引入傳遞矩陣法的復(fù)雜多體系統(tǒng)連接件建模方法研究

高浩鵬，黃映云，劉 鵬

(海軍工程大學(xué) 船舶與動(dòng)力學(xué)院，武漢 430033)

引入傳遞矩陣法的復(fù)雜多體系統(tǒng)連接件建模方法研究

高浩鵬，黃映云，劉 鵬

(海軍工程大學(xué) 船舶與動(dòng)力學(xué)院，武漢 430033)

以復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模為研究背景，在計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論指導(dǎo)下，提出引入傳遞矩陣法模擬連接件的建模方法。以柴油機(jī)機(jī)腳螺栓為例使用該方法進(jìn)行建模分析，結(jié)果表明引入傳遞矩陣法的復(fù)雜多體系統(tǒng)連接件建模和分析是可行的，在不失復(fù)雜系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)特性的前提下較精確地融入了連接件的傳遞特性，調(diào)諧了大零部件和小連接件間耦合建模時(shí)所建立矩陣的奇異性，具有求解速度快、模型數(shù)據(jù)量小等優(yōu)點(diǎn)。該建模方法給建立柴油機(jī)整機(jī)振動(dòng)與抗沖擊快速評(píng)估模型奠定了一定基礎(chǔ)。

傳遞矩陣法;多體動(dòng)力學(xué);建模;螺栓

建模是把系統(tǒng)的本質(zhì)部分信息減縮成有用的描述方式的過程［1］;對(duì)于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)其建模的目的就是通過已知系統(tǒng)參數(shù)求解人們所關(guān)心的未知的系統(tǒng)固有參數(shù)，進(jìn)而使得機(jī)械系統(tǒng)更好地工作。數(shù)學(xué)計(jì)算模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕７椒ǘ际请S著基礎(chǔ)科學(xué)的進(jìn)步而發(fā)展，當(dāng)然系統(tǒng)建模的復(fù)雜度在增加，其研究對(duì)象趨向于復(fù)雜多體系統(tǒng)。

隨著計(jì)算機(jī)應(yīng)用技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)復(fù)雜多體機(jī)械系統(tǒng)的建模的研究主要集中在基于CAX技術(shù)的參數(shù)化物理計(jì)算模型［2］，對(duì)其邊界條件以及初始條件的分析更加接近實(shí)際。對(duì)于目前集中建模方法的分析可以發(fā)現(xiàn)：有限元方法對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題可以很好地解決，但是其對(duì)于復(fù)雜邊界條件添加較困難，對(duì)于具有大位移運(yùn)動(dòng)方式的構(gòu)件的系統(tǒng)研究較少;多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)處理復(fù)雜邊界條件的添加有一定的優(yōu)勢(shì)，處理具有大位移運(yùn)動(dòng)方式的構(gòu)件系統(tǒng)研究較為方便，但是其對(duì)于單個(gè)構(gòu)件自身的固有特性的研究較困難;剛?cè)峄旌隙囿w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)結(jié)合有限元與多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，使得這兩種方法進(jìn)行互補(bǔ)，但是對(duì)于復(fù)雜多體系統(tǒng)建模時(shí)連接件的處理通過剛性連接定義，這與實(shí)際有較大差異。為了更好地解決復(fù)雜多體系統(tǒng)連接件的建模，本文提出將傳遞矩陣法與剛?cè)峄旌隙囿w系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜多體系統(tǒng)中連接件較為正確的建模方式。

1 研究背景

柴油機(jī)作為一種復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的代表，其民用與軍事方面的廣泛應(yīng)用使得對(duì)其動(dòng)力學(xué)分析具有重要意義。作者對(duì)柴油機(jī)動(dòng)力學(xué)方面的建模方法作如下分析：

(1)有限元方法建模(以曲軸為例)。對(duì)于曲軸單個(gè)零部件的強(qiáng)度分析較為精確和方便，但不能綜合考慮連桿、活塞以及平衡軸等構(gòu)件間的耦合作用［3］。

(2)多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模?？梢苑奖愕奶砑託飧讐毫Φ冗吔鐥l件，綜合考慮運(yùn)動(dòng)件間的耦合作用，較好地得到剛性系統(tǒng)的固有參數(shù)。

