到 μ＞0.028時，系統響應開始發(fā)生倍周期分叉現象。當0.028＜μ≤0.04時系統為2周期次諧波響應，如圖19所示。當0.04＜μ≤0.045時，系統為4周期次諧波響應如圖20所示。當摩擦系數μ繼續(xù)增大，系統響應依次為8、16…周期，最后通往混沌，如圖21所示。

從上述分析可看出，齒面摩擦也是齒輪動力學中不可忽略的一個非線性因素。隨著摩擦系數的增大，系統響應由單周期非諧響應經倍周期分叉進入混沌，當摩擦系數繼續(xù)增大時，混沌區(qū)域逐漸擴大，系統進入幅值較大的混亂無序的振動狀態(tài)。由于齒面摩擦力是一個非簡諧的周期激勵，它的存在進一步增強了齒輪傳動系統的非線性特性。

圖18 單周期非諧響應（μ=0.02）Fig.18 Single period non-harmonic response

圖19 2周期次諧波響應（μ=0.03）Fig.19 Two-period sub-harmonic response

圖20 4周期次諧波響應（μ=0.045）Fig.20 Four-period sub-harmonic response

圖21 混沌響應（μ=0.07）Fig.21 Chaotic response

3 結論

（1）建立了包含時變嚙合剛度、嚙合阻尼、齒面誤差、齒面摩擦、齒側間隙、軸承間隙等多種非線性因素，能較為全面描述正交面齒輪傳動系統振動特性的非線性動力學模型。

（2）面齒輪傳動系統動態(tài)響應特性非常復雜，隨著嚙合頻率的變化，系統會呈現出單周期非諧響應、多周期次諧響應、擬周期響應及混沌響應。

（3）隨著負載轉矩的增大，系統響應由混沌經倍周期倒分岔進入單周期響應，齒輪副嚙合狀態(tài)由雙邊沖擊、單邊沖擊過渡到無沖擊狀態(tài)。

（4摩擦系數較小時對系統動態(tài)響應特性影響不大，當其逐漸增大時，系統運動狀態(tài)由單周期經倍周期分叉進入復雜無序的混沌運動。

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