兩質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)相對動力學(xué)方程及其應(yīng)用

朱文惠 許冬保

(九江市廬山區(qū)第二中學(xué) 江西 九江 332000) (九江市第一中學(xué) 江西 九江 332000)

兩質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)是最簡單的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng);通常將兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)的問題稱為“兩體問題”．兩體問題是質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)的一個(gè)特例，可以歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)問題．本文在導(dǎo)出兩質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)相對動力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，通過例題展示其應(yīng)用．

1 相對動力學(xué)方程

如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)1，2以慣性系中的固定點(diǎn)O為原點(diǎn)的位矢分別為r1，r2，質(zhì)量分別為m1，m2，并假設(shè)質(zhì)點(diǎn)2施于質(zhì)點(diǎn)1的作用力記為F12，質(zhì)點(diǎn)1施于質(zhì)點(diǎn)2的作用力記為F21.設(shè)這兩個(gè)力滿足牛頓第三定律．分別列出質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程

圖1 慣性系中兩質(zhì)點(diǎn)位矢的受力分析

(1)

(2)

引入相對位矢r=r1-r2,以m1除式(1)，m2除式(2)，并相減，得

即

(3)

2 相對動力學(xué)方程的意義以及推論

2.1 相對動力學(xué)方程的意義

2.2 推論

(1)兩體問題可以等效為質(zhì)量為μ的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動問題與質(zhì)量為(m1+m2)的質(zhì)心運(yùn)動問題．

若F12只是r的函數(shù)，則質(zhì)點(diǎn)1相對質(zhì)點(diǎn)2的運(yùn)動是在有心力作用下的運(yùn)動，角動量守恒．因此，開普勒第二定律無需修正．

(2)式(3)等價(jià)于質(zhì)點(diǎn)1或質(zhì)點(diǎn)2在質(zhì)心系中的動力學(xué)方程．

圖2 兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)質(zhì)心位矢分析

如圖2所示，對兩質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)，質(zhì)點(diǎn)1,2及質(zhì)心C共線．質(zhì)心的位矢

(4)

(5)

于是式(3)改寫為

即

(6)

式(6)分別為質(zhì)點(diǎn)1、質(zhì)點(diǎn)2在質(zhì)心系(質(zhì)心系是慣性系)中的動力學(xué)方程．

(3)質(zhì)點(diǎn)的相對運(yùn)動與質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心的運(yùn)動可以利用r=r1-r2以及式(4)(取R=0)而變換．

由式(5)可知，質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心的位矢與相對位矢，方向相同或相反，比值恒定，兩者運(yùn)動類型相同．例如，行星繞太陽的運(yùn)動是橢圓軌道，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，而太陽的運(yùn)動也是橢圓軌道，質(zhì)心位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．因此，開普勒第一定律仍然成立．

3 相對動力學(xué)方程的應(yīng)用

3.1 有心力場中的應(yīng)用

所謂有心力，就是方向始終指向(或背向)固定中心的力，該固定中心稱為力心．如果有心力的大小僅與考察點(diǎn)至力心的距離有關(guān)，則稱為各向同性有心力，或保守有心力，簡稱有心力．有心力可以是引力也可以是斥力．一般討論質(zhì)點(diǎn)在中心對稱的有心力作用下的運(yùn)動，有心力存在的空間稱為有心力場．

解法一：常規(guī)解法

因地球受月球的引力作用，月球受到地球的引力作用，它們相對慣性系都有加速度，故都不是慣性參考系，牛頓第二定律不成立.如果要在非慣性參考系中應(yīng)用牛頓第二定律，必須引入相應(yīng)的慣性力.而這兩位學(xué)生都未引入慣性力，所以他們得到的結(jié)果原則上都是錯(cuò)誤的．

(7)

加速度的方向指向月球．相對地心參考系，月球受到慣性力作用，其大小

(8)

方向指向地球，與月球受到的萬有引力的方向相同．若月球相對地心系的加速度為am，則有

(9)

由式(7)、(8)、(9)，得

(10)

加速度的方向指向地球．

(11)

加速度的方向指向地球．相對月心參考系，地球受到慣性力作用，慣性力的大小

(12)

方向指向月球，與地球受到的萬有引力的方向相同．若地球相對月心系的加速度為ae，則有

(13)

由式(11)、(12)、(13)得

(14)

加速度的方向指向月球．式(4)與式(8)表明，地球相對月心系的加速度ae與月球相對地心系的加速度am大小相等，方向相反，與運(yùn)動的相對性一致．

解法二：相對動力學(xué)方程求解

圖3 地球、月球系統(tǒng)

如圖3所示，地球與月球均繞共同的質(zhì)心O做勻速圓周運(yùn)動.無論以地球還是以月球?yàn)閰⒖枷担扇f有引力定律及相對動力學(xué)方程，有

μ為約化質(zhì)量

解得

式中a既是地球相對月球的加速度大小，也是月球相對地球的加速度大小．

點(diǎn)評：質(zhì)點(diǎn)在有心力場中的運(yùn)動問題比較常見.該例中，地球的質(zhì)量約為月球質(zhì)量的81倍，可近似視為引力中心，一般問題可以這樣估算．如果同時(shí)考慮地球、月球的運(yùn)動，則簡化為月球繞地球(或地球繞月球)的相對運(yùn)動來處理，應(yīng)用相對動力學(xué)方程求解比較簡便．

