軟繩從桌面或滑輪上滑落問題的深度分析

曲顯林

(上海市閘北區(qū)第八中學(xué) 上海 200443)

軟繩從桌面或滑輪上滑落問題在中學(xué)物理習(xí)題中比較常見，很多教師都會把這兩類問題作為典型例題,但是對這類題目的分析過程通常不夠科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn).文章就這兩類問題做深度分析.

1 轉(zhuǎn)角處摩擦力能夠忽略嗎

【例1】(西安市1991年高中物理競賽試題)如圖1所示,一根長為1 m的勻質(zhì)柔軟鏈條,一部分垂在桌沿下面,一部分放在桌面上,垂下部分的最大長度為0.2 m，則鏈條與桌面間摩擦因數(shù)為______；若此時稍有擾動鏈條就會滑離桌面,當(dāng)鏈條全部滑出桌面時的速度為______(g取10 m/s2).

圖1

原解：設(shè)鏈條單位長度的質(zhì)量為ρl；分別用L和l表示整個鏈條的長度和垂下部分的最大長度，用v表示鏈條全部滑出桌面時的速度.

鏈條垂在桌沿下面部分的重力為G1=ρlgl，桌面上的部分重力為G2=ρlg(L-l)， 整個鏈條質(zhì)量為m=ρlL，則對整個鏈條有

ρlgl=μρlg(L-l)

代入數(shù)據(jù)得

鏈條在逐漸滑離桌面的過程中，在桌面上的部分所受的摩擦力與其在桌面上的長度成正比，由能量守恒定律得

代入數(shù)據(jù)得

上面的分析過程中沒有考慮轉(zhuǎn)角的摩擦力，可能是考慮到轉(zhuǎn)角很小，此處摩擦力及摩擦力做的功均可忽略不計.類似的例子在同類問題中很普遍.

【例2】水平桌面上放著一根伸長的均勻柔軟繩,繩的一端挨著桌面上的一個小孔.繩長為L，質(zhì)量為m.一根輕繩通過小孔與繩頭相連接，下端懸掛著一個質(zhì)量為m的物體，如圖2.開始時用手按著柔軟繩尾使它保持靜止，然后放開手讓其運動.設(shè)繩與桌面間的摩擦因數(shù)為μ，求繩尾滑到桌上的小孔時，繩和物體的速度大小.

圖2

這一結(jié)果也是運用能量守恒定律,忽略在轉(zhuǎn)角處摩擦力做的功時得出的.

有什么理由忽略轉(zhuǎn)角處的摩擦力及摩擦力做功呢？在運用物理規(guī)律解決實際問題的時候，原則上是可以忽略一些次要的因素，做近似處理，前提是忽略的必須是相比之下不在一個數(shù)量級的小量，但不能人為地略去相比之下在同一個數(shù)量級的量.那么,軟繩在轉(zhuǎn)角處的摩擦力與桌面上的部分相比是否可以忽略？如果計算過程漏掉了轉(zhuǎn)角處的摩擦力對計算結(jié)果會有多大影響呢？

為了弄清上面的問題，可先研究一下纏繞在圓柱上的繩子兩端張力之間的關(guān)系.假設(shè)，有一條輕繩纏繞在半徑為R的圓柱上，繩子和柱子之間的摩擦因數(shù)為μ，繩子與圓柱接觸部分的弧所對應(yīng)的圓心角為θ0.設(shè)在繩子的A端施加拉力TA后,為使繩子恰好不發(fā)生滑動需在B端至少加拉力為TB，如圖 3 所示. (顯然TA>TB)

圖3 圖4

繩子繞到柱子上后，因為摩擦力的累積作用TA和TB的關(guān)系會隨繩與柱子之間相互接觸長度的變化而變化.先在繩子上取一段微圓弧，對這段圓弧進(jìn)行受力分析.如圖4所示，考慮θ角處所對應(yīng)的圓心張角dθ的一段繩子dl.繩子的重力可以忽略，該微元繩段共受到四個力的作用，微元兩端的張力T(θ)，T(θ+dθ),法線方向圓柱對繩子的支持N，繩子與柱子之間的摩擦力為f=μN，微元處于平衡狀態(tài);其法線和切線方向的分力分別為

(1)

(2)

因為 dθ很小，可以做如下近似處理

T(θ+dθ)+T(θ)≈2T

所以，式(1)變?yōu)?/p>

T(θ+dθ)-T(θ)+μN=0

(3)

所以

令T(θ+dθ)-T(θ)=dT，上述(2)、(3)兩式可改寫為

dT=-μN

(4)

Tdθ=N

(5)

解式(4)、(5)可得

(6)

對式(6)積分可得

(7)

或TB=TAe-μθ0

(8)

可見，在繩子的一端施加一拉力后，因為摩擦力的作用，繩子另一端的力隨θ的增加呈指數(shù)關(guān)系衰減.

