水中結(jié)構(gòu)振動時聲學相似性的數(shù)值驗證

王永富，周其斗，紀 綱，謝志勇

(海軍工程大學 船舶與動力學院，武漢 430033)

水中結(jié)構(gòu)振動時聲學相似性的數(shù)值驗證

王永富，周其斗，紀 綱，謝志勇

(海軍工程大學 船舶與動力學院，武漢 430033)

以聲學相似性原理為基礎(chǔ)，用因次理論得到了在相似準數(shù)相等條件下的無因次系數(shù)，給出了模型和原型聲學相似的條件。采用結(jié)構(gòu)有限元耦合流體邊界元方法計算水下相似加肋圓柱殼模型的流固耦合振動和聲輻射。數(shù)值計算表明在相似條件下幾何相似模型的殼體振動聲學傳遞函數(shù)及其譜峰頻率滿足相似性，水下的模態(tài)、流固耦合振動響應以及聲輻射均滿足相似關(guān)系，并且與理論結(jié)果能夠符合。

聲學相似原理;加肋圓柱殼;殼體通道聲學傳遞函數(shù);譜峰頻率;流固耦合

以聲學相似性原理為基礎(chǔ)，通過研究相似模型的耦合振動以及輻射聲場來預測水下復雜結(jié)構(gòu)的振動響應和聲輻射規(guī)律是一種有效的方法。文獻［1－2］從理論上推導了薄殼和復雜圓柱殼振動的相似關(guān)系和相似條件。文獻［3］介紹了縮比為0.15的聲學試驗模型，模型可以很好地研究水下結(jié)構(gòu)的振動和聲響應。文獻［4－5］給出了風機相似性的定律，介紹了依據(jù)聲學相似原理分析風機相似性的數(shù)值計算方法，通過計算結(jié)果和試驗結(jié)果比較，這種方法可以很好的預測風機的噪聲。文獻［6］采用有限元和邊界元方法分析了加肋圓柱殼振動、耦合振動和聲輻射并給出了聲學相似性條件和相似關(guān)系。文獻［7］完成了加肋圓柱殼的振動和水下聲輻射的相似性試驗，驗證了模態(tài)頻率和水下輻射聲功率的相似性。文獻［8］利用ANSYS對具有相似關(guān)系模型的振動響應和聲輻射進行分析，驗證了相似性原理，提出了預報水下大型復雜結(jié)構(gòu)體振動響應和聲輻射的方法。文獻［9］介紹了使用FORTRAN和DAMP語言以及有限元軟件NASTRAN實現(xiàn)了流固耦合解耦的附加質(zhì)量阻尼法。

方程分析法和有限元分析法是研究聲學相似性的一般方法。本文結(jié)合因次理論和相似理論，給出了研究水下結(jié)構(gòu)相似振動新的推導方法，這種方法可以避免處理相似理論問題時采用的復雜公式推導和有限元分析，給出的相似準數(shù)和無因次相似系數(shù)揭示了聲學相似的本質(zhì)。另外，利用有限元軟件 PATRAN、NASTRAN結(jié)合邊界元方法對水下結(jié)構(gòu)的模態(tài)、耦合振動響應、輻射聲場的相似性進行了數(shù)值驗證。

1 相似理論

1.1 相似準則

相似理論主要是解決實現(xiàn)相似現(xiàn)象之間物理狀態(tài)的相似問題。對于流體中結(jié)構(gòu)振動時產(chǎn)生聲輻射的這種物理現(xiàn)象，就是要求兩個力學系統(tǒng)在相似條件下產(chǎn)生的輻射聲場是相似的。要實現(xiàn)模型和原型兩個力學系統(tǒng)的聲學相似，滿足的條件為：

1.1.1 幾何相似

幾何相似就是兩系統(tǒng)對應的長度均具有同一比例，且對應角相等。本文中模型的幾何尺寸、肋骨的尺度以及板厚、端蓋厚度等幾何尺寸均滿足相似性。

1.1.2 運動相似

在幾何相似系統(tǒng)中，在對應瞬時，對應點上的速度方向相同，大小成同一比例，則稱之為運動相似。本文討論了在相似現(xiàn)象間模型和原型速度之間的關(guān)系。對于在靜水中的激振，不考慮速度及其衍生出相似準數(shù)的影響。

