中國(guó)區(qū)域定位系統(tǒng)的水平定位誤差分布研究*

王 萌，馬利華，張麗榮，季海福

(1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)，北京 100012;2.中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京 100049)

中國(guó)區(qū)域定位系統(tǒng)(Chinese Area Positioning System，CAPS)是基于通信衛(wèi)星的轉(zhuǎn)發(fā)式衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)。該系統(tǒng)將原子鐘放置于地面中心站，導(dǎo)航信號(hào)和電文從地面站發(fā)射，經(jīng)由同步通信衛(wèi)星轉(zhuǎn)發(fā)至用戶接收機(jī)，通過對(duì)導(dǎo)航信號(hào)的捕獲跟蹤，接收機(jī)實(shí)現(xiàn)測(cè)距和導(dǎo)航定位。由于系統(tǒng)原子鐘放置于地面中心站，CAPS與GPS、GLONASS等直播式衛(wèi)星系統(tǒng)相比，可以少發(fā)射甚至不發(fā)射專用導(dǎo)航衛(wèi)星，可以更容易產(chǎn)生導(dǎo)航電文和易于維護(hù)高精度的時(shí)間信號(hào)?；谶@樣的設(shè)計(jì)，CAPS既減少了發(fā)射導(dǎo)航衛(wèi)星的費(fèi)用又縮短了組建導(dǎo)航系統(tǒng)的周期。在CAPS系統(tǒng)的試驗(yàn)驗(yàn)證階段，用戶接收機(jī)通過接收地球靜止軌道(Geostationary Earth Orbit，GEO)通信衛(wèi)星轉(zhuǎn)發(fā)的導(dǎo)航信號(hào)，結(jié)合CAPS氣壓測(cè)高技術(shù)實(shí)現(xiàn)高程輔助下的導(dǎo)航定位［1－3］。

在衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)中，用戶的定位精度主要取決于偽距測(cè)量誤差和衛(wèi)星星座的空間布局兩個(gè)因素。其中，偽距測(cè)量誤差主要來源于星歷誤差、衛(wèi)星鐘差、大氣傳播時(shí)延、多路徑效應(yīng)、接收機(jī)噪聲等;同時(shí)，測(cè)量誤差的大小與信號(hào)的強(qiáng)弱和接收機(jī)性能有關(guān)。星座空間布局一般用精度衰減因子(Dilution of Precision，DOP)描述，其數(shù)值可用于估算星座空間布局對(duì)用戶偽距測(cè)量誤差的放大程度［4－5］。在相同的偽距測(cè)量誤差條件下，較小的精度衰減因子值意味著較小的定位誤差［5－6］。在試驗(yàn)驗(yàn)證階段，由于CAPS接收機(jī)采用了高程輔助定位方程，這與通常采用的偽距觀測(cè)方程不同，要分析高程輔助下的定位誤差分布特點(diǎn)，需要對(duì)現(xiàn)有的精度衰減因子值計(jì)算方法進(jìn)行改造。為了考察CAPS用戶的水平定位誤差，本項(xiàng)工作中定義了高程輔助定位方程下的東精度衰減因子(Dilution of Precision East，EDOP)和北精度衰減因子(Dilution of Precision North，NDOP)，分析CAPS的仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，并對(duì)CAPS用戶的定位誤差分布特征給了初步的解釋。

1 高程輔助下的EDOP和NDOP計(jì)算

通常情況下，在地心地固坐標(biāo)系中用戶的偽距觀測(cè)方程可寫為:

式中，ρj為偽距觀測(cè)值;(sj1，sj2，sj3)表示衛(wèi)星sj的三維坐標(biāo);(x1，x2，x3)表示用戶的三維坐標(biāo);tu表示用戶的時(shí)鐘偏差;vj表示偽距測(cè)量誤差。將(1)式按泰勒級(jí)數(shù)在用戶近似位置展開:

式中，δρj表示真實(shí)偽距與估計(jì)偽距的差值;δxi(i=1，2，3)表示對(duì)用戶近似位置的修正量。上式的矩陣形式為:

這里，系數(shù)矩陣H中(ej1，ej2，ej3)對(duì)應(yīng)用戶到第j顆衛(wèi)星的方向余弦;v是偽距測(cè)量的誤差向量。利用最小二乘法，定位解可由下式給出:

