彈簧連接體的運(yùn)動(dòng)特征

陳玉奇

(姜堰中等專業(yè)學(xué)校 江蘇 泰州 225500)

2011年“華約”自主招生物理試題第15題是一道彈簧連接體的運(yùn)動(dòng)問題，該類題型在教師教學(xué)和各類參考書中經(jīng)常作為動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒的習(xí)題出現(xiàn).本文通過對該題的解答和以此題為例的幾個(gè)彈簧連接體運(yùn)動(dòng)問題的分析，旨在使大家對此類系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)有一個(gè)較為全面的理解，掌握彈簧連接體問題的運(yùn)動(dòng)特征及分析方法.

1 題目及解析

【題目】豎直墻面和水平地面均光滑，質(zhì)量分別為mA=m,mB=3m的A，B兩物體如圖1所示放置，其中物體A緊靠墻壁，A，B之間由質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧相連，現(xiàn)對物體B緩慢施加一個(gè)向左的力，該力做功為W，使AB間彈簧被壓縮且系統(tǒng)保持靜止，然后突然撤去向左的推力解除壓縮，求：

(1)從撤去外力到物塊A開始運(yùn)動(dòng)，墻壁對A的沖量多大？

(2)A,B都運(yùn)動(dòng)后，A,B兩物體的最小速度各為多少？

圖1

解析: (1)彈簧剛恢復(fù)原長時(shí)vA0=0，彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為B的動(dòng)能.則有

解得

此過程中墻壁對A的沖量大小等于彈簧對A的沖量大小，也等于彈簧對B的沖量大小，則有

(2)由于B的慣性運(yùn)動(dòng)，使彈簧拉長，從彈簧開始伸長時(shí)A開始運(yùn)動(dòng)，因此B做變減速運(yùn)動(dòng)，A做變加速運(yùn)動(dòng)，直到兩物體的速度相等時(shí)，彈簧有最大伸長.伸長的彈簧有收縮作用，繼續(xù)使A做變加速運(yùn)動(dòng)，B做變減速運(yùn)動(dòng)，直至彈簧恢復(fù)原長的瞬間，A加速過程結(jié)束，獲得最大速度vA，而B達(dá)到最小速度vB，此過程中動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，則有

3mvB0=mvA+3mvB

聯(lián)立兩個(gè)方程解得

下面以該題為例研究彈簧連接體的運(yùn)動(dòng)特征，其中mA和mB的質(zhì)量關(guān)系不變.

2 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式

根據(jù)前面解析中提到的兩個(gè)守恒定律以及彈簧在最大伸長和最大壓縮時(shí)兩物體的速度相等，很容易得出關(guān)于A，B物體運(yùn)動(dòng)的如下結(jié)論.

(1)彈簧剛恢復(fù)原長時(shí)，A，B的對地速度分別為

vA0=0vB0=v0

此時(shí)A，B相對于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)速度分別為

(2) 當(dāng)彈簧第一次達(dá)到最大伸長時(shí)，二者有相同的對地速度vA1=vB1，根據(jù)動(dòng)量守恒

mAvA1+mBvB1=mBv0

可得

此時(shí)A，B相對于質(zhì)心的速度為

(3) 彈簧從最大伸長到再次恢復(fù)原長的過程中，A加速運(yùn)動(dòng)B減速運(yùn)動(dòng)，剛恢復(fù)原長時(shí)，設(shè)A，B此時(shí)對地速度分別為vA2,vB2，則有

mAvA2+mBvB2=mBv0

解得

或

vA2=0vB2=v0

[不合題意，應(yīng)為結(jié)論(5)中的解，舍去]

此時(shí)A,B相對于質(zhì)心C的速度

(4)彈簧從原長到最大壓縮的過程中，末態(tài)時(shí)兩物體的對地速度vA3,vB3又相等，同樣可求得

此時(shí)A,B相對于質(zhì)心C的速度又為

(5)彈簧從最大壓縮到恢復(fù)原長的過程中，A做減速運(yùn)動(dòng)，B做加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)(3)中的計(jì)算方法，可求出此時(shí)兩物體的對地速度

vA4=0vB4=v0

相對于質(zhì)心C的速度分別為

3 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期

問題2：如果本題中彈簧的原長為l0，勁度系數(shù)為κ，則A,B兩個(gè)物體相對于質(zhì)心C的振動(dòng)周期TA，TB及系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T分別是多少？

分析：設(shè)A物體到質(zhì)心C的距離為lA，B物體到質(zhì)心C的距離為lB，則有

由此可見A,B兩個(gè)物體相對于質(zhì)心C的振動(dòng)周期相同，且質(zhì)心兩邊任一個(gè)“獨(dú)立”的彈簧振子的振動(dòng)周期等于該系統(tǒng)的振動(dòng)周期T，即

圓頻率

4 振子的位移及速度

問題3：從A離開墻壁時(shí)開始計(jì)時(shí)，在任一時(shí)刻t，A,B相對于墻壁的位移sA(t)，sB(t)以及各自的對地速度vA(t)，vB(t)分別是多少？

圖2

A相對于平衡位置是從平衡位置開始向左做簡諧振動(dòng)，B相對于平衡位置是從平衡位置開始向右做簡諧振動(dòng)，則A,B相對于兩個(gè)坐標(biāo)軸Ox,Ox′的簡諧振動(dòng)方程為

xA(t)=AAcos(ωt+φA)

AA和AB分別為兩個(gè)物體的振幅，φA和φB為振動(dòng)的初相位.

將上述兩個(gè)位移方程對時(shí)間t求導(dǎo)數(shù)，可得A，B相對于質(zhì)心C的速度

當(dāng)t=0時(shí)，由問題1中已求出A，B相對于質(zhì)心C的速度分別為

速度表達(dá)式為

根據(jù)s=s相對+s牽連,v=v相對+v牽連，A,B兩物體相對于墻壁的位移表達(dá)式為

sA(t)=vCt+xA(t)=

速度表達(dá)式為

5 結(jié)束語

彈簧連接體在運(yùn)動(dòng)過程中，如在其運(yùn)動(dòng)方向上無外力作用，系統(tǒng)動(dòng)量和機(jī)械能守恒，振子的運(yùn)動(dòng)動(dòng)能和彈簧的彈性勢能之間相互轉(zhuǎn)化.振子相對于質(zhì)心各在其平衡位置附近做簡諧振動(dòng)，系統(tǒng)在做“爬行”運(yùn)動(dòng).

當(dāng)然如果系統(tǒng)在其運(yùn)動(dòng)方向上受到其他恒力作用，則可以由系統(tǒng)的牛頓第二定律求出質(zhì)心的加速度aC，在研究振子的受力時(shí)可引入慣性力F慣性力= -maC，然后根據(jù)彈簧振子在此質(zhì)心坐標(biāo)系中的受力模式和運(yùn)動(dòng)模式，判定出振子在質(zhì)心坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，再由運(yùn)動(dòng)的合成求出振子在地面坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)情況.