1.1.3 動力相似

動力相似是指在相似系統(tǒng)中，在對應瞬時，對應點上作用力的分布方向相同，大小具有同一比例。本文是在模型對應點進行穩(wěn)態(tài)激振，激振力采取集中分布的形式，激振方向相同，并且激振力幅值和激振頻率滿足相似條件。

如果兩個系統(tǒng)是相似的，對于任意無因次量在數(shù)值上是相等的。可以把從模型中獲得的物理量整理成無因次系數(shù)的形式，然后換算到原型上，從而得到原型的物理量。

兩系統(tǒng)現(xiàn)象相似的充要條件為，邊界條件和初始條件相似，滿足同一微分方程式。邊界條件和初始條件用相似準數(shù)來描述，相似準數(shù)在數(shù)值上相等則保證兩系統(tǒng)現(xiàn)象相似。對于本文中加肋圓柱殼在水下的受激振動和聲輻射現(xiàn)象，邊界條件和初始條件相同，并且都滿足結(jié)構(gòu)振動方程(1)和流體波動方程(2)。根據(jù)結(jié)構(gòu)振動方程和流體波動方程分析影響某一物理量的所有因素，并用因次分析法獲得描述現(xiàn)象相似的相似準數(shù)，得到了關(guān)于這一物理量的無因次系數(shù)。相似準數(shù)相等就可以保證無因次系數(shù)相等，由此可由模型的物理量推得原型的物理量。

1.2 用因次分析法得到無因次系數(shù)

1.2.1 無因次聲壓系數(shù)

對于結(jié)構(gòu)在流體中的受激振動，其控制方程主要包括結(jié)構(gòu)的振動方程(1)和流體波動方程(2)［10］。根據(jù)薄殼理論，可以推得無阻尼振動的有限元方程為：

其中：K、M為結(jié)構(gòu)剛度矩陣、質(zhì)量矩陣，包含了材料彈性模量E、泊松比σ、材料密度ρ*、幾何特征尺寸l。U為節(jié)點的位移矩陣，j包括流體負載力和等效節(jié)點力(包括機械外力)。

從流體的連續(xù)方程和歐拉運動方程出發(fā)，得到了來流速速V不變時的流體波動方程：

式中：ρ為流體密度，c為流體中聲速，V為平均來流速度，p為流場壓力，t'為作用流體的體積力，它反映了流體對結(jié)構(gòu)的反作用力，x軸為來流方向，q為外部的體積流量。

由上面兩式可知，水下輻射聲壓的影響因素包括了：流體密度ρ、材料密度ρ*、材料彈性模量E、材料泊松比σ、水下航行體的速度(或者來流速度)V、幾何特征尺度(包括板厚、外形尺寸、肋骨尺寸等)l、流體中聲速c。j中的機械外力必然包括了激振力的激振頻率f和激振力幅值R的影響。在輻射聲場中由于在不同位置的聲場的輻射聲是不同的，所以水深Z以及聲場計算距離r也作為考慮的因素。即輻射聲壓可表達為：

式中：ai、bi、ci、di、ei、fi、gi、hi、ni、ri、si均為無因次常數(shù)。作為一個物理等式，上式兩端的因次是一致的。選取長度L、時間T、力F作為基本量。

由式(4)得到了如下因次方程式：

由式(12)可知，只要模型和原型的相似準數(shù)Rψ，cψ，ρψ，Eψ，Vψ，Zψ，σψ，rψ相等，則二者的無因次聲壓系數(shù)相等，最終得到模型和原型聲壓之間的關(guān)系。

由于本文中的模型是在水中進行靜止激振，故不考慮來流速度V。即輻射聲壓表達為：

其中相似準數(shù) RΨ、cψ、ρψ、Eψ、Zψ、σψ、rψ同式(9)。

由相似準數(shù)(9)，得到了模型和原型激振頻率、聲場測量距離、激振力幅值之間的關(guān)系如下：

即模型和原型之間的聲壓是相等的。

1.2.2 無因次輻射聲壓譜密度系數(shù)