這里，HT是矩陣H的轉(zhuǎn)置矩陣。據(jù)此，可以求解用戶的三維坐標(biāo)和接收機(jī)鐘差。

為了更直觀地描述用戶的位置信息，將(3)式中的系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換到站心坐標(biāo)系內(nèi)，轉(zhuǎn)換矩陣為:

式中，φ0和λ0分別為測(cè)站的大地緯度和大地經(jīng)度。引入精度衰減矩陣Q=(HTH)－1，矩陣Q的分量形式可表述為:

幾何精度衰減因子(Geometric Dilution of Precision，GDOP)由下式給出:

常規(guī)精度衰減因子還包含三維位置精度衰減因子(Position Dilution of Precision，PDOP)、水平精度衰減因子(Horizontal Dilution of Precision，HDOP)、垂直精度衰減因子(Vertical Dilution of Precision，VDOP)和時(shí)間精度衰減因子(Time Dilution of Precision，TDOP)，它們分別可利用下式計(jì)算:

式中，HDOP和VDOP分別描述了星座布局對(duì)偽距測(cè)量誤差在水平和垂直兩個(gè)方向上的誤差放大程度，因此，HDOP和VDOP只有在站心坐標(biāo)系下計(jì)算才有意義。

在CAPS試驗(yàn)驗(yàn)證階段，用戶接收機(jī)利用氣壓測(cè)高計(jì)獲取本地高度，僅用3顆衛(wèi)星就可以實(shí)現(xiàn)用戶的三維定位。當(dāng)然，更多的可視衛(wèi)星可以進(jìn)一步改善用戶的定位結(jié)果。在CAPS高程輔助定位算法中，氣壓測(cè)高計(jì)測(cè)量的高度值被轉(zhuǎn)換為用戶到位于地球中心的虛擬衛(wèi)星的幾何距離［7］。CAPS氣壓測(cè)高的精度優(yōu)于2 m，通過合理布局氣象基準(zhǔn)站，可以得到更高的測(cè)高精度［3，8］。由于氣壓測(cè)高的偽距觀測(cè)方程不受用戶接收機(jī)的時(shí)鐘偏差的影響，CAPS接收機(jī)偽距觀測(cè)方程和氣壓測(cè)高觀測(cè)方程的泰勒展開公式為:

式中，δρk(k=1，2，3，…，n)表示基于真實(shí)高度轉(zhuǎn)換的偽距與基于估計(jì)高度轉(zhuǎn)換的偽距的差值;vn表示高程測(cè)量的誤差。由于用戶接收機(jī)本地高度值是由高度計(jì)提供的，在站心坐標(biāo)系下計(jì)算精度衰減矩陣Q時(shí)，不再考慮高程方向。此時(shí)，Q是一個(gè)3×3矩陣，其分量形式如下:

2 分析與比較

2.1 EDOP和NDOP覆蓋

CAPS試驗(yàn)驗(yàn)證階段的3顆GEO通信衛(wèi)星分別位于87.5°E、110.5°E和142°E軌位。根據(jù)上文對(duì)EDOP和NDOP的定義，可以計(jì)算出系統(tǒng)星座覆蓋區(qū)內(nèi)任一地點(diǎn)的EDOP和NDOP值(圖1)。

由圖1可見，赤道面附近的條帶區(qū)域是該系統(tǒng)星座的盲區(qū)，這是由于當(dāng)用戶接近赤道面附近時(shí)，(10)式中EDOP和NDOP不存在。從圖中還可以看出，EDOP和NDOP是南北對(duì)稱分布的，這是由于GEO通信衛(wèi)星位于赤道面附近，所以北半球和南半球的EDOP和NDOP分布關(guān)于赤道面對(duì)稱;同時(shí)還可以注意到，兩個(gè)因子也是東西對(duì)稱分布的，這種分布特征主要源于系統(tǒng)采用GEO衛(wèi)星的軌位分布。在覆蓋區(qū)域內(nèi)，EDOP數(shù)值在1.3到7.9之間變化。EDOP最小值出現(xiàn)在3顆GEO衛(wèi)星定點(diǎn)軌位的平均經(jīng)度子午圈附近;在同一緯度圈上，離該子午圈越遠(yuǎn)，EDOP數(shù)值越大?？傮w而言，任一格點(diǎn)上的NDOP總是大于EDOP，NDOP最小值為9.2，最大值達(dá)到80甚至更大，這是由于系統(tǒng)采用的衛(wèi)星都處于赤道面附近，東西方向拉開，而南北方向比較集中。當(dāng)用戶由低緯度地區(qū)向高緯度地區(qū)移動(dòng)時(shí)，在站心坐標(biāo)系內(nèi)衛(wèi)星在南北方向拉開的距離增大，NDOP變小。

