用折合質(zhì)量巧解彈簧雙振子問題

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

這是彈簧雙振子的固有周期，與恒定外力無關(guān).

【例1】一輕質(zhì)彈簧兩端連接質(zhì)量都為m且大小不計(jì)的小球a,b，彈簧的自然長度為L.現(xiàn)將兩小球放開，讓此系統(tǒng)自某一高度下落，a小球在下方且離地高度為h．a(chǎn)小球與地面發(fā)生彈性碰撞后離開地面，當(dāng)?shù)诙谓佑|地面時，彈簧壓縮量第一次達(dá)到最大.試求：(1)彈簧的勁度系數(shù)；(2)a小球第二次觸地時的速度.

接下來分析兩小球相互作用壓縮彈簧的過程.在自由落體參考系中，兩小球只受相互作用的彈力，合外力為零.若以a小球?yàn)閰⒄瘴?，則b小球的折合質(zhì)量為

且相對于a小球做簡諧運(yùn)動，周期為

這是系統(tǒng)的固有周期，不因參考系而變化.

圖1

方向豎直向下.

由于a小球仍在水平面上，而b小球相對于a小球靠近一個振幅，則系統(tǒng)的質(zhì)心即彈簧的中點(diǎn)發(fā)生的位移大小等于半個振幅，即

(2)當(dāng)a小球第二次觸地時，其速度為質(zhì)心速度，即為

【例2】(第22屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題)如圖2所示，在一個勁度系數(shù)為κ的輕質(zhì)彈簧兩端分別拴著一個質(zhì)量為m的小球A和質(zhì)量為2m的小球B．A用細(xì)線拴住懸掛起來，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時彈簧長度為l．現(xiàn)將細(xì)線燒斷，并以此時為計(jì)時零點(diǎn)，取一相對地面靜止的、豎直向下為正方向的坐標(biāo)軸Ox，原點(diǎn)O與此時A小球的位置重合．試求任意時刻兩小球的坐標(biāo).

圖2 圖3

解析：首先利用相對運(yùn)動法和簡諧運(yùn)動規(guī)律求兩個質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.

在原坐標(biāo)系中，設(shè)某時刻小球和彈簧的位置如圖3所示，小球A與B的坐標(biāo)分別為x1，x2，彈簧的自然長度為l0，則此時彈簧的形變量為

Δx=l′-l0=x2-x1-l0

對小球A與B的振動由牛頓第二定律分別有

mg+κΔx=ma1

(1)

2mg-κΔx=2ma2

(2)

可知相對加速度為

(3)

式中Δx為彈簧的形變量即兩小球的相對位移，因此,這是以小球A為參照物來反映小球B運(yùn)動的動力學(xué)方程，可見小球B相對于小球A做簡諧運(yùn)動，與重力無關(guān)，若認(rèn)為小球A固定不動，則小球B的折合質(zhì)量為

故簡諧運(yùn)動的周期為

(4)

這也是固有周期，因此角頻率為

(5)

所以,小球B相對于小球A做簡諧運(yùn)動的位移隨時間變化的關(guān)系式為

(6)

式(6)兩邊求導(dǎo)數(shù)得

(7)

開始時，彈簧的形變量為

Δx0=l-l0

對小球B由受力平衡有

κ(l-l0)=2mg

得

所以

(8)

下面利用質(zhì)心坐標(biāo)公式和自由落體運(yùn)動規(guī)律求兩個質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.

在t=0時，A，B兩小球的位置坐標(biāo)為x1=0，x2=l.

(9)

在細(xì)線燒斷以后，質(zhì)心做自由落體運(yùn)動，因此在任意時刻t，質(zhì)心的坐標(biāo)為

(10)

而由質(zhì)心坐標(biāo)公式得

(11)

(12)

聯(lián)立式(8)、(12)解得任意時刻兩小球的坐標(biāo)為

圖4

【例3】如圖4所示，勁度系數(shù)為κ的彈簧，自由長度為L0(足夠長)，兩端連著兩個小球，質(zhì)量分別為m1,m2，帶正電荷，電荷量分別為Q1,Q2，整個裝置放于勻強(qiáng)電場中，場強(qiáng)大小為E，方向與彈簧方向一致．開始時，彈簧為自由長度，兩小球靜止，設(shè)兩個小球之間的靜電相互作用及各種引力均忽略不計(jì)，試求小球由靜止釋放后兩個小球之間的最大距離．

解析：相互作用之外的恒力為電場力，兩個小球受到電場力單獨(dú)作用而產(chǎn)生的加速度大小分別為

方向向右.

若a1=a2，則彈簧長度保持不變，最大長度L=L0；若a1>a2，則彈簧長度變小，最大長度為L=L0；若a1

以小球A為參照物，則折合加速度為

a′=a2-a1

因此，小球B所受恒力的折合力為

即

解得

還可與豎直彈簧振子類比，利用平衡條件求解彈簧長度.