3.2 碰撞問題中的應(yīng)用

碰撞是自然界中最常見的相互作用表現(xiàn)形式.兩物體的碰撞，如果除碰撞之間的內(nèi)力之外沒有其他外力作用，則系統(tǒng)動量及能量守恒．簡化單體運(yùn)動可以方便地處理碰撞問題．

【例2】兩個(gè)完全相同的滑塊a和b，其質(zhì)量均為m，用輕彈簧將它們連接在一起.彈簧的原長為l，勁度系數(shù)為κ.將整個(gè)系統(tǒng)放在一光滑的水平直軌道上，并保持靜止．在某個(gè)時(shí)刻(記作t=0)，突然給滑塊a一個(gè)沖量，使它獲得向右的初速度v0，求解它們的運(yùn)動．

圖4 滑塊a,b處在一維坐標(biāo)系中

解析：選擇地面為參考系，取滑塊運(yùn)動的直軌道為x軸，向右為正，如圖4．某時(shí)刻t滑塊a和b的坐標(biāo)分別記為xa和xb，彈簧的彈力為κ(xa-xb-l)，則兩滑塊的動力學(xué)方程分別為

研究它們的質(zhì)心x0的運(yùn)動.質(zhì)心坐標(biāo)

系統(tǒng)所受合外力為零.由質(zhì)心運(yùn)動定律，知質(zhì)心速度不變，質(zhì)心速度為

兩個(gè)方程中含有未知量xa,xb，不便求解.由于系統(tǒng)在豎直方向合力為零，與孤立系統(tǒng)無異，因此可簡化為單體運(yùn)動來處理.

圖5 以滑塊a為質(zhì)點(diǎn)的一維坐標(biāo)系

約化質(zhì)量

于是相對動力學(xué)方程改寫為

這是典型的諧振動方程，其解為

角頻率為

A和φ為由初始條件決定的待定常量．

0=Acosφv0=-Aωsinφ

解得

于是滑塊a相對于滑塊b的運(yùn)動

回到地面參考系，變換得

圖6 滑塊a,b速度圖像

點(diǎn)評：經(jīng)典力學(xué)中，對質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的分析通常簡化為質(zhì)心的運(yùn)動與相對質(zhì)心的運(yùn)動來分析．碰撞問題的分析，可以選擇地面參考系或質(zhì)心系進(jìn)行分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算煩瑣．根據(jù)問題的性質(zhì)，如兩物體的相對距離、相對速度甚至能量損失，如果將兩物體問題化為質(zhì)心運(yùn)動與相對運(yùn)動來研究，則求解往往比較簡單．

3.3 開普勒第三定律的修正

開普勒關(guān)于行星運(yùn)動的基本規(guī)律中，前面已經(jīng)論證，第一定律、第二定律無需修正．那么第三定律又是否需要修正呢？

【例3】將行星軌道視為以太陽為中心的圓，并設(shè)行星的質(zhì)量m比太陽的質(zhì)量M小得多，由此導(dǎo)出開普勒第三定律．設(shè)行星的質(zhì)量并不比太陽質(zhì)量小很多，即m?M并不滿足，由此討論開普勒第三定律的正確性，并以木星為例作定量說明(已知木星與太陽質(zhì)量的比值為9.5×10-4)．

解析：設(shè)行星的軌道半徑為r，周期為T，太陽靜止在慣性系中.由萬有引力定律和牛頓運(yùn)動定律，有

即

上式為開普勒第三定律的數(shù)學(xué)表達(dá)形式;其中k為僅與太陽質(zhì)量有關(guān)的常量(即開普勒常量)，對所有行星皆相同．

當(dāng)行星的質(zhì)量并不比太陽質(zhì)量小很多時(shí)，根據(jù)對兩體問題的討論，只要用折合質(zhì)量代替行星的實(shí)際質(zhì)量，行星相對太陽的運(yùn)動規(guī)律不變，則

μ為約化質(zhì)量.則

可見對不同的行星,k′并非同一常量，而與行星的質(zhì)量有關(guān)．因此，開普勒第三定律近似正確．

以最大行星木星為例，相對差異為

則

對其他行星差異更小[3]．

點(diǎn)評：本例分析結(jié)果表明,開普勒第三定律近似正確．需要說明的是，有心力場中，質(zhì)點(diǎn)相對運(yùn)動的周期等于兩質(zhì)點(diǎn)繞其共同質(zhì)心運(yùn)動的周期，這一觀點(diǎn)可以通過太陽、行星系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證．

綜上所述，兩質(zhì)點(diǎn)孤立系統(tǒng)問題可以歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)問題，即質(zhì)心運(yùn)動方程式和相對運(yùn)動方程式;并且動能、角動量也有同樣的規(guī)律．

參考文獻(xiàn)

1 程稼夫．中學(xué)奧林匹克物理教程(力學(xué)篇)．合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002.234～236

2 梁昆淼．力學(xué)(上冊，第四版)．北京：高等教育出版社，2010.186～188

3 鄭永令,等．力學(xué)(第二版)．北京：高等教育出版社，2002.232～233