關(guān)于B-Nekrasov矩陣線性互補(bǔ)問題最優(yōu)誤差界的注記

楊紹蓉,甘夢(mèng)婷,李朝遷

(云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 昆明 650500)

關(guān)于B-Nekrasov矩陣線性互補(bǔ)問題最優(yōu)誤差界的注記

楊紹蓉,甘夢(mèng)婷,李朝遷

(云南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 昆明 650500)

研究了B-Nekrasov矩陣線性互補(bǔ)問題的含有參數(shù)誤差界的最優(yōu)值問題,利用函數(shù)的單調(diào)性,在的情況下,得到了該誤差界的最優(yōu)值.

B-Nekrasov矩陣;線性互補(bǔ);誤差界

1 引言

設(shè)

尋找解x?∈Rn,使其滿足：

的問題稱為線性互補(bǔ)問題,記為L(zhǎng)CP(M,q)[14].其在經(jīng)濟(jì)學(xué),對(duì)策論以及數(shù)學(xué)規(guī)劃中起到重要的作用,是一類應(yīng)用廣泛的優(yōu)化問題[5].LCP(M,q)解的存在性,唯一性,靈敏度以及求解算法的收斂性都與矩陣的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)有關(guān)[6].當(dāng)M 為P-矩陣時(shí),LCP(M,q)存在唯一解[79].目前,該領(lǐng)域的熱門研究課題之一是LCP(M,q)解的誤差界估計(jì),即給出的上界[7].

在文獻(xiàn)[5]中提出了P-矩陣的子類矩陣B-Nekrasov矩陣,并給出其線性互補(bǔ)問題的誤差界.對(duì)給定的矩陣

則稱M為Nekrasov矩陣[8].

定義 1.1[10]設(shè) A=(aij)1≤i,j≤n∈Rn×n,且 A 分解為 A=B++C 的形式,其中

若B+是對(duì)角元為正數(shù)的Nekrasov矩陣矩陣,則稱A為B-Nekrasov矩陣.

定理 1.1[10]設(shè) A=(aij)1≤i,j≤n,n≥2是 B-Nekrasov矩陣,并存在 m＞i,使得

B+是定義1.1中所定義.對(duì)角矩陣

其中

然而,在實(shí)際應(yīng)用中往往取不同的ε計(jì)算f(ε)作為(1)式的近似值.

例1.1給定B-Nekrasov矩陣

由定理1.1知,

故可得定理1.1中的界f(ε),如圖1所示.

圖1 例1的誤差界

容易看出,當(dāng)ε取值很小時(shí)(如ε=0.001,0.005),f(ε)的值很大,即ε的取值會(huì)導(dǎo)致界f(ε)非常大.另一方面,觀察圖1知

是存在的.然而,到目前為止,如何確定該值并沒有相關(guān)結(jié)果?這將是本文的主要研究工作,即在給定的條件(δi＞1,i=1,2,...,n-1)下,討論了最優(yōu)值問題,并確定(1)式的值.

2 B-Nekrasov矩陣的線性互補(bǔ)問題誤差界的最優(yōu)值

對(duì)滿足定理1.1中的條件B-Nekrasov矩陣A，令

命題2.1設(shè)矩陣A,W,為定理1中所定義,且設(shè) δi＞1,i=1,2,...,n-1.

證明注意到

即

從而推出

所以 δn≥1.故

證畢.

進(jìn)一步,對(duì)

進(jìn)行分析.不是一般性,設(shè)

見圖2.

圖2 誤差界及其最優(yōu)值

3 總結(jié)

的元素均為正數(shù)進(jìn)行討論,討論了f(ε)的最優(yōu)值,這個(gè)最優(yōu)值是存在且可計(jì)算的.對(duì)滿足其它情況B-Nekrasov矩陣所對(duì)應(yīng)的誤差界f(ε)的最優(yōu)值問題仍有待研究.

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2010 MSC:60B12

《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》稿約

1本刊是經(jīng)國(guó)家科委、新聞出版署批準(zhǔn)公開發(fā)行的數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的綜合性學(xué)術(shù)刊物,主要刊登數(shù)學(xué)學(xué)科中有創(chuàng)造性的研究論文和具有重要經(jīng)濟(jì)價(jià)值的應(yīng)用性論文,以繁榮數(shù)學(xué)理論,推進(jìn)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.本刊2000年榮獲《CAJ-CD規(guī)范》執(zhí)行優(yōu)秀獎(jiǎng),2004年入選全國(guó)中文核心期刊,2006年獲陜西省出版編輯良好獎(jiǎng).2012年11月獲陜西省科技期刊編輯學(xué)會(huì)2011-2012年度優(yōu)秀科技期刊獎(jiǎng).

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A note on the optimal error bounds for linear complementarity problems of B-Nekrasov matrices

Yang Shaorong,Gan Mengting,Li Chaoqian
(College of Mathematics and statistics,Yunnan University,Kunming 650500,China)

The optimal error bound with a parameter of linear complementarity problems of B-Nekrasov matrix is studied.By using the monotonicity,in the case of,the optimal value of the error bound is obtained.

B-Nekrasov matrix,linear complementarity,error bounds

O241

A

1008-5513(2017)04-0430-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.04.010

2017-04-26.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11601473).

楊紹蓉(1993-),碩士,研究方向：數(shù)值代數(shù).

李朝遷(1986-),博士,副教授,研究方向：數(shù)值代數(shù).