圖1 CAPS試驗(yàn)驗(yàn)證星座的EDOP(a)和NDOP(b)覆蓋圖Fig.1 Coverage maps of EDOP(a)and NDOP(b)for the satellite constellation during the test stage of CAPS

2.2 仿真分析

如前節(jié)所述，EDOP小于NDOP，因此東西方向的定位精度總是優(yōu)于南北方向。為了驗(yàn)證這一點(diǎn)，分別選擇北京、上海、長(zhǎng)春、西安、烏魯木齊和昆明觀測(cè)站位置作為用戶接收機(jī)位置進(jìn)行仿真，3顆衛(wèi)星分別位于87.5°E、110.5°E和142°E同步衛(wèi)星軌位，在每一測(cè)站生成3600 s(步長(zhǎng)1 s)的仿真數(shù)據(jù)，給定的偽距測(cè)量誤差服從均值為0，均方根(Standard Deviation，STD)為0.5 m的正態(tài)分布。根據(jù)上述仿真參數(shù)設(shè)置，可以求得高程輔助下的定位結(jié)果，這些地點(diǎn)的水平定位誤差分布繪于圖2。

由圖2可見，6個(gè)臺(tái)站的水平定位誤差呈橢圓分布，東西方向的定位精度總是優(yōu)于南北方向，這與圖1的結(jié)論是一致的。根據(jù)EDOP和NDOP的定義，東西方向和南北方向的定位誤差的均方根(STD)除以偽距測(cè)量誤差(0.5 m)，即對(duì)應(yīng)于東西方向和南北方向的誤差放大倍數(shù)。在表1中，同時(shí)計(jì)算了EDOP和NDOP的理論數(shù)值與仿真結(jié)果進(jìn)行了比較。

圖2 利用仿真數(shù)據(jù)得到的測(cè)站水平定位誤差分布Fig.2 Error distributions of horizontal positioning of various ground stations based on simulations of the CAPS test

從表1可以看出，EDOP和NDOP計(jì)算的理論值與仿真結(jié)果基本一致，說明可以用本文定義的EDOP和NDOP描述東西方向和南北方向的誤差放大倍數(shù)，再乘以偽距測(cè)量誤差可以得到這兩個(gè)方向上的定位精度。

2.3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析

事實(shí)上，在CAPS試驗(yàn)驗(yàn)證階段，6臺(tái)測(cè)試用接收機(jī)已被安置在上述6個(gè)臺(tái)站，并實(shí)時(shí)采集測(cè)量數(shù)據(jù)。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)采集時(shí)間為2005年6月30日16:10到17:10，時(shí)間間隔為1 s?？紤]到測(cè)試期間，該時(shí)間段內(nèi)衛(wèi)星無機(jī)動(dòng)，衛(wèi)星的軌道誤差很小;電離層效應(yīng)、對(duì)流層效應(yīng)則主要影響到定位偏差，在接收機(jī)內(nèi)部沒有改正這些偏差。在分析實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，為了清晰地展示定位誤差的橢圓分布特征，在定位結(jié)果中去掉定位偏差。圖3給出上述6個(gè)臺(tái)站在水平面內(nèi)的定位誤差分布。

表1 仿真數(shù)據(jù)得到的誤差放大倍數(shù)和EDOP/NDOP理論比較Table 1 Comparison between simulated and theoretical error amplication factors for EDOP and NDOP

這里，利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)也得到與仿真數(shù)據(jù)類似的誤差分布特征:6個(gè)臺(tái)站的定位誤差分布存在明顯的水平橢圓誤差分布，南北方向誤差大于東西方向誤差，定位誤差橢圓的半長(zhǎng)軸與本地的南北方向夾角也與仿真結(jié)果相似。圖3中用戶在水平面內(nèi)的定位誤差主要來源于接收機(jī)的測(cè)量噪聲。