圖5

TB=f=μ(L-l)ρlg

(9)

桌面下的一段有

TA=lρlg

(10)

對小圓弧有

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

從這個方程很難解出μ，但可以運用Excel 強(qiáng)大的計算功能,采取逐漸逼近的方法找出符合精度要求的μ值.

表1 μ步長為0.05的數(shù)據(jù)

表2 μ步長為0.01的數(shù)據(jù)

表3 μ步長為0.001的數(shù)據(jù)

通過上面的分析發(fā)現(xiàn)，原來對例1的解題過程錯誤的原因為有兩點.

第一，轉(zhuǎn)角雖然小，但彈力并不小;所產(chǎn)生的摩擦力足可以與平面上相比.

第二，同樣的原因也說明轉(zhuǎn)角雖然小但摩擦力做功并不少;忽略轉(zhuǎn)角處的摩擦力做功，計算出的速度明顯要比實際速度大.

至于鏈條全部滑出桌面時的速度計算起來比較困難，因為桌角處的摩擦力變化遠(yuǎn)比桌面上的部分摩擦力變化復(fù)雜，摩擦力所做的功很難計算.

2 繩子能自始至終緊靠桌角和滑輪嗎

在中學(xué)物理習(xí)題中還有一類是讓繩子在光滑的接觸面或者光滑的滑輪上滑動,求繩子剛離開接觸面或滑輪時的速度問題.光滑的接觸面雖然實際并不存在，但中學(xué)物理可以在這樣理想的假定下研究問題.

圖6

【例3】如圖6所示,一根長為L的勻質(zhì)軟繩AB，拉直后垂直于桌邊放置在光滑的水平桌面上，A端恰好與桌邊對齊.此時輕輕向外擾動一下軟繩，它就會逐漸滑離桌面.求當(dāng)軟繩剛好全部滑出桌面時的速度.(g取10 m/s2)

原解：設(shè)鏈條質(zhì)量為m，用v表示鏈條全部滑出桌面時的速度.由機(jī)械能守恒定律得

則

圖7

【例4】如圖7所示，粗細(xì)均勻、全長為h的鐵鏈，對稱地掛在質(zhì)量可忽略的光滑小定滑輪上.受到微小擾動后，鐵鏈從靜止開始運動，當(dāng)鐵鏈脫離滑輪的瞬間，其速度為多大？

故

對例3與例4的分析過程是被普遍認(rèn)可的.可是仔細(xì)想一想就會產(chǎn)生一個疑問:例3中繩子會一直沿著桌角,例4中繩子會一直貼著滑輪滑動嗎？如果繩子在滑動到某一位置時便離開了桌角、滑輪，上面的解答過程不就錯了嗎?

FA+Δmgsinθ-FB=Δma

(16)

因Δm極小，所以FA≈FB.令

FA=FB=F

(17)

圖8

(18)

(19)

(20)

(21)

圖9

桌上部分F=ρl(L-x)a

(22)

桌下部分ρlxg-F=ρlxa

(23)

(24)

由機(jī)械能守恒定律，得

(25)

(26)

圖10

同理，搭在滑輪上的繩子也不會一直貼緊滑輪滑動，在適當(dāng)?shù)奈恢靡矔撾x滑輪.

現(xiàn)在分析例4中，鐵鏈下落多少時會脫離滑輪，脫離滑輪的瞬間，其速度到底有多大.

圖11

(27)

(28)

設(shè)滑輪所在處繩的張力為F，繩的加速度大小為a,由牛頓第二定律，對繩子右側(cè)有

(29)

對繩子左側(cè)有

(30)

解得

(31)

將式(20)和式(17)代入式(21)得

(32)

將式(32)代入式(28),得

我們可以在完全理想化的條件下研究問題;例如,假定桌面與桌邊和滑輪都是光滑的;但不能同時假定繩子一直緊貼著桌邊或滑輪滑下，這是個偽命題.因此，在假設(shè)了桌面、桌邊和滑輪都是光滑的之后，繩子在這種理想化的環(huán)境下，是否會一直貼著桌邊或滑輪滑動？滑動過程繩子的形狀怎樣?不能人為假定，而應(yīng)由物理規(guī)律決定.