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    用極端法分析問題

    2012-01-23 00:50:08于永剛
    物理通報(bào) 2012年2期
    關(guān)鍵詞:初速度斜面滑塊

    于永剛

    (河北安國中學(xué) 河北 保定 071200)

    1 粗略判斷物理量的變化趨勢

    【例1】兩質(zhì)量均為m的星體,其連線的垂直平分線為AB,O為兩星體連線的中點(diǎn),如圖1所示.一個質(zhì)量為M的物體從O沿OA方向運(yùn)動,則它受到的萬有引力的合力變化情況是

    A.一直增大B.一直減小

    C.先減小,后增大D.先增大,后減小

    圖1

    解析:當(dāng)物體在O處時(shí),由于對稱性可知它所受到的萬有引力的合力為零.當(dāng)物體在無窮遠(yuǎn)處時(shí),兩個星體對它的作用力都接近于零,因此它所受到的萬有引力的合力也為零.現(xiàn)在考慮物體在OA上但不是在O點(diǎn)也不是在無窮遠(yuǎn)處的情況,通過簡單地分析求合力就可以知道其大小不為零,方向沿AO直線并指向O點(diǎn).

    綜合分析,可以知道,物體所受的引力是從零變?yōu)橐粋€大于零的數(shù),然后又變?yōu)榱?因此是一個先增大后減小的過程,應(yīng)選擇選項(xiàng)D.

    2 討論物理量的變化范圍

    【例2】如圖2所示,在斜面上O點(diǎn)先后以v0和2v0的速度水平拋出甲、乙兩小球,則從拋出至第一次著地,兩小球的水平位移大小之比可能為

    A.1∶2B.1∶3

    C.1∶4D.1∶5

    圖2

    解析:因?yàn)樵诖祟}中并沒有斜面長度和兩球初速度的大小,所以存在多種可能性,下面我們先考慮兩個極端情況.

    (1)如果兩個球的速度都很大,則都落在水平面上,水平位移的比等于它們初速度的比,即

    xA∶xB=1∶2

    圖3

    (2)如果兩球的初速度都很小,均落在斜面上,如圖3所示.設(shè)斜面傾角為θ,小球的水平位移為x,豎直位移為y.由平拋運(yùn)動規(guī)律和幾何關(guān)系可知

    x=v0t

    解得

    可見小球在斜面上運(yùn)動的水平位移與初速度的平方成正比.所以 xA∶xB=1∶4

    (3)最后考慮一個小球落于斜面上,另一小球落于水平面上的情況.

    圖4

    綜上

    所以本題選擇選項(xiàng)A,B,C.

    3 討論問題的可能性與不可能性

    【例3】如圖5所示,A為靜止于地球赤道上的物體,B為繞地球做橢圓軌道運(yùn)動的衛(wèi)星,C為繞地球做圓周運(yùn)動的衛(wèi)星,P為B,C兩衛(wèi)星軌道的交點(diǎn).已知A,B,C繞地心運(yùn)動的周期相同.試判斷有無可能出現(xiàn):在每天的某一時(shí)刻衛(wèi)星B在物體A的正上方.

    圖5 圖6

    解析:A,C均做勻速圓周運(yùn)動,因此相對位置保持不變.而B是在橢圓軌道上做速率改變的運(yùn)動.

    若橢圓極扁,則A比B先到達(dá)Q的正下方.從而A應(yīng)在B的“前方”,而圖中所示的位置,A在B的“后方”,因此必存在A追上B在B正下方的時(shí)刻.另外,一個周期之后,A,B恢復(fù)如圖6所示的位置,即B又跑到了A的“前面”.說明在這個周期內(nèi)又存在B追上A而在A正上方的時(shí)刻.即,在一天內(nèi),B有兩個時(shí)刻在A的正上方.

    若橢圓接近圓,則A,B的相對位置幾乎不變,在一個周期的運(yùn)動中,B必然總在A的“前面”,從而一天中不存在B在A的正上方的時(shí)刻.

    從上面的兩個極端情況可以猜測,橢圓必有一個適當(dāng)?shù)摹氨舛取?,使得在一天?nèi),A恰能追上B而不超過它.那么在一天內(nèi)有且僅有一個時(shí)刻,B在A的正上方.因此,在一天內(nèi),B有可能在A的正上方.

    4 對做出的結(jié)果進(jìn)行評估

    【例4】(2008年高考北京理綜卷第20題改編)如圖7所示,光滑水平面上有一傾角為θ的斜面,其質(zhì)量為M,上面放一個質(zhì)量為m的滑塊,滑塊與斜面間無摩擦.現(xiàn)由靜止釋放滑塊m,在滑動過程中m的加速度為多少?

    圖7 圖8

    解析: 對滑塊受力分析如圖8所示,在△AOB中,由正弦正理可知

    (1)

    解得

    (2)

    圖9

    下面解決角α的問題.如圖9所示,x,y分別表示物體m和M的水平位移,由圖可知

    xtanα=xtanθ+ytanθ

    (3)

    由動量守恒知

    mx=My

    (4)

    由式(3)、(4)聯(lián)立可得

    同時(shí)有

    將上面的結(jié)果代入式(2)可得

    (5)

    用極端法對上面的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)

    (1)當(dāng)θ→0時(shí),sinθ→0,tanθ→0,cosθ→1.則式(5)中,分子趨于零,分母趨于1,因此a→0.

    (6)

    總之,通過上面四個極端情況的分析知道,在四種情況下加速度的表達(dá)式都沒有和實(shí)際情況發(fā)生矛盾,這說明,加速度的表達(dá)式很有可能是正確的.

    圖10

    【例5】(2011年高考福建理綜卷第18題)如圖10所示,一質(zhì)量為m的定滑輪,滑輪兩側(cè)掛有質(zhì)量分別為m1和m2的物體,繩子對兩物體的拉力分別為T1和T2.不考慮軸間的摩擦,且繩子與滑輪間沒有相對滑動.下面T1的表達(dá)式正確的是

    解析:當(dāng)滑輪的質(zhì)量趨于零時(shí),T1=T2=T.分別對兩物體進(jìn)行受力分析,由牛頓第二定律可得

    m1g-T=m1a

    T-m2g=m2a

    兩式聯(lián)立解得

    設(shè)A,B,C,D四個選項(xiàng)中的m趨于零,有

    與計(jì)算結(jié)果相同的是選項(xiàng)C,因此本題選擇選項(xiàng)C.該題涉及剛體定軸轉(zhuǎn)動的知識,若不用極端法,而用高中知識解這道題似乎是不可能的.

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