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    由面心立方(111)面間距談幾何晶體學的幾個基本概念*①

    2012-01-23 04:51:12馬天平譚偉石
    物理通報 2012年2期
    關鍵詞:晶胞晶面晶體

    馬天平 譚偉石

    (南京理工大學理學院應用物理系 江蘇 南京 210094)

    1 引言

    在通常的《固體物理學》和《X射線衍射學》教材[1~3]中,都表示可以采用公式

    (1)

    2 面心立方晶體(111)面間距的計算

    出現(xiàn)上述問題的根本原因在于公式(1)中的指數(shù)h,k,l為密勒指數(shù),而不是晶面指數(shù).因此,不能將晶面指數(shù)代入此公式計算面間距.為此,需要先導出采用晶面指數(shù)計算面間距的公式.

    如圖1所示,選取面心立方晶體的固體物理學原胞的初基矢量為

    (2)

    圖1 面心立方晶體的原胞坐標系

    式中i,j,k分別表示笛卡兒正交坐標系中三個坐標軸的單位矢量.

    根據(jù)倒易點陣的定義式

    計算其倒格子的初基矢量,得

    (3)

    (4)

    通常所使用的面間距公式(1)中面指數(shù)(hkl)是在晶胞坐標系a,b,c中確定的密勒指數(shù).這就涉及到對晶胞和固體物理學原胞等概念的辨析.

    3 幾何晶體學中幾個基本概念的辨析

    上述問題通過基矢的適當選取得到了解決,但更本質(zhì)上反映的是對幾何晶體學中幾個基本概念的混淆.

    (1)原胞.體積最小的重復單元稱為原胞或固體物理學原胞[1,2].原胞的選取不是唯一的.只要符合體積最小和周期性兩個條件即可,所以原胞往往不能表達對稱性.若使用威格納-塞茲(Wigner-Seitz)原胞[2],則既能反映晶格的全部對稱性,也能反映周期性.

    (2)晶胞.又稱單胞,或稱結(jié)晶學原胞,是晶體結(jié)構(gòu)的最小重度單元,即在能反映晶體對稱性的前提下選取體積盡量小的重復單元.實際的晶體結(jié)構(gòu)可以看成是晶胞在三維方向周期性地堆砌而成.在晶胞中,可含有一個或多個格點,體積為原胞的一倍或數(shù)倍.在晶胞中所選取的沿晶軸的三個矢量通常也稱為軸矢.晶胞的概念強調(diào)了對稱性.

    (3)晶面指數(shù).在固體物理學原胞的基矢坐標系中,晶面在三個基矢a1,a2,a3方向上的截距以基矢長度作為單位進行度量后取倒數(shù),約去公因子,得到一組互質(zhì)的整數(shù),即為該晶面的晶面指數(shù),常用(h1h2h3)表示[4].

    (4)密勒指數(shù).在晶胞的軸矢坐標系中,晶面在三個軸矢a,b,c方向上的截距以軸矢長度作為單位進行度量后取倒數(shù),約去公因子,得到一組互質(zhì)的整數(shù),即為該晶面的密勒指數(shù),常用(hkl)表示.

    可見,晶面指數(shù)和密勒指數(shù)的確定方法相同,但是二者之間存在的差異在于所采用的基矢量不同.

    在實際應用中,人們往往習慣使用密勒指數(shù),即使用晶胞(單胞)的基矢討論問題.尤其在正交晶系中,通常以正交基矢對應的密勒指數(shù)討論晶面問題.但需要注意的是,密勒指數(shù)所選取的基矢能很好地體現(xiàn)對稱性,但并不一定對應最小的周期性單元,尤其在計算面間距的過程中,如果在概念上混淆,用密勒指數(shù)代入對應于晶面指數(shù)的公式,就會產(chǎn)生錯誤.

    在面心立方晶體的軸矢坐標系a,b,c中

    定義

    計算可得

    與晶面族(hkl)正交的倒格矢

    (5)

    可知(hkl)為密勒指數(shù),而不是晶面指數(shù).

    4 晶面指數(shù)與密勒指數(shù)的轉(zhuǎn)換矩陣

    立方晶系中,設密勒指數(shù)為(hkl),晶面指數(shù)為(h1h2h3),各自對應的軸矢量與基矢量分別為

    可以記為A=EC,其中

    E為基矢-軸矢轉(zhuǎn)換的系數(shù)矩陣.

    (6)

    由于這三點在晶面上,故符合晶面方程(6),代入后得

    寫成矩陣形式為

    (7)

    式中的轉(zhuǎn)換矩陣即基矢-軸矢轉(zhuǎn)換的系數(shù)矩陣E.

    由此可見,基矢-軸矢轉(zhuǎn)換的系數(shù)矩陣亦為密勒指數(shù)-晶面指數(shù)的轉(zhuǎn)換矩陣.同時,通過逆矩陣E-1,可以將晶面指數(shù)轉(zhuǎn)換為密勒指數(shù).

    對于面心立方晶體而言,基矢-軸矢轉(zhuǎn)換的系數(shù)矩陣及其逆矩陣分別為

    表1中列出了面心立方晶體中一些低指數(shù)晶面指數(shù)對應的密勒指數(shù)及晶面間距.將相應的晶面指數(shù)和密勒指數(shù)分別代入式(4)和式(5),計算得到的晶面間距是相同的.由表中可見,密排面(111)的晶面間距是最大的.

    表1 面心立方晶面指數(shù)、密勒指數(shù)和面間距

    5 結(jié)語

    通過對面心立方晶體(111)面間距的計算,闡述了如何正確理解幾何晶體學中的幾個基本概念.同時,給出了晶面指數(shù)與密勒指數(shù)之間的轉(zhuǎn)換矩陣,此轉(zhuǎn)換矩陣可為晶體面間距的計算帶來方便.

    參考文獻

    1 黃昆原著.韓汝琦改編. 固體物理學. 北京:高等教育出版社,1988

    2 韋丹. 固體物理. 北京:清華大學出版社, 2003

    3 黃勝濤. 固體X射線學(一). 北京:高等教育出版社,1985

    4 胡安,章維益. 固體物理學. 北京:高等教育出版社, 2007

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