在頻率f處的輻射聲壓譜密度G(f)可以表示為：

進行無因次分析，得到：

其中相似準數(shù) RΨ、cψ、ρψ、Eψ、Zψ、σψ、rψ同式(9)，無因次輻射聲壓譜密度系數(shù)為：

1.2.3 無因次模態(tài)頻率系數(shù)

模型的固有頻率只與結(jié)構(gòu)的尺寸和材料屬性有關(guān)，即材料密度ρ*、材料彈性模量E、材料泊松比σ、以及幾何特征尺度l有關(guān)。則固有頻率表示為：

同上進行無因次分析，得到：

其中相似準數(shù)σψ同式(9)，無因次模態(tài)頻率系數(shù)為：

模型的水下模態(tài)頻率還與流體的密度ρ有關(guān)。則水下耦合模態(tài)頻率表示為：

同上進行無因次分析，得到：

其中相似準數(shù) ρψ、σψ同式(9)，無因次濕模態(tài)頻率系數(shù)為：

1.2.4 無因次耦合振動位移響應系數(shù)

由式(1)和式(2)可知，水下耦合位移振動響應的影響因素包括：流體密度ρ、材料密度ρ*、材料彈性模量E、材料泊松比σ、以及幾何特征尺度l、激振頻率f、激振力幅值R。則水下耦合振動位移響應可以表示為：

其中相似準數(shù) RΨ、cψ、ρψ、Eψ、σψ同式(9)，無因次耦合振動位移響應系數(shù)為：

根據(jù)式(33)，在滿足相似準數(shù) RΨ、cψ、ρψ、Eψ、σψ相等的條件下，則模型和原型濕模態(tài)頻率系數(shù)相等。由式(34)知，Us/ls=Ub/lb，最終得到：

在幾何相似的聲場測量點，即水深、聲場計算點距離滿足相似關(guān)系，邊界條件和材料相同，在相似激振頻率和激振力幅值下，模型得到的聲壓等于原型的聲壓，并且模態(tài)、耦合振動位移響應及輻射聲壓譜密度同樣滿足相似性。

2 相似原理數(shù)值計算驗證

數(shù)值計算設(shè)計的兩個圓柱殼模型采用相同的鋼質(zhì)材料，楊氏模量E=2.06×1011N·m2，泊松比σ=0.3，密度 ρ*=7 850 kg·m－3，材料阻尼 λ=0.06。流體參數(shù)為：密度 ρ=1 020 kg· m－3，水中聲速 c=1 450 m·s－1。

模型幾何縮尺比取為m=0.5，根據(jù)式(17)，得到Dr=0.5，Dz=0.5。圓柱殼放置的水深取Zb=3.0 m，Zs=1.5 m。聲場計算點距離取rb=8.0 m，rs=4.0 m(如圖1)。激振力均作用在最中間的肋骨上，并且激振方向沿徑向向外(如圖2)。兩個圓柱殼的幾何參數(shù)如表1。

表1 模型尺寸Tab.1 Modle size

2.1 模態(tài)相似性

利用有限元軟件PATRAN建立了相似的有限元模型，兩個模型均劃分了2 742個網(wǎng)格1 562個節(jié)點，以確保計算精度是相同的(如圖 3)。利用 NASTRAN103求解器進行模態(tài)計算，對于水中的模態(tài)采用虛擬質(zhì)量法進行計算。如圖4，比較了模型的固有頻率及水下濕模態(tài)頻率，同階模態(tài)下小模型模態(tài)頻率均為大模型的2倍，這驗證了式(27)和式(31)。干模態(tài)和濕模態(tài)前6階均為剛體模態(tài)并且模態(tài)頻率接近 0 Hz，7階到20階模態(tài)為受壓模態(tài)，并且在同階模態(tài)下濕模態(tài)頻率均小于其固有頻率。模態(tài)振型滿足相似性，以13階模態(tài)為例，大小模型的固有模態(tài)振型如圖5和6，固有頻率分別為186.87 Hz、373.74 Hz。水中濕模態(tài)振型如圖7和8，濕模態(tài)頻率分別是95.97 Hz、191.93 Hz。濕模態(tài)振型和干模態(tài)振型明顯不同，這是因為結(jié)構(gòu)在流體中振動時會受到流場的反作用，耦合振動后的結(jié)構(gòu)響應發(fā)生了變化。