為了便于和仿真數(shù)據(jù)做比較，計(jì)算了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中南北方向和東西方向的定位誤差放大倍數(shù)的比值，結(jié)果列于表2。其中，第2列是利用表1中第5列除以第3列得到;第3列是利用表1中第4列除以第2列得到。

圖3 利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得到的測(cè)站水平定位誤差分布Fig.3 Error distribution of horizontal positioning of various ground stations based on observational data

由表2可以看出，由仿真數(shù)據(jù)得到的南北方向定位誤差與東西方向定位誤差的比值與理論計(jì)算的NDOP與EDOP的比值非常一致。由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得到的南北方向定位與東西方向定位誤差比值與理論計(jì)算的NDOP與EDOP的比值比較接近，接近程度因測(cè)站不同有所差異。由于不同測(cè)站觀測(cè)GEO衛(wèi)星的高度角不同，造成傳播路徑時(shí)延的復(fù)雜性和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的復(fù)雜特征，從而導(dǎo)致在實(shí)測(cè)結(jié)果與仿真結(jié)果之間存在一定差異。仿真分析中，系統(tǒng)星座由同步軌道GEO衛(wèi)星組成，衛(wèi)星處于理想的赤道面內(nèi);在實(shí)測(cè)中，由于受到日月等攝動(dòng)力的作用，GEO衛(wèi)星并不嚴(yán)格處在赤道面上，因此，表2和表1中的NDOP/EDOP略有差別。

表2 南北方向定位誤差和東西方向定位誤差的比值Table 2 Ratios of NDOP/EDOP from theoretical calculations simulation and observations

3 結(jié)語

本文給出了高程輔助下的EDOP和NDOP的計(jì)算方法，該計(jì)算方法在計(jì)算精度衰減矩陣時(shí)，只考慮東西方向、南北方向和鐘差，不再考慮高程方向。通過對(duì)CAPS覆蓋范圍內(nèi)高程輔助定位算法下EDOP和NDOP的計(jì)算表明，本文定義的EDOP和NDOP可以很好地解釋CAPS用戶接收機(jī)在高程輔助下水平定位精度東西方向總是優(yōu)于南北方向的原因。通過對(duì)北京、上海、長(zhǎng)春、西安、烏魯木齊和昆明6個(gè)測(cè)站仿真和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析表明，這兩個(gè)因子可以被用來描述東西方向和南北方向的誤差放大倍數(shù)，可以用來估算兩個(gè)方向上的定位精度，進(jìn)而估算水平定位精度。

致謝:文中所用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來源于CAPS臨潼導(dǎo)航主控站，在此表示感謝。

［1］艾國(guó)祥，施滸立，吳海濤，等.基于通信衛(wèi)星的定位系統(tǒng)原理 ［J］.中國(guó)科學(xué) (G輯):物理學(xué) 力學(xué) 天文學(xué)，2008，38(12):1615－1633.

［2］Ai Guoxiang，Shi Huli，Wu Haitao，et al.A positioning system based on communication satellites and the Chinese area positioning system(CAPS) ［J］.Chinese Journal of Astronomy and Astrophysics，2008，8(6):611－630.

［3］Ai Guoxiang，Sheng Peixuan，Du Jinlin，et al.Barometric altimetry system as virtual constellation applied in CAPS ［J］.Science in China Series G:Physics Mechanics and Astronomy，2009，52(3):376－383.

［4］Han Yanben，Ma Lihua，Qiao Qiyuan，et al.Selection of satellite constellation framework of CAPS［J］.Science in China Series G:Physics Mechanics and Astronomy，2009，52(3):458－471.

［5］Kaplan E D，Hegarty C J.Understanding GPS:principle and application ［M］.Boston:Artech House，2006.

［6］謝鋼.GPS定位原理與接收機(jī)設(shè)計(jì) ［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2009.

［7］張麗榮.CAPS廣域差分方法研究 ［D］.北京:中國(guó)科學(xué)院研究生院，2008.

［8］張麗榮，馬利華，王曉嵐.CAPS氣壓測(cè)高的仿真分析［J］.微計(jì)算機(jī)信息，2011，27(3):185－186.Zhang Lirong，Ma Lihua，Wang Xiaolan.Simulation analysis of CAPS barometric altimetry ［J］.Microcomputer Information，2011，27(3):185－186.