“守恒法”在力學(xué)中的應(yīng)用

劉俊娟

(河北師范大學(xué)附屬民族學(xué)院 河北 石家莊 050083)

趙 強(qiáng)

(石家莊機(jī)械化步兵學(xué)院 河北 石家莊 050083)

魏增江

(石家莊理工職業(yè)學(xué)院 河北 石家莊 050083)

守恒定律是關(guān)于過(guò)程的規(guī)律,闡述的是,只要過(guò)程滿(mǎn)足一定的條件，就可以不必考慮過(guò)程中的細(xì)節(jié)而對(duì)系統(tǒng)在過(guò)程中的任意兩個(gè)狀態(tài)(包括始、末狀態(tài))的某些特征下結(jié)論.不追究過(guò)程的細(xì)節(jié)而能對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，這是守恒定律的特點(diǎn)，也是守恒定律的優(yōu)點(diǎn)，因而,在物理學(xué)中分析問(wèn)題常常應(yīng)用守恒定律.

(1)天車(chē)上懸吊的沖擊擺[1]

【例1】質(zhì)量為M1的天車(chē)，靜止在光滑水平軌道上，車(chē)的底部系有兩根等長(zhǎng)的細(xì)繩，繩的長(zhǎng)度為l，質(zhì)量可忽略，兩繩的下端掛有一質(zhì)量為M2的砂袋.今有一質(zhì)量為m的子彈水平射入砂袋并留在袋中與袋一起運(yùn)動(dòng).已測(cè)出砂袋擺過(guò)的最大角度為θ.求子彈的入射速度.

解析：圖1表示子彈入射到砂袋擺過(guò)最大角度的示意圖.下面應(yīng)用守恒方法求解.

圖1

分析子彈m射入砂袋M2的過(guò)程.對(duì)子彈和砂袋構(gòu)成的系統(tǒng)，因子彈與砂袋間的內(nèi)沖力遠(yuǎn)大于繩對(duì)砂袋的拉力的水平分力，故系統(tǒng)水平方向動(dòng)量近似守恒，取坐標(biāo)Ox水平向右，有

mv0=(m+M2)v1

(1)

式中，v0為子彈的入射速度，v1為子彈相對(duì)砂袋剛靜止的瞬時(shí)子彈與砂袋的共同速度.

在天車(chē)向右運(yùn)動(dòng)同時(shí)砂袋上擺的過(guò)程.對(duì)于子彈、天車(chē)、砂袋系統(tǒng)，因繩對(duì)砂袋及天車(chē)的拉力(外力)在水平方向的合力為零，故系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒.又因砂袋擺到最高點(diǎn)時(shí)砂袋、天車(chē)具有相同速度v2，所以有

(m+M)v1=(m+M1+M2)v2

(2)

同一過(guò)程，對(duì)子彈、天車(chē)、砂袋、繩子和地球構(gòu)成的系統(tǒng)，因滿(mǎn)足條件外力做功之和

A外=0

非保守內(nèi)力做功之和

A非保內(nèi)=0

故系統(tǒng)機(jī)械能守恒.有

(m+M2)gl(1-cosθ)

(3)

聯(lián)立式(1)、(2)、(3)可解得

(4)

(2)被子彈擊中的彈簧連接體

【例2】如圖2所示，質(zhì)量均為m的兩物體A和B都靜止在光滑水平面上，用勁度系數(shù)為κ的輕彈簧連接.一質(zhì)量為m的子彈C以水平速度v0擊中物體A并留在A內(nèi).求：

1)彈簧的最大壓縮量；

2)物體B的最大動(dòng)能及物體A的最小動(dòng)能.

圖2

解析：1)子彈射入物體A的過(guò)程，對(duì)子彈、物體A組成的系統(tǒng)，因?yàn)閺椓h(yuǎn)小于內(nèi)沖力，所以系統(tǒng)動(dòng)量近似守恒.設(shè)子彈射入物體A后在A內(nèi)停止運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)，物體A的速度為vA，取坐標(biāo)水平向右，由動(dòng)量守恒有

mv0=(m+m)vA

又因子彈與物體A碰撞時(shí)間極短，在這段時(shí)間內(nèi)彈簧尚未被壓縮，所以碰后物體B瞬時(shí)速度vB=0.

當(dāng)彈簧壓縮量最大時(shí)，應(yīng)有

聯(lián)立上式求解得

(5)

2)當(dāng)物體B動(dòng)能最大時(shí)，彈簧壓縮量為零，又由于上述過(guò)程，物體A(包括子彈)，物體B及彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因而，物體B動(dòng)能最大時(shí)，必有物體A動(dòng)能最小.因此，將Δl=0代入上述守恒方程，即可解得

所以

(6)

(3)轉(zhuǎn)臺(tái)問(wèn)題[2]

【例3】一質(zhì)量為m的小孩，站在一半徑為R,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0的靜止水平轉(zhuǎn)臺(tái)的邊緣上，此轉(zhuǎn)臺(tái)可繞通過(guò)轉(zhuǎn)臺(tái)中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)臺(tái)與軸間的摩擦不計(jì).如果此小孩相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)以v的速率沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣行走，問(wèn)轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度有多大？

解析：小孩與轉(zhuǎn)臺(tái)作為一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)，人與轉(zhuǎn)臺(tái)之間的相互作用力為內(nèi)力，且沿豎直軸方向不受外力矩作用，故系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒.在應(yīng)用角動(dòng)量守恒時(shí)，必須注意人和轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度ω，ω0都是相對(duì)于地面而言的，而相對(duì)于轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度ω1應(yīng)滿(mǎn)足相對(duì)角速度的關(guān)系式

ω=ω0+ω1

由相對(duì)角速度的關(guān)系，人相對(duì)地面的角速度為

(7)

由于系統(tǒng)初始時(shí)是靜止的，根據(jù)系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒定律，有

J0ω0+J1(ω0+ω1)=0

(8)

式中J0,J1=mR2分別為轉(zhuǎn)臺(tái)、人對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.由式(7)、(8)可得轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為

(9)

式中負(fù)號(hào)表示轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向與人對(duì)地面的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反.

以上例題的解析，表明守恒法在力學(xué)中應(yīng)用很廣泛.這是因?yàn)橛行﹩?wèn)題雖然其過(guò)程很復(fù)雜，但不論系統(tǒng)內(nèi)部發(fā)生了多少?gòu)?fù)雜的變化，只要守恒條件成立，守恒定律就可以應(yīng)用.守恒定律不僅在宏觀領(lǐng)域可以應(yīng)用，在微觀領(lǐng)域也可以應(yīng)用.例如，絕大部分的“基本”粒子就是通過(guò)守恒定律的應(yīng)用而發(fā)現(xiàn)的[3].所以，應(yīng)用守恒定律處理問(wèn)題，不但對(duì)于求解物理習(xí)題，而且對(duì)于一般科學(xué)研究都是十分重要的方法.

參考文獻(xiàn)

1 康穎. 大學(xué)物理(新版)第一版.北京：科學(xué)出版社，2005

2 張三慧.大學(xué)物理學(xué).北京：清華大學(xué)出版社，2004

3 馬文尉.物理學(xué)教程.北京：高等教育出版社，2007