(3)剛?cè)峄旌隙囿w動(dòng)力學(xué)建模。在邊界條件較易添加的基礎(chǔ)上，將單個(gè)零部件融入系統(tǒng)中去分析［4］，得到零部件的固有參數(shù)更加準(zhǔn)確，但是剛?cè)峄旌辖r(shí)剛?cè)岬倪B接方式以剛性連接，難于模擬螺栓等連接件的傳遞特性，而在柴油機(jī)實(shí)際故障分析中可以發(fā)現(xiàn)某些螺栓(如機(jī)腳螺栓)對(duì)柴油機(jī)整機(jī)的動(dòng)力學(xué)特性有較大影響。

另外，如果對(duì)于螺栓這種尺寸較小的零部件進(jìn)行剛?cè)峄旌辖?，其主要有以下弊端：其網(wǎng)格數(shù)量較大，使得多體動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型較大，影響計(jì)算速度甚至這種大剛度梯度使得計(jì)算難于順利進(jìn)行;剛?cè)峄旌辖＠媚B(tài)疊加技術(shù)，很難準(zhǔn)確模擬這種精細(xì)零部件的傳遞特性。在進(jìn)行柴油機(jī)整體的振動(dòng)和抗沖擊分析時(shí)［5］，連接件的傳遞特性占有一定的比重，在計(jì)算模型大小和計(jì)算時(shí)間上都有一定的要求。綜上，作者提出了利用傳遞矩陣法解決復(fù)雜系統(tǒng)中連接件的建模問題，在不改變連接件傳遞特性的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)有限元方法、多體動(dòng)力學(xué)方法以及傳遞矩陣法的耦合分析。

2 引入傳遞矩陣法的連接件建模方法研究

2.1 建模原理

為了便于計(jì)算機(jī)數(shù)值求解，目前計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的建模方法主要基于笛卡爾數(shù)學(xué)建模［6］，柔性體系統(tǒng)中的坐標(biāo)系如圖1所示。對(duì)于柔性體而言，體內(nèi)各點(diǎn)的位置時(shí)時(shí)刻刻都在變化，僅靠動(dòng)坐標(biāo)系不能準(zhǔn)確表述該柔性體在慣性坐標(biāo)系中的位置，所以引入彈性坐標(biāo)系來描述柔性體上各點(diǎn)相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系的變形。由于柔性體上各點(diǎn)之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，所以動(dòng)坐標(biāo)系選擇浮動(dòng)坐標(biāo)系。由此可知柔性體上任意點(diǎn)的位置、速度和加速度的確定就是將運(yùn)動(dòng)分解后利用不同坐標(biāo)系之間的關(guān)系來確定。如某柔性體從位置L1運(yùn)動(dòng)到L2(圖1所示)，其運(yùn)動(dòng)分解為：剛性移動(dòng)→剛性轉(zhuǎn)動(dòng)→變形運(yùn)動(dòng)。根據(jù)計(jì)算多體動(dòng)力學(xué)中如何描述物體的位置、速度、加速度的原理，就可以由各種坐標(biāo)系之間的關(guān)系建立起易于求解的多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，柔性體的動(dòng)力學(xué)方程從拉格朗日方程導(dǎo)出［7］。

通過剛?cè)岫囿w系統(tǒng)的建模和求解原理可知，為了便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)建模主要在建立笛卡爾坐標(biāo)系基礎(chǔ)上通過拉格朗日方法進(jìn)行求解，構(gòu)件間的連接方式是通過自由度約束方程來實(shí)現(xiàn)。這種連接方式本質(zhì)上是一種剛性約束，而對(duì)于如螺栓很難模擬其傳遞特性，故本文提出結(jié)合傳遞矩陣法來模擬螺栓連接。

圖1 柔性體系統(tǒng)的坐標(biāo)示意圖Fig.1 The coordinate representing graph of flexible system

傳遞矩陣法是將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)離散為一些簡(jiǎn)單的彈性和動(dòng)力部件，根據(jù)不同的問題和要求列出結(jié)合點(diǎn)處部件兩端的狀態(tài)矢量，并用振動(dòng)時(shí)彈性系統(tǒng)部件狀態(tài)矢量的傳遞關(guān)系列出傳遞矩陣，再利用彈性系統(tǒng)的邊界條件，求得系統(tǒng)的數(shù)值解［8］。本文中主要通過傳遞矩陣法實(shí)現(xiàn)構(gòu)件間的連接問題，特別是剛?cè)峄旌辖５倪B接問題。由參考文獻(xiàn)［9］可知多種模型的傳遞矩陣，以平面運(yùn)動(dòng)單向彈簧阻尼器以及扭簧系統(tǒng)為例，其復(fù)傳遞方程分別如式(1)和式(2)所示：