圖3 有限元網(wǎng)格Fig.3 Finite element mesh

2.2 耦合振動的相似性

用NASTRAN108求解器計算模型在穩(wěn)態(tài)激振力下在真空中和水中的位移振動響應，并且激振頻率相似比滿足式(16)，即小模型的激振頻率是大模型的兩倍。激振力幅值取 Rb=98 N、Rs=24.5 N(滿足 DR=0.25)。以大模型在240 Hz激振頻率、小模型在480 Hz激振頻率時為例，如圖9、10所示，大小模型在真空中的位移振動響應是相似的，圖11、12分別是大小模型在水中的位移振動響應，對比可以發(fā)現(xiàn)由于流體介質(zhì)的影響，耦合振動后的位移振動響應發(fā)生了變化，但是并不影響其相似性。大模型的最大、最小耦合振動位移響應為2.41×10－3mm、2.97×10－5mm，小模型的最大、最小耦合振動位移響應為1.21×10－3mm、1.48×10－5mm，大小模型的最大和最小耦合振動位移響應基本上滿足式(35)。

圖9 真空中大模型240 Hz激振頻率下位移振動響應Fig.9 Vibrational response of displacement at excitation frequency of 240Hz of big modle in vacuum

圖10 真空中小模型480 Hz激振頻率下位移振動響應Fig.10 Vibrational response of displacement at excitation frequency of 480 Hz of small modle in vacuum

圖11 水中大模型240 Hz激振頻率下位移振動響應Fig.11 Vibrational response of displacement at excitation frequency of 240 Hz of big modle underwater

圖12 水中小模型480Hz激振頻率下位移振動響應Fig.12 Vibrational response of displacement at excitation frequency of 480 Hz of small modle underwater

2.3 聲學傳遞函數(shù)的相似性

使用有限元耦合流體邊界元方法計算水下結(jié)構(gòu)的聲輻射［11］，用有限元軟件PATRAN/NASTRAN對結(jié)構(gòu)作有限元分析，采用FORTRAN語言進行邊界元處理，利用DAMP語言完成了邊界元與有限元軟件 NASTRAN的對接，實現(xiàn)了流固耦合的計算。計算時考慮了水面反射的影響，大、小模型放置的水深為3 m、1.5 m，Rb=98 N、Rs=24.5 N。以1 Hz為間隔計算了大模型激振頻率在20～250 Hz、小模型在40～500 Hz時相似距離下的聲輻射。如圖2，計算了一周72個點的輻射聲壓，對比了大小模型在A點的輻射聲壓。

圖13 大模型激振力傳遞函數(shù)Fig.13 Excitation force transfer function of big modle

圖14 小模型激振力傳遞函數(shù)Fig.14 Excitation force transfer function of small modle

圖15 大模型聲功率譜密度Fig.15 Radiation sound pressure spectral density of big modle

圖16 小模型聲功率譜密度Fig.16 Radiation sound pressure spectral density of small modle

2.4 指向性的相似性

根據(jù)文獻［8］可知，模型和原型聲壓的指向性是相同的，在激振頻率和激振力幅值相似，并且滿足模型幾何、水深、聲場計算點距離相似，邊界條件和材料相同時，計算耦合振動產(chǎn)生的遠場輻射聲壓。圖17和圖18分別是大模型在120 Hz激振頻率下、小模型在240 Hz時輻射聲場的對比，結(jié)果可知小模型的輻射聲場能夠很好的和大模型相似。大、小模型在A點的輻射聲壓級為117.046 4 dB、117.046 6 dB，其它相似聲場計算點的誤差均很小，很好的驗證了式(19)。

3 結(jié)論

本文通過結(jié)構(gòu)有限元耦合流體邊界元方法，用因次理論得到了在相似準數(shù)相等條件下的無因次系數(shù)，利用有限元軟件PATRAN/NASTRAN對兩個幾何相似模型進行了相似性分析包括：模態(tài)、流固耦合的振動響應、輻射聲場。并且對殼體通道的聲學傳遞函數(shù)及其譜峰頻率進行了研究。結(jié)果表明：幾何相似的模型在邊界條件和材料相同，激振頻率和激振力幅值相似的條件下，模態(tài)頻率及振型、流固耦合的位移振動響應、輻射聲場是相似的，聲學傳遞函數(shù)及其譜峰頻率、輻射聲壓譜密度同樣滿足相似性。也就是說可以通過小模型來預測大模型在水下的振動響應和聲輻射。

［1］ Soedel W.Similitude approximations for vibrating thin shell［J］.The Journal of the Acoustical Society of America，1970，49(5)：1535－1541.

［2］ Tabiei A，Sun J，Simitses G J.Scaling laws of cylindrical shells under lateral pressure［J］.AIAA Journal，1997，35(10)：1669－1671.

［3］ Rortrubin J L， Cousquer J. Hydro－acoustic analysis of external structure of submarine［C］.Wordship’91，Inter.Sym.On Naval Subm－Arines，London 3，1991.

［4］Neise W.Application of similarity laws to the blade passage sound of contrifugal fans［J］.J.Sound and Vibration，1975，43(1)：61.

［5］Jeon W H，Lee D J，Rhee H.An application of the acoustic similarity law to the numerical analysis of centrifugal fan noise［J］.J.Sound and Vibration，2004，47(3)：845－851.

［6］俞孟薩，史小軍，陳克勤.采用有限元和邊界元方法分析彈性加肋圓柱殼的聲學相似［J］.中國造船，1999，146：65－91.

YU Meng－sa，SHI Xiao－jun，CHEN Ke－qin.Study on acoustic similitude of elastic stiffened shells by FEM and BEM［J］.Shipbulding of China，1999，146：65 －91.

［7］俞孟薩，吳永興，呂世金.加肋圓柱殼的聲學相似性試驗研究［J］.中國造船，2000，43(2)：50 －57.

［8］楊德森，王三德，時勝國，等.水下復雜殼體的聲學相似性研究［J］.哈爾濱工程大學學報，2005，26(02)：173：178.

［9］Zhou Q，Joseph P F.A numerical method for the calculation ofdynamic response and acoustic radiation from an underwater structure［J］.J.Sound Vib，2005，283：853－873.

［10］ Marvin E.Goldstein aeroacoustic［M］.McGRAW－HILL International Book Co MPany.

［11］紀 綱，張緯康，周其斗.靜水壓力作用的水下結(jié)構(gòu)振動和聲輻射［J］.中國造船，2006，47(3)：37 －44.

JI Gang，ZHANG Wei－kang，ZHOU Qi－dou.Vibration and radiation from underwater structure considering the effect of static water preload［J］.Shipbulding of China，2006，47(3)：37－44.

Numerial investigation on acoustic similarity of fluid-loaded stiffened cylinder

WANG Yong－fu，ZHOU Qi－dou，JI Gang，XIE Zhi－yong
(College of Ships and Dynamic，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

Based on acoustic similarity principle，dimensionless coefficients were obtained under the supposition of equal similarity numbers by using dimensional theory，and the similarity conditions between model and prototype were provided.The FEM for structure coupled with BEM for fluid were used in the computation of fluid－structure coupled vibration and acoustic radiation of an underwater stiffened cylinder.Under similar conditons，numerical calculation shows that for geometrically similar models，the acoustic transfer function and it’s spectral peak frequency both meet the similarity conditions，the underwater mode，response of fluid－structure coupled vibration and acoustic radiation all satisfy the similarity relations，and the results accord well with the theoretical results.

acoustic similarity principle;stiffened cylinder;shell channel’s acoustic transfer function;spectral peak frequency;fluid－structure coupling

U661.4

A

2011－06－01 修改稿收到日期：2011－09－09

王永富 男，碩士生，1985年生