2.2 建模方法的實(shí)現(xiàn)

下面以螺栓為例利用傳遞矩陣法在多體系統(tǒng)中對(duì)其進(jìn)行建模。根據(jù)螺栓的狀態(tài)方程的特點(diǎn)(如式(3)所示)，其模擬可以通過空間彈性鉸系統(tǒng)實(shí)現(xiàn);空間彈性鉸由三個(gè)方向的彈簧和三個(gè)方向的扭簧組成;單向平面運(yùn)動(dòng)彈簧阻尼系統(tǒng)以及扭簧的傳遞矩陣參考文獻(xiàn)［9］中有較詳細(xì)的推導(dǎo)過程，其主要通過系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，進(jìn)行線性化等一系列變形得到，其傳遞矩陣如式(1)和式(2)所示。分析螺栓連接構(gòu)件間的性質(zhì)，根據(jù)其傳遞矩陣，在多體動(dòng)力學(xué)中通過簡(jiǎn)單的函數(shù)表達(dá)式模擬其傳遞特性，可以方便的得到位移、角位移、速度以及角速度等量。

3 機(jī)腳螺栓的建模與傳遞特性分析

由于機(jī)腳螺栓承載著整機(jī)質(zhì)量，另外由于某些機(jī)腳螺栓的斷裂事故，本文以機(jī)腳螺栓為例通過本文所提出的建模方法對(duì)其進(jìn)行建模并進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析。

3.1 多體動(dòng)力學(xué)中螺栓建模

本文利用傳遞矩陣法對(duì)連接件的研究是建立在計(jì)算多體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)之上，故文中首先對(duì)柴油機(jī)整機(jī)進(jìn)行多體動(dòng)力學(xué)建模。整機(jī)實(shí)體模型通過CAE軟件實(shí)現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上添加初始條件和邊界條件建立柴油機(jī)動(dòng)力學(xué)分析模型，其中邊界條件主要有：氣缸壓力、發(fā)火順序及間隔角、構(gòu)件間自由度約束關(guān)系、反扭矩以及多個(gè)彈性連接(如曲軸減振器和隔振器等)［10］。

本文中螺栓的建模是在多體動(dòng)力學(xué)中利用傳遞矩陣法建立，由其傳遞矩陣可知螺栓的剛度必須求得。本文假設(shè)柴油機(jī)工作時(shí)螺栓變形處于線彈性范圍，螺栓剛度通過有限元數(shù)值計(jì)算得到，其有限元模型如圖2所示。文中所計(jì)算螺栓為M14高強(qiáng)度螺栓，材料的泊松比和彈性模量分別取0.27和20 600 MPa;其中共劃分四面體實(shí)體單元45 495個(gè)，節(jié)點(diǎn)34 422個(gè)。計(jì)算中假設(shè)螺紋受力均勻并且螺牙與螺紋的接觸以及螺栓與機(jī)腳的接觸地方?jīng)]有剛性位移;剛度計(jì)算過程為：在螺栓頭部與螺桿交匯平面上的節(jié)點(diǎn)施加三個(gè)方向的位移約束，將螺牙與螺紋接觸面上的所有節(jié)點(diǎn)進(jìn)行多點(diǎn)約束，通過在多點(diǎn)約束上加載力和力矩，進(jìn)而根據(jù)加載的力或力矩大小以及變形量求出剛度。文中求得螺栓三個(gè)方向的平動(dòng)剛度和扭轉(zhuǎn)剛度分別為：沿螺桿軸向平動(dòng)剛度為1.36×106N/mm，其余兩個(gè)方向平動(dòng)剛度為2.65×105N/mm;沿螺桿軸向扭轉(zhuǎn)剛度為1.8×108N·mm/rad，其余兩個(gè)方向扭轉(zhuǎn)剛度為9.4×107N·mm/rad。阻尼是在假設(shè)阻尼系數(shù)固定值的基礎(chǔ)上求解得到。

一個(gè)機(jī)腳與機(jī)體連接時(shí)有四個(gè)螺栓(其編號(hào)如圖3所示)，故采用剛體連接必然產(chǎn)生冗余約束，使得建立的拉格朗日方程組難以調(diào)諧進(jìn)而不能求解;所以文中對(duì)機(jī)腳進(jìn)行柔性化處理，得到剛?cè)峄旌夏Ｐ?。機(jī)腳的有限元模型如圖3所示，其中共22 939四面體實(shí)體單元，5 943節(jié)點(diǎn)，在剛?cè)峄旌线B接時(shí)注意單位的統(tǒng)一及多點(diǎn)約束的添加。在以上模型準(zhǔn)備的前提下，利用傳遞矩陣法模擬連接件并建立的柴油機(jī)剛?cè)峄旌隙囿w系統(tǒng)模型如圖4所示。

圖2 機(jī)腳螺栓有限元網(wǎng)格Fig.2 FEA mesh grid of the support bolt

圖3 機(jī)腳有限元網(wǎng)格Fig.3 FEA mesh grid of the support

圖4 柴油機(jī)整機(jī)多體系統(tǒng)平臺(tái)Fig.4 The platform of diesel multibody system

3.2 動(dòng)力學(xué)特性分析

在上文模型建立的基礎(chǔ)上，作者通過剛性連接模擬螺栓和傳遞矩陣法模擬螺栓這兩種不同方法對(duì)比分析其動(dòng)力學(xué)傳遞特性(文中主要以圖4中①號(hào)機(jī)腳為例進(jìn)行對(duì)比分析)。

圖5是①號(hào)機(jī)腳傳遞給機(jī)座的垂向力，其中實(shí)線為剛性連接模擬螺栓，虛線為傳遞矩陣法模擬螺栓。由圖中可以發(fā)現(xiàn)，兩種方法傳遞的力其總的趨勢(shì)基本一致，剛性連接模擬螺栓時(shí)其力具有一定的波動(dòng)性，分析其平均值可以發(fā)現(xiàn)其較傳遞矩陣法模擬略大，這是因?yàn)閭鬟f矩陣法是一種彈性連接，具有一定減振效果。

圖5 機(jī)座垂向受力對(duì)比曲線Fig.5 The contrast of support’s vertical force curves

在對(duì)機(jī)腳傳遞給機(jī)座的力分析的基礎(chǔ)上，作者對(duì)四個(gè)螺栓處的傳遞力進(jìn)行分析。圖6是傳遞矩陣法模擬螺栓時(shí)垂向力對(duì)比圖;其中圖6(a)是四個(gè)螺栓的垂向力對(duì)比圖;為了較為清楚的對(duì)比，圖6(b)實(shí)線為Ⅰ號(hào)位置垂向力，虛線為Ⅱ號(hào)位置垂向力;圖6(c)實(shí)線為Ⅰ號(hào)位置垂向力，虛線為Ⅲ號(hào)位置垂向力。圖7是剛性連接模擬螺栓時(shí)垂向力對(duì)比圖，其中實(shí)線為Ⅰ號(hào)位置垂向力，虛線為Ⅲ號(hào)位置垂向力。由這幾幅圖可以發(fā)現(xiàn)：傳遞矩陣法模擬螺栓得到四個(gè)螺栓處的力分布不是很均勻(其中安裝高度較小的螺栓處受力較大)，其力的大小在平衡位置波動(dòng)比較切合實(shí)際;由圖7中可以看出其波動(dòng)幅值較大，而且其相位明顯相反，通過分析發(fā)現(xiàn)剛性連接模擬螺栓時(shí)由于是自由度上的約束，雖然宏觀上其傳遞的總力符合實(shí)際情況，但是其在柔性體內(nèi)部力的分布特性與實(shí)際有較大差異，這是為了調(diào)諧同一個(gè)自由度的多個(gè)約束而產(chǎn)生的。

圖6 傳遞矩陣法模擬螺栓時(shí)螺栓垂向受力對(duì)比圖Fig.6 The contrast of bolt’s vertical force curves using transfer matrix method

圖7 剛性連接時(shí)螺栓垂向受力對(duì)比圖Fig.7 The contrast of bolt’s vertical force curves using fixing constraint

圖8是機(jī)腳應(yīng)力最大時(shí)的應(yīng)力云圖，其中圖8(a)是傳遞矩陣法模擬螺栓所得，圖8(b)是剛性連接模擬螺栓所得。由圖中以及應(yīng)力曲線可知，傳遞矩陣法模擬螺栓得到機(jī)腳應(yīng)力幅值為16.4 MPa，剛性連接模擬螺栓所得值為13.6 MPa。雖然傳遞矩陣法模擬螺栓時(shí)得到機(jī)腳傳遞給機(jī)座的力略小，但是由于傳遞矩陣法模擬螺栓時(shí)機(jī)腳不同螺栓處的受力不均勻，所以其應(yīng)力幅值較大。對(duì)比兩種不同建模方法得到的機(jī)腳應(yīng)力幅值可知，傳遞矩陣法得到的機(jī)腳應(yīng)力幅值比剛性連接得到的幅值大20.6%，可見在某些情況下剛性連接時(shí)其連接零部件的應(yīng)力幅值并非保守。

圖8 機(jī)腳應(yīng)力云圖Fig.8 The stress nephogram of support

通過對(duì)螺栓不同模擬方法得到結(jié)果的對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)，傳遞矩陣法能更加切合實(shí)際的模擬螺栓連接。由于柴油機(jī)零部件眾多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，零件大小差異大，所以僅僅通過全剛?cè)峄旌辖Ｆ淠Ｐ蛿?shù)據(jù)量較大，求解較為困難;但傳遞矩陣法的引入，可以很好地解決如螺栓這種小的連接件的動(dòng)力學(xué)特性模擬，并且模型的數(shù)據(jù)量不是很大。當(dāng)然本文主要對(duì)方法的應(yīng)用做了初步實(shí)踐，由于實(shí)際中很多連接件具有非線性因素，所以在模擬如螺栓這種連接件時(shí)可以通過在有限元中對(duì)其傳遞函數(shù)進(jìn)行分析，再在多體動(dòng)力學(xué)中通過數(shù)值編程方法模擬其連接特性。

4 結(jié)論

本文在分析多體動(dòng)力學(xué)分析復(fù)雜機(jī)構(gòu)利弊的基礎(chǔ)上，提出在多體動(dòng)力學(xué)中引入傳遞矩陣法，較好地解決了由于復(fù)雜機(jī)構(gòu)全剛?cè)峄旌隙囿w動(dòng)力學(xué)中數(shù)據(jù)量大并且難以精確模擬連接件這方面的問題。在此基礎(chǔ)上以柴油機(jī)機(jī)腳螺栓為例，對(duì)多體動(dòng)力學(xué)中引入傳遞矩陣法時(shí)其動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，結(jié)果表明該方法的可行性以及其優(yōu)點(diǎn)：易于處理復(fù)雜構(gòu)件間的連接問題;在通過有限元等其它方法分析復(fù)雜連接件的基礎(chǔ)上建立的多體動(dòng)力學(xué)模型數(shù)據(jù)量較小，易于求解，計(jì)算速度快;處理連接件的邊界條件更加切合實(shí)際。

文中引入傳遞矩陣法對(duì)連接件的處理可以進(jìn)一步應(yīng)用于柴油機(jī)整機(jī)的振動(dòng)分析以及抗沖擊分析。根據(jù)傳遞矩陣法求解速度快的特點(diǎn)，在對(duì)各個(gè)零部件連接件特性分析的基礎(chǔ)上，可以通過非線性傳遞函數(shù)在多體動(dòng)力學(xué)中建立柴油機(jī)整機(jī)振動(dòng)和抗沖擊快速評(píng)估模型;更好地掌握柴油機(jī)中振動(dòng)傳遞特性，為柴油機(jī)隔振以及噪聲控制分析奠定一定的基礎(chǔ)。

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Modeling of linkers in complex multibody system with transfer matrix method

GAO Hao-peng，HUANG Ying-yun，LIU Peng
(College of Marine and Power Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

On the basis of the theory of computational dynamics of multi－body systems，the transfer matrix was introduced to model the linkers in complex multi－body systems.As an example，the support bolt engine block was modeled and analyzed using the method proposed.The result shows that the modeling and analyzing method is feasible.On the premise of keeping the integral dynamics characteristics of complex systems unchanged and maintaining the linker's transfer characteristic properly，the method has the advantages of fast speed in achieving solution and small data size in calculation.The modeling method gives a foundation to establish the rapid assessment model of integrative diesel's vibration and impact.

transfer matrix method;dynamics of multibody system;modeling;bolt

TB532

A

2011－05－18 修改稿收到日期：2011－09－15

高浩鵬 男，博士生，1986年生

黃映云 男，教授，博士生導(dǎo)